ロケットが機能しなくなるほど地球はどこまで大きくなれるか

 (space.stackexchange.com)
2 ポイント 投稿者 GN⁺ 2024-02-04 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • 平均密度が同じまま地球の半径が大きくなると、表面重力と低軌道速度がともに上昇し、化学ロケットの軌道到達条件は急激に悪化する
  • ツィオルコフスキーのロケット方程式により、必要なΔvが線形に増えてもロケット質量は指数関数的に増大し、推進剤比率・エンジンの推力重量比・構造質量の仮定が結果を大きく左右する
  • 1トンのペイロードを低軌道に投入する計算では、3gの惑星で6段・約5万トン、4gで8段・約283万トン、5gで9段・約3億9,100万トンのロケットが必要になる
  • 10g付近からはロケット質量が惑星質量の有意な割合に近づき、10.47gではロケット質量が惑星質量と等しくなる理論限界が現れる
  • 現実には、エンジン搭載面積、構造強度、タンク形状、乾燥質量の増加が先に足かせとなり、「正確な最大サイズ」よりも実用限界は仮定依存だと見るべき側面が強い

同じ密度のまま地球を大きくすると何が変わるか

  • 問題は、地球の半径を f 倍にし、平均密度は維持した仮想惑星を対象としている
    • 半径: r = f r_earth
    • 質量: m = f^3 m_earth
    • 表面重力: g = f g_earth
  • 平均密度が同じなら、惑星が大きくなるほど低軌道速度も半径に比例して大きくなる
  • 表面大気の組成・温度・圧力を同じとすると、スケールハイト H は f^-1 に縮む
  • 範囲は気球、飛行機、レーザー、宇宙エレベーターのような代替打ち上げ手段ではなく、化学推進ロケットに限定される

ロケット方程式が生むボトルネック

  • ツィオルコフスキーのロケット方程式は Δv = ln(m0/mf) ve と表される
  • 化学エンジンでは排気速度 ve を大きく高めることに限界があり、ある計算では化学エンジンの上限を約 5,000m/s としている
  • 必要なΔvをさらに確保するには質量比 m0/mf を大きくする必要がある
    • タンクやエンジンの質量を0にはできない
    • 段を追加すればΔvは線形に増やせるが、総質量は指数関数的に膨らむ
  • そのため、燃料タンクの構造質量やエンジンの推力重量比に関する小さな仮定の違いでも、最終的なロケット規模は大きく変わる

1トンのペイロード基準の計算

  • 高評価の計算では、複数の変数を固定して表面重力ごとに必要なロケット規模を見積もっている
  • 主な仮定は次の通り
    • 1トンのペイロードを低軌道に投入
    • 軌道到達に必要なΔvは、大気損失・重力損失を含めて 表面重力 1gあたり 10,000m/s
    • 各段の推進剤質量比は90%
    • Apollo時代のエンジンである RL-10、J-2、M-1、H-1、F-1 を使用
    • 1段の点火時推力重量比は現地重力基準で1.2以上
    • 中間段は0.8以上、最終段は0.5以上
  • この仮定では、重力が大きくなるほどロケット規模は急激に拡大する
    • 1g: 3段、H-1 1基の1段、総質量 49.4トン
    • 2g: 4段、F-1 5基の1段、総質量 1,329トン
    • 3g: 6段、F-1 274基の1段、総質量 50,722.2トン
    • 4g: 8段、F-1 20,422基の1段、総質量 2,836,598.4トン
    • 5g: 9段、F-1 350万基の1段、総質量 3億9,100万トン
    • 6g: 11段、F-1 4億基の1段、総質量 380億トン
    • 10g: 18段、F-1 2.88e19基の1段、総質量 1.65e21トン
  • 10g以上ではロケット質量が惑星質量の測定可能な割合に達する
    • 10.3g: ロケット質量が惑星質量の 0.035
    • 10.4g: ロケット質量が惑星質量の 1/5
    • 10.47g: ロケット質量が惑星質量と等しくなる

段を増やしても残る現実的制約

  • 理論上は段を追加し続けてより多くのΔvを得られるが、実際のロケットはまず構造と形状の制約に突き当たる
  • ロケット段の線形サイズを大きくすると質量は三乗で増える一方、エンジンを搭載できる底面積は二乗でしか増えない
  • Saturn V でも1段外周エンジンを段の縁に配置せざるを得ないほど、エンジンノズルとジンバル空間に制約があった
  • 非常に大きなロケットでは、次のような設計変更が必要になる可能性がある
    • より低く幅広い形状
    • エンジンのジンバル範囲の縮小
    • タンク周囲のポッドへのエンジン搭載
  • 3gの例でF-1エンジン274基を載せるには、約直径90m、高さ9mの段が必要で、この規模ではタンク比率に起因する工学的非効率が深刻になる
  • 固体ロケットは同程度のエンジン搭載制約を受けず、推力重量比と推力当たりコストに優れるため、超大型ロケットの下段候補としてはより有望かもしれない

スーパーアースと高重力惑星に関する補足

  • Michael Hippke の Spaceflight from Super-Earths is difficult は、スーパーアースからの宇宙飛行が難しくなる問題を扱っている
  • この研究は低軌道ではなく脱出速度を基準に計算しているが、指数関数的に難しくなる性質は似ている
  • Kepler-20b は、おおよそ地球半径の1.9倍、質量はほぼ10倍の惑星として扱われる
    • 1トンを脱出速度まで送る最小ロケットは、Kepler-20b では燃料9,000トンが必要
    • James Webb Space Telescope 級の6.2トンのペイロードには燃料55,000トンが必要
    • Apollo の月ミッション級45トンでは約40万トンのロケットが必要
  • 別の回答では、系外惑星研究における岩石惑星の上限として地球半径1.6倍、質量5倍が挙げられると補足している
    • これを超えると Mini-Neptune に近い特性が増える可能性がある
    • この仮定が正しければ、潜在的に居住可能な世界の最大重力は約2.5gを超えない
  • さらに別の計算では、高重力世界ではロケットの乾燥質量比が悪化する可能性があり、5g世界で湿潤/乾燥質量比が 5:1 程度まで落ちると、打ち上げ質量が 10^20トン規模になりうる
  • 極端な場合、ロケットが月質量を超えるとロケット自身の重力も問題となり、LOX/H2 の排気速度約 4,400m/s と月の脱出速度約 2,380m/s を比較すると、有効排気速度が大きく低下する状況が生じる

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1件のコメント

 
GN⁺ 2024-02-04
Hacker News のコメント

  • ロケットの黎明期には、逆の問いがほとんど未解決問題だった。理論上ロケットという概念があるとしても、軌道ロケットを実用化できるほど十分な排気速度を出せる推進剤の組み合わせはあるのか、ということだ。
    答えは最初から明確だったわけではなく、Goddard の論文には、推進剤速度を下げるほど同じ性能を出すためにロケットがどれだけ大きくならなければならないかが説明されている。結局、火薬をひとかたまり燃やしても、せいぜい数十マイル上がる程度になってしまう。
    初期のロケット開拓者にとって、私たちが重力と化学の組み合わせのおかげで軌道ロケットが可能な惑星に住んでいるという事実は、うれしい驚きであり安堵でもあり、残りは工学上の問題だった。

    • ロケット推進剤の歴史に興味があるなら、John D. Clark の Ignition! を強くおすすめする。化学の内容も多いが、化学にそれほど関心がなくても楽しく読める。
      https://library.sciencemadness.org/library/books/ignition.pd...
    • 地球よりはるかに重力の大きい惑星の高度文明が化学ロケットを作れず、やむを得ず核ロケットを作らなければならなかったとしたら、とても興味深い。
      むしろ一度自分たちの惑星の重力井戸を抜け出せば、核ロケットのおかげで太陽系探査は比較的容易になっていたかもしれない。
    • 私たちが重力と化学によって軌道飛行を可能にしてくれる惑星に住んでいるというのは、ほとんど信じられない幸運に近い。
      惑星がほんの少し重ければ、核エンジンを作るまで衛星を一つも打ち上げられなかったかもしれない。

  • 十分に高い第1段ロケットがあり、ホットステージングを使えば、極端に大きな地球でも可能にできる。
    ただし、第1段は大気圏をはるかに超える高さまで伸びている必要があるかもしれない。もちろん、手に Randall Munroe の本を持っているわけでは決してない。

    • ロサンゼルスからニューヨークまで1秒で行く列車を作るのと同じやり方だ。十分に長い列車であればいい。
    • これがロケットの話なのか、宇宙エレベーターの話なのか悩む。
      静止軌道付近まで届く塔を作れば、デルタvが0のロケット段のように扱い、頂上で小さな段を「ホットステージング」すれば、そのまま軌道に入る。もちろんそれを作れるなら、ロケットはほとんど選択肢の一つにすぎなくなる。
    • 高重力惑星でそれほど高い構造物を建てるのは途方もなく難しいだろう。
      底部と頂部の間のテーパー比は、惑星半径のかなりの部分に達するほど巨大でなければならない可能性が高い。ただ、その大量の第1段エンジンを取り付ける場所も必要なので、いずれにせよそうする必要があるのかもしれない。
    • 惑星で最も高い地点から打ち上げればいい。Kerbal Space Program も承認している。
      地上物流については語らないことにしよう。
    • そして、その惑星に十分な推進剤が存在すると仮定しなければならない。

  • 興味深い。これはドレイク方程式をより重くする要因になり得る。特に高重力惑星の文明は、多惑星種になって大フィルターを通過する能力が限られるため、平均生存時間が短くなるかもしれない。

    • 最大級の仮説上の大フィルターの一つは大規模戦争だ。ロケットだけでなく、大砲や矢のような単純な投射体も、工学的要求が高まれば戦争技術の発展速度に制限がかかる。
      外交のような他の手段が十分に速く発展し、世界戦争による人口絶滅を防ぐ可能性もある。重力が大きくなると、カヌーや現代船舶のような排水量に基づく船にどんな影響があるのかも気になる。密度が核心であって重さが核心ではないので、影響はほとんどなさそうだが、初期の建築材料や貨物の密度増加が変数になり得る。大気密度は重力よりも磁場により依存すると思う。
    • 超居住可能性という概念を見ると興味深いかもしれない。
      この仮説では、地球より質量と重力が大きい惑星の方が生命に有利であり得ると考える。従来の化学ロケットでは宇宙進出がほぼ不可能な惑星に、生命がはるかに多い可能性もある。私たちは比較的荒涼とした岩石の上に住んでいるが、その代わり軌道に到達できるというトレードオフを得ているわけだ。
      https://en.wikipedia.org/wiki/Superhabitable_planet
    • これが本当に大きな要因なのかは疑問だ。
      多惑星種ではないことは、現在の地球で私たちにとって最も小さい部類の実存的問題に見えるし、しばらくはそうあり続けるだろう。同時に、私たちより少し進んだ文明にとっては、化学ロケットの効率は完全に無意味になる。
    • 高重力惑星で進化した存在は、より賢く、もしかするとより強いだろう。彼らも投げた物体の軌道を計算しなければならないが、より速く行う必要があるからだ。
      私たちの脳は生存に必要な分だけエネルギーを使い、それ以上は無駄にする。しかし、もっと速く考えなければならなかったなら、それに合わせて進化していたかもしれない。だから結局、彼らは方法を見つけ出していたのかもしれない。
    • 記事は化学ロケットに範囲を限定している。地球では十分うまく機能するから私たちはそれを使っているが、より良い方式も可能だ。
      化学の代わりに核を使い、大気中の空気を反作用質量として使えばよい。地球では、解決する問題より生み出す問題の方が大きいため、技術があっても採らない方式だが、より高重力の惑星では選択肢になり得る。より難しいが不可能ではない。
      核技術がはるかに強力なロケットを可能にする水準に到達した時期と、化学ロケットを軌道に上げられるほど完成させた時期がほぼ重なっていた点は興味深い。だから、地球を脱出した直後くらいには、10g の惑星からも脱出できたのかもしれない。

  • 脱出可能なほど小さい惑星という項を含めた、ドレイク方程式の変形があるのか気になる
    賢くて宇宙に進出する生命が消えてしまうほど希少かもしれないと考えると、かなり憂鬱になる。逆に、宇宙の小さな片隅には、複数の宇宙進出文明が数光年以内に同時に存在している可能性もある。スペースオペラ的には格好いいが、結局は宇宙ファシストが全員を奴隷にする、みたいな結末になりそうでもある

    • ロケットだけが惑星の外へ出る唯一の方法ではない。人類が宇宙計画規模のリソースをレールガンや他の推進方式に使っていたら、成功していた可能性も十分ある
      地球の条件ではロケットが最も便利だったので、エンジニアたちがそこに最適化しただけだ
    • ファシズムは地球上でもすでにかろうじて機能している程度で、競争では劣る。https://tvtropes.org/pmwiki/pmwiki.php/Main/FascistButIneffi... を参照。奴隷制も似たようなものだ。少し話がそれるが、https://www.econlib.org/library/Columns/LevyPeartdismal.html もある
      宇宙では奴隷制はさらに役に立たない。主な理由は、人間そのものがより役に立たなくなるからだ。すでに有用な宇宙探査はほぼすべてロボットが行っており、人間を送るのは自慢の意味合いが大きい。宇宙奴隷を生かしておくコストは、彼らができるどんな仕事よりも大きい。もちろん、異星人は宇宙での生存にずっと適した生物学的特徴を持っているかもしれない
    • ドレイク方程式は、生命がどのような形を取り得るかについての想像力不足を示している面が大きい
      項を1つ追加するたびに、新しい仮定をさらに固定して組み込むことになる
    • 数光年なら星はだいたい100個ほどだ。その範囲で、可能性の低い生命が2つ以上育つ確率は、おそらく0に近い
    • 「ファシスト」という言葉はかなり奇妙な使われ方をしている。実質的に「邪悪な悪者」という意味のようになってしまっている

  • 岩石核を取り囲む水素大気を持つガス惑星のような場所で、宇宙船が宇宙の縁に到達するまで水素吸入式で飛び、その後に段を点火して重力井戸を抜け出すことはできるのか気になる
    あるいは窒素やCO2の大気が十分に厚ければ、空気力学的に飛んだり浮いたりして、表面より重力が目に見えて低くなる地点まで行けるのだろうか？

    • 岩石惑星では、私たちが関心を持つ軌道高度で重力が大きく低下することはない。たとえばISSでも地表重力の約90%を受けている
      軌道に乗るというのは、主に落下軌道が地表と交わらないほどの速度に到達することだ
      とはいえ、航空機で高度と速度を得たあと、はるかに小さなロケットを発射することは十分可能だ。このとき主な利点は速度であり、ロケットが燃料の大半を使うのも速度のためだ。Virgin GalacticのSpaceShipTwoがこの構成を使っており、Virgin OrbitのLauncherOneも改造したBoeing 747から発射される小型ロケットだ。地球では複雑さが増す割にほとんど利点はないが、重力がより強く、動力飛行へのアクセス性が同程度の惑星では、好まれる方式かもしれない
      重要な要素の1つは音速かもしれない。航空機にとっては、超音速飛行より亜音速飛行の方がはるかに簡単だ。水素のように音速がはるかに高い大気なら、航空機はずっと高い速度に到達でき、ロケット発射プラットフォームとしてはるかに有利になる。もちろん、そうした飛行機に動力を供給する問題をすでに解決しているという前提が必要だ
    • 空気吸入式ロケットエンジンであるSABREの基本物理は検証済みだ
      ただし、H2を液化しようとすることとO2を液化することがどれほど違うのかは分からない
      https://en.wikipedia.org/wiki/SABRE_(rocket_engine)
    • より小さなガス惑星では、巨大な飛行船のような浮遊プラットフォームを作り、そこから発射できる
      ガス惑星は非常に大きいので、そのようなプラットフォームが浮かぶ高度の「表面」重力は、思ったほど高くない。UranusとNeptuneでは実際に1G未満だ。しかしJupiterの大きさを超えると、半径はあまり大きくならない一方で質量は増え続けるため、浮遊プラットフォーム上でも数Gに対処しなければならない
    • 水素より軽い気体が必要なので、浮くのは無理だ。そのような気体は存在しない。酸素のない動力飛行も厄介で、飛行機のエンジンというよりロケットモーターに近いものが必要になる
      真空を入れた風船を使うことはできるが、水素大気中で軌道ロケットサイズの物体を浮かせるには、都市ほど、あるいは小さな州ほどの大きさの真空チャンバーが必要になるだろう。むしろ塔を建てる方が簡単である可能性が高い

  • 回答ではほとんど言及されておらず、最初に思いついたことでもあったが、少なくとも理論上は核熱ロケットも検討に値する
    https://en.wikipedia.org/wiki/Nuclear_thermal_rocket

    • 離陸用としてはあまり良くない。化学ロケットより優れたロケット設計の多くは、比推力と引き換えに推力を犠牲にする
      軌道上ではデルタvはデルタvなので改善になるが、10kgのロケットは重力で約100Nを受ける。エンジン推力が100Nを超えられなければ、発射台にそのまま留まる。速度がつけばその問題は小さくなるが、質点ではない物体から打ち上げる場合、推力の一部を惑星に衝突しないように使わなければ、今日宇宙には行けない
      現実的なNTR設計は固体炉心で、長年の努力の末に推力重量比7:1に到達した。原理的には自重の6倍まで積んで地球重力下で上向きに加速できるということだ。化学ロケットなら70:1も可能だ。NTRを発射プラットフォームとして使おうとする計画は誰にもなく、代わりにより効率的な上段エンジンや軌道間遷移噴射などに使える。理論上ははるかに高性能なNTR系エンジンもあるが、動作する試作機はない。オープンサイクルロケットで打ち上げたいとも思わないだろう。「オープン」とは放射性燃料が後方へ噴き出すという意味だからだ。現在の技術では効率と推力の間で妥協が必要で、打ち上げ段では当面、化学ロケットが唯一無二の存在だ
      もちろん、核推進がもう少し「面白い」種類なら話は別だ。Project Orionの支持者もいる
    • NTRは核燃料を非常に非効率に使う方式だ。欲しいのはNSWRだ
      https://en.wikipedia.org/wiki/Nuclear_salt-water_rocket
      本物の核ロケットだ。化学ロケットが制御された爆発であるように、NSWRは制御された、いわば咳き込みそうな、核爆発だ
    • NTRは比推力は高いが、出力重量比が比較的低いため、ここで議論している重力井戸からの脱出には向かず、宇宙空間では有利だ
      反応質量を効率よく使うが、出力重量比の面では効率的ではない
      記事によれば、1947年には完全な原子炉が重すぎて、固体炉心の核熱エンジンでは地球からの打ち上げで重力に勝つのに必要な推力重量比1:1すら達成できないと考えられていた。その後25年で米国の核熱ロケット設計は約7:1の推力重量比に到達したが、70:1程度の化学ロケットよりは依然としてはるかに低い

  • Project Hail Maryには地球質量の8.45倍の系外惑星が登場し、その住人たちは宇宙飛行に到達する
    https://www.reddit.com/r/ProjectHailMary/comments/s5n7j4/eri...

    • 本当に素晴らしい本で、個人的には歴代のお気に入りの一つだ。ただし、本の中で可能だったからといって、その科学が検証されるわけではない

  • 1.55R⊕の惑星に関する記事がきっかけで気になり、この議論は興味深かった

  • 最初の軌道ロケットが登場する頃には、すでに核エネルギーは発見されていた
    化学ロケットで軌道に到達できなかったなら、核ロケットがすぐ後に続いていただろう。化学ロケットでICBMを発射できなかったなら、核ロケット技術は捨てられずに発展し続けていたはずで、人類はすでに他の惑星へ行っていたかもしれない

  • 面白い考えだが、計算しにくい非常に実用的な要素を一つ見落としている。衝撃波だ
    地球で実務上よく知られている問題であり、海面高度での地球ロケットの打ち上げ質量の上限は約1万トン程度だ
    超音速のエンジン排気が作る衝撃波は、構造物に文字どおり強力な圧力をかける。言及されている規模では、どんな構造物も十分長くは耐えられないだろう。はるかに強い材料を作れるかは現時点では分からず、予測も難しい
    海面高度が重要なのは、現在思い浮かぶ宇宙ロケットのうち、かなり異なる位置から出発した例が二つしかないからだ。高高度空中発射は大気特性が大きく異なるため衝撃波問題の解決策になり得るが、別の制約もある
    https://en.wikipedia.org/wiki/Northrop_Grumman_Pegasus
    https://en.wikipedia.org/wiki/LauncherOne

    • 真空中にいる球形の牛は衝撃波に免疫がある