無作為な実係数多項式では、最大の根が複素数より実数である可能性のほうが高い

ランダム多項式の最も大きい根は、複素数の根より実数の根である確率のほうが高いのか？

• 実係数を持つランダム多項式の実根の個数は、複素根の個数よりはるかに少ない
  • ただし、係数が (-1, 1) の範囲で独立かつ一様ランダムであると仮定
  • n次多項式の実根の個数は漸近的に (2 log n) / π + o(1) で、複素根の個数はおおよそ n - (2 log n) / π
• 多項式の最も大きい（または最も小さい）根は、絶対値が最も大きい（または最も小さい）根として定義
• 実根は複素根より指数的に少ないにもかかわらず、実験データによれば:
  • 最も大きい（または最も小さい）根が実数である確率は、複素数である確率より高い
  • この確率は、n が無限大に向かうにつれて約 1/2 に近い値へと低下する
• これは、実根が複素根よりはるかに少ないにもかかわらず、最も大きい根と最も小さい根の両方を含む可能性が高いという点で直感に反する

質問 1

• このような偏りの原因は何か？

質問 2

• n次多項式の最も大きい（または最も小さい）根が実数である確率は、（n が無限大に向かうとき約 1/2 に近い値へ）収束するのか？

GN⁺の見解

• 現時点では、最も大きい／小さい根が実数である確率が 1/2 に収束するというのは、まだ証明されていない予想に見える。これに対する厳密な証明が必要と思われる
• 多項式の根が単位円の周囲に一様な角度で分布し、根同士の間に非常に局所的な反発があることは知られている。しかし複素根は単位円の周囲に広がることができる一方、実根は実根同士の反発により、より小さくなるか、より大きくなるしかない
• 複素根の個数に比べると実根の個数は対数的にしか増えないとしても、実根はそれなりに多いと見ることができる
• この観点から見ると、最も小さい根が実根である可能性はそれほど驚くべきことではない
• 実係数ランダム多項式の根分布について、より深い研究が必要と思われる。特に、最も大きい／小さい根が実数である確率の極限値についての厳密な証明が必要である

[GN⁺]

Hacker Newsの意見

Hacker Newsコメント要約

ランダム係数を持つ多項式の最大実根の確率に関する議論

• 最大実根の確率が偶然と 1/phi の間にあることに驚き
• 素数はランダムではなく、前の素数から再帰的に発生するため、自然な成長パターンは e と phi を反映すると予想される
• R にはこのような数値実験のための組み込みサポートがある

  plot(polyroot(runif(101,-1,1)))
  

• ランダム性の定義や、奇数/偶数次数を考慮しているかどうかなど、追加の質問が提起された
• 係数をスケーリングすると、最大係数を除くすべての係数に対して非一様分布が生成されるだろうと推測

数学学習に関する助言の依頼

• 大学で数学を楽しんでいたが、卒業後の2年間あまりやっておらず、もう一度学び直す必要がある
• Project Euler のような面白いアイデアを探したり、教科書の問題をもう一度解いてみることが提案された

直感と異なる結果についての考察

• 複素平面上で根をランダムに選ぶと、実係数を持つ多項式はほとんど得られないため、実根のほうが多く出る可能性のほうが直感的にはもっと妥当に見える
• 反射対称性を使った直感的なアプローチの試みと、その限界についての考察
• 5次以上の多項式には公式がないため、実根と複素根の区別が難しい
• ランダム多項式の係数が実数なのか複素数なのかという疑問が提起された
• 複素平面は実数直線よりはるかに大きいため、実根の確率は 0 に近づくはずだという予想に反する驚くべき結果