ガロア理論
(golem.ph.utexas.edu)- Tom Leinster が、2021〜2023年のエディンバラ大学学部講義で使用した ガロア理論の資料を arXiv とウェブサイトで公開
- 資料は 講義ノート、約40本の短い解説動画、演習問題、約500問の多肢選択問題で構成されており、独学用資料としても活用可能
- このノートは、以前公開した Fourier analysis、general topology、linear algebra、category theory の資料よりも大きな関心を集めたようで、category theory のノートは書籍化もされた例外的なケース
- 初回講義が Covid の全面ロックダウン中に行われ、対面でのやり取りが難しかったため、通常よりも丁寧な案内と構成が必要だった
- 内容の充実度だけでなく、色や小さなアイコンといった 視覚的な構成もアクセシビリティを高めた要因と見られ、ノート・動画・問題は学習者にとって有用な公開資料として残っている
エディンバラ大学のガロア理論講義資料を公開
- Tom Leinster は、エディンバラ大学学部向け Galois theory 講義ノートを arXiv に掲載した
- この講義は2021年から2023年まで行われた
- ノートは以前からウェブサイトで共有されていたが、他の講義資料の大半もあわせて公開しようとしていたため、arXiv への登録が遅れた
- 公開資料は Galois theory course materials で閲覧できる
- 完結した独立型の講義ノート
- 約40本の短い解説動画
- 多数の演習問題
- 約500問の多肢選択問題
以前の公開資料との違い
- Leinster は過去にも複数の講義ノートを公開している
- ガロア理論のノートは、これらよりも大きな関心を集めたようだ
- 例外的に category theory のノートは書籍にもなっている
ロックダウン状況が生んだ丁寧な構成
- 初回講義は Covid の全面ロックダウン中に行われた
- 学生たちは対面でのやり取りの機会を失っていた
- Leinster は、学生には通常よりも多くの案内が必要だと判断した
- ノートが注目された理由には、丁寧な内容構成だけでなく、見やすい外観も含まれる可能性がある
- 色
- 小さなアイコン
- 全体としてより読みやすい視覚的構成
公開資料の目的
- Leinster は、公開された ノート、動画、問題 が人々に楽しんでもらえることを願っている
1件のコメント
Hacker News のコメント
電気工学専攻でしたが、大学で Galois 理論を学び、たまたま Edinburgh で受講しました。4年生のとき、Advanced Mathematics を一種の苦行のように選択したのですが、受講者はごく少なく、数学科から毎日やって来る「本物の数学者」が教えていました。
数学教育はかなり受けていましたが、新しい数学を作り論文を書く人に直接教わったのは、このときだけだったように思います。彼は符号理論への応用を例にして Galois 理論を教えてくれて、正直、人生の転機だったと思っています。
正十七角形の作図については二度と考えなくなり、決闘や Montparnasse も確実に避けるようになりました。冗談はさておき、頭の中で電球が点くような感覚で、後に ECC や ZKP を知っていることで賢く見せようとする人たちに出会ったとき、キャリア上とても役に立ちました。「大学で学んだことは何一つ使わなかった」という人たちとは正反対でした。
Ian Stewart の本は独学用として優れており、興味深い歴史的背景も含まれています。
https://www.taylorfrancis.com/books/mono/10.1201/97810032139...
今年の終わり、おそらく冬ごろ、進み具合が良ければこの本で読書会を開く予定です。こうした本を一緒に読み、進捗を共有したい人がいれば、IRC と Matrix の #bitwise チャンネルに招待したいです。2つのチャンネルはブリッジされているので、どちらから入っても構いません。
このチャンネルには HN ユーザーや、##math、##physics、#cs など他のチャンネルのユーザーがいて、読んでいる数学・計算関連の本の進捗や内容を共有するオンライン空間です。
[1] https://web.libera.chat/#bitwise
[2] https://app.element.io/#/room/#bitwise:matrix.org
https://bookstore.ams.org/view?ProductCode=STML/95
今日、理論を教える方法は、数学的思考や記法の発展を経て再構成されていることが多いのですが、それ以前の原論文を読むのも非常に興味深いものでした。その用途には、Peter Neumann の The mathematical writings of Evariste Galois を強くおすすめします（https://ems.press/books/hem/102）。フランス語原文と逐語訳の英語が並んでおり、文脈や考えられる思考過程を説明する注釈もあります。フランス語を学んでいる途中だったので、フランス語をさらに読む楽しみもありました。
第1章はすばらしい
ここ数年、数学の講義にはもっと文脈が必要だと言い続けている。X、Y、Zを証明でき、この授業はそれを教えるが、そもそも私たちがX、Y、Zをできるようにした動機となる問題は、さらっと触れられるだけで終わる
何かを解いたあとで、より一般的な形に作り直すことができ、その再構成自体が一つの対象になる。こうした形で発展が続くのはすばらしいが、教育という目的では、目的地だけでなく道のりを教えたほうが人の頭にははるかに残りやすい。微積分Iを教えるときに、Newtonがどんな問題を解こうとしていたのか、なぜそうしたのかを入れれば、学生をずっと引き込みやすかったはずだ。追いかける物語と、学ぶ理由が生まれるからだ
第1章を書いた著者に称賛を送りたい。残りもおそらく良いのだろうが、今のところ第1章だけざっと見る時間しかなかった。これは数学だけでなく、ほとんどあらゆる科目にも当てはまると思う
学部時代に数学のチュータリング機関で働いていたが、微積分の授業は工学・理科系向けと、経営・経済向けに分かれていた。Newton力学が面白い、あるいは専攻に関係があるならそのアプローチはとても良いが、生物学や経営工学のような専攻の学生は、教科書の物理応用のせいでかえって苦労しているのをよく見た
学生は「微積分が難しい」という一つの問題で来ているのに、突然、微積分を理解するには物理も理解しなければならないという二つの問題になる。微分と積分そのものはよくできるのに、物理の問題が混ざると詰まる学生がいた。現実の問題を数学に移す能力は重要だが、関心のない特定分野が入り込むと、より大きな障害になる
経営の学生も似ていた。チューターの多くが工学系だったので、基礎的な金融知識が必要な例題だらけの教科書を使う経営の学生を助けるのは難しかった。金融量は連続的ではなく離散的な場合が多く、チューター側の混乱もさらに大きくなった
学生が関心のある応用を見つけられるなら、もちろんそのアプローチを使えばよい。だが汎用の教科書では、特定の応用を選ぶことが、それに関心のない多くの学生の学習を妨げる
数学が時代とともにどのように発展し、過去の人々が重要な問題をどのように解いたのかを学ぶと、今日別の問題を解くときに役立つのだろうか。数年前に Mathematical Thought from Ancient to Modern Times の3巻セットを買ったが、最初の数章を超えて読む時間がなかった。そういう数学史の大著でおすすめがあれば興味がある
不思議なことに、David Foster Wallaceの Everything and More を読んだあとで、ずっと理解しやすくなった。Cauchyらが問題を厳密にする前に数学者たちがぶつかった逆説や袋小路を説明してくれたからだ。Wallaceはポストモダン小説家だったのに、なぜ無限をあれほど明確に説明できたのかは分からない。彼の他の作品は楽しめなかった
プログラマーの頭では、t^3 = 2を解くにせよ、t^100 + t + 1 = 7を数値的に解くにせよ、どちらもNewton法のような反復法を使う必要がある。「n乗根ボタンがある」というのは論拠にならない。もっと一般的なNewtonボタンを入れることもできたはずだからだ
両者が根本的に違うようには見えない。なぜ根号で解けることが重要なのか。数字2を使わずに解けるかを問うのと同じくらい恣意的に感じる。反復法、Newton法、二次収束といった、別の意味での解ける可能性のほうに関心が向きそうだ
いくつかの別の大学の学生とも話したが、似た経験をしていた。当時は誰も喜んでいなかった。私の教授は少なくとも2コマ分を、黒板に歴史だけを書くことに費やし、私たちはかなり退屈していた。ただ、私たちは数学の大学院生だったので、動機づけを必要としていたわけではなかった
Galois理論は、数学が好きではない人たちとも夕食の席で動機や内容を話せる、理論数学の説明であり頂点だと思う
二次方程式の解の公式から始めれば、ほとんど誰もが何かしら覚えている。多項式でxを解く話をし、いつでもxを解けるのか、それが何を意味するのかへ進む。多項式をグラフに描けばx軸を通るので解はあるが、だからといって係数で表された公式で解けるという意味なのだろうか。これは、すべてのn次多項式が複素数上でn個の解を持つという代数学の基本定理を示唆している
根号で解くことと、それが多項式の係数によるxの公式を持つという意味にどうつながるのかは、説明するのが難しくはある
結論は、一般の5次以上の多項式については、係数で表され、四則演算と根号の抽出だけを使うxの公式は存在しないということだ。Galois理論はこれを証明する
Galoisがこの功績を得ている理由は、「公式がない」ということをどう定式化し証明するかを考えるのに、途方もない想像力が必要だったからだ。公式がないとはどういう意味なのか、それをどう正しく組み立てて証明するのかが核心である
Galois理論ははるかに多くの洞察を与え、ある5次方程式がなぜ根号で解けるのか、などを理解させてくれる。だがGaloisが5次の公式不存在の証明の功績を受けるべきではない。少なくとも彼が最初ではなかった
大学の抽象代数学の授業では、Galois理論はいつも終盤の山場のように記憶されている。Galoisは卓越した数学的頭脳で、20歳で決闘により亡くなっていなければ、さらに何を貢献していただろうかと思う
https://en.wikipedia.org/wiki/%C3%89variste_Galois
数年前、Charles C. Pinter の A Book of Abstract Algebra で勉強会をリードしたことがある。最後は Galois 理論につながっていて、数学の勉強会で使った本の中でも最高の一冊のひとつだった
本の後ろのほうにある Galois 関連の部分も覚えている。多項方程式の根を解く歴史、とくに任意次数の方程式を解く歴史についての面白い箇所もあった
数学専攻ではない立場として、この Simple Wikipedia の記事が大まかに正しいのか気になる。謙虚なエンジニアとして、数学講義の一覧で Galois 理論をいつも見かけていて、それが何なのか知りたかった
https://simple.m.wikipedia.org/wiki/Galois_theory
Galois が発見した輝かしい洞察は 体と群のあいだの根本的なつながりだが、それは問題を解く「手法」に近い。「なぜわざわざそれをするのか」は少し複雑だが、簡単に言えば Galois は、ある多項式がある体で解けるか解けないかを判定する基準を立てたかったのだ
たとえば x^2 = -1 は複素数 C では x = i として解けるが、実数では解けないことを知っている。この種の証明を、任意の体と任意の多項式について機械的に実行できるほど一般化できるだろうか、というのが問いである
より現実的なプログラマーやエンジニアにも届くように、Galois 理論へつながる問いを https://news.ycombinator.com/item?id=41258726 で動機づけしようとした
代数学の2学期目に Galois 理論の単元があったが、当時は 抽象的なたわごとのように感じられて理解できなかった。今は見方が変わったかどうか確かめるため、この資料を追ってみたい
Galois 理論の主な動機は、5次方程式の一般解が不可能であることを証明することだった。二次方程式 ax^2 + bx + c = 0 を解く一般公式は数千年前から知られており、数学者たちは努力の末に3次と4次の多項式の公式も見つけた。しかし5次の閉じた形の解は誰も見つけられなかった
Galois と Abel は最終的に、5次方程式の公式は存在しないことを証明した。少なくとも、足し算、引き算、掛け算、割り算、べき乗、根号では表せない。たとえば x^5 - x + 1 のように、そのような形では根を表現できない具体的な方程式も特定できる
この証明を扱う授業を丸ごと受けたが、実際とても興味深かった。群と体のあいだに深い対応を築き、群に関する理論を体に関する理論へ、またその逆へ移せるほどになる。対称性を分析する非常に強力な道具も提供してくれる
実際の証明は、むしろ拍子抜けするほどだ。多項方程式の根の構造に関する深い証明を山ほど積み上げると、最後には x^5 - x + 1 のような特定の5次多項式の対称構造が、基本的な数学演算が持つ対称性と合わないことが分かる。文字どおり、その多項式の解の体は可解群に対応しない: https://en.wikipedia.org/wiki/Solvable_group
ほとんど同じ流れで、コンパスと定規だけで角を三等分することが不可能であることも証明する。数千年にわたって数学者を悩ませた問題だった。少しがっかりするほどだが、1学期まるごと群、体、体拡大といった「抽象的なたわごと」を定義し終えると、5次一般解の不可能性の証明は10分で済み、角の三等分不可能性の証明も同じだ
Galois 理論が コンパイラとプログラミングに触れる興味深い点がいくつかある
抽象解釈は、潜在的に無限であるプログラム動作の集合を、より単純で、しばしば有限で、健全に近似され推論しやすいモデルへ写像する。ここで Galois 接続を使い、無限の体と有限の群を結びつける Galois 理論になぞらえることができる。値番号付けの作業をしているとき、こうした考えをよくする
もう少し無理のある比喩かもしれないが、整数のような計算領域にエラー値のような追加の値を拡張することを、一種の体拡大のように考えるのも興味深い。体拡大と同じく、ときには予期しない複雑さが生じる。たとえば一意分解の喪失、LLVM の poison と undef、NaN などである
本質的には、プログラムで到達可能な状態集合を健全に近似できるようにし、それによって悪い状態に到達し得ないかを確認したり、あるチェックが不要で削除できるかを判断したりできる。ほかの応用としては Rust の新しい借用チェッカーがあり、各プログラム地点でどの変数が生存していて借用されているかを判断する複数のデータフローパスに基づいている
「i と -i を区別する方法がない」という話に関連して、今でも純粋に代数的に左手座標系と右手座標系をどう区別するのか分からない
基底 [(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)] は左手系なのか右手系なのか？ 図なしでは分からない。分かる人がいるのか気になる
「左」と「右」は双極子だ。一方は他方なしには存在できず、互いに対称である。Galois 理論で議論される共役と同じ問題だ
実際、代数的、つまり順序・算術・解析ではない観点では、sqrt2 や i のような体拡大の共役を + と - で表すこと自体が誤解を招き得る。このような共役対には、+ と - より Left と Right のほうがよい名前だ。算術的な順序を与えるときにだけ、+ と - を使う意味が出てくる。例えば x が正の実数のとき、-sqrt(x) < 0 < +sqrt(x) と言える
x が負の実数なら、この問題はすぐに表面化する。-i と i は 0 に対する順序では分離できない
複素数は本質的に 2 次元空間の理論だ。質問は 3 次元空間に関するものだ。引用した文は、理論的には上と下を区別できないと言っている
すべての 3 次元空間の中には 2 次元空間が入っている。それを見る方法はいくつもあるが、最も簡単なのは z 座標を捨てることだ
3 次元空間で左手系と右手系を区別できると仮定すると、その中に含まれる 2 次元空間で上と下を区別する方法が得られる。しかし 2 次元空間ではその区別はできないので、3 次元でも左手系と右手系は区別できない