n個のボールの間にあるn個のボール

 (arnaldur.be)
1 ポイント 投稿者 GN⁺ 2024-10-11 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • Arnaldurはこのサイトを自身のインターネット上の住まいとして紹介し、自分をComputer Scientistだと述べている
  • 現在はソフトウェア開発コンサルタントとして働いており、メールで連絡できる
  • サイトでは、Arnaldurが書いたいくつかの記事を読める
  • WebサイトはSolidStartで自作されており、静的にレンダリングされる
  • デプロイとスタイリングにはAWS・SST・matcha.cssを使用しており、サイトのどこかにイースターエッグが隠されている

Arnaldurと連絡先

  • Arnaldurは自分をComputer Scientistだと紹介している
  • このWebサイトはArnaldurのインターネット上の住まいの役割を果たしている
  • サイトには読める記事がいくつかある
  • 現在はソフトウェア開発コンサルタントとして働いている
  • 連絡先として a.arnaldur+be@gmail.com のメールアドレスを提供している

Webサイトの実装方法

  • SolidStartを使ってWebサイトをゼロから作成
  • サイトは静的レンダリング方式で提供される
  • ホスティングはAWS上で行い、SSTの助けを借りている
  • スタイリングの基盤としてmatcha.cssを使用
  • サイトのどこかにイースターエッグが隠されている

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1件のコメント

 
GN⁺ 2024-10-11
Hacker Newsのコメント
  • ハチが高次元で「とがる」と考えるより、箱そのものがとがっていくと見るほうがよい
    記事でも述べられているように、球は定義上つねに完全に対称である
    一方で箱はまきびしのような形になり、頂点は原点から次元の平方根に比例してどんどん遠ざかっていくが、各面の中心はずっと正確に ±1 にとどまる
    周囲の 2^N 個の球も原点から遠ざかるが半径は 1/2 のままなので、中央の球がますます多くの空間を得て、ついにはとがった箱の外へ伸びていく様子を想像しやすくなる
    • 高次元の球を考える別の方法では、とがっているというのは適切な可視化になる
      たとえば球の中心から境界までの距離の 90% の位置に平面を置き、その平面の「外側」の体積が全体の何パーセントかを見ると、高次元ではその体積は無視できるほど小さくなる
      次元が本当に高くなると、中心にかなり近いところで切っても切り落とされる体積はごくわずかで、3 次元世界でこの性質に最も近いのはトゲのような形である
      高次元の球がとがっていないという意味は、対称性と滑らかさにある
      したがって高次元の球について直感を作るには、同時に対称的で、滑らかで、とがっているものとして考える必要がある
      それからさらに不可能なことを五つ考えれば朝食が食べられる
    • まさにその点だ。正方形の頂点は平面のその部分で 1/4 を占め、立方体の頂点は 1/8 を占め、n 次元の 超立方体 の頂点は空間の 1/(2^n) しか占めない
      しかし各辺・面・超面は平面・空間・n 次元空間をただ半分に分けるだけだ
    • ある意味では、ユークリッド n 次元空間では球のほうが立方体より 自然な対象 である
      距離を導入した瞬間に、立方体は人工的な構成物になる
      ただし単純な積空間では自然な要素ではあるが
    • 原文も Hamming の講義のすぐ後でそう述べている
      「したがって n 次元の球がとがっていると見るよりも、その周囲の空間が球より速く大きくなると見るほうがよい」
  • これは 次元の呪い を本当によく示す例だ
    https://en.m.wikipedia.org/wiki/Curse_of_dimensionality
    • これが LLM スケーリング則 とどう結び付くのか興味深い
  • なぜこれが単に位相的に n-球である二つの図形についての話だと思い込んだのかわからない
    それぞれがある n-球の境界上にある二つの半(n-1)-球のどちらか一方に接しており、それ以外では交差しない状況のことだ
    3 次元で言えば、球一つと色の異なる粘土の塊を二つ用意し、それぞれの粘土を球の表面の半分に押し付けつつ、二つの粘土の塊はそれぞれ位相的に 3-球のままであるような場合に似ている
    実際、それについて何か面白い話があるのかどうかもよくわからない
  • 印象的で役に立った
    さて、新しい n 次元の手でその赤い n 次元の球をつかめるように、自分の 埋め込み を作り直す時間だ
  • この現象についての別の HN 議論を見たければ、同じ話題を扱った過去の投稿を参照できる
    その記事にはすばらしいアニメーションはないが、14 年前の投稿だ
    https://news.ycombinator.com/item?id=12998899
    https://news.ycombinator.com/item?id=3995615
    そして 2010 年 10 月 29 日の投稿もある
    https://news.ycombinator.com/item?id=1846682
  • 頭の中で球を転がしてみようとしても難しい
    この直感にたどり着く助けになる 中間段階の可視化 資料はもっとあるだろうか？
    記事はとてもすばらしいが、完全に対角化された 10 次元構造を 3 次元断面で見たときに、赤い球の緑の箱が隠れてしまうあの具現化された不条理を早く共有したい
    • 奇妙なのは赤い球ではなく 超立方体 のほうだ
      青い球を超立方体に接するように配置するのは人工的な構成であり、低次元でしか赤い球を「取り囲んでいる」ようには見えない
      私たちの直感が外れるのは、問題の考え方を間違えているからだ
      「赤い球は箱に閉じ込められているはずだ」と考えてしまうが、n 次元ではそのような幾何学的根拠はない
  • アニメーションのせいで完全に頭が吹き飛んだと言ってもいいくらいだ
    • 三角法が入ってくる部分はかなりきつい瞬間があった
  • Numberphile は以前この話題の動画を公開していた
    https://youtu.be/mceaM2_zQd8?si=0xcOAoF-Bn1Z8nrO