- Srinivasa Ramanujan が残した Rogers-Ramanujan 恒等式と分割恒等式は、100年以上たった今も複数の数学分野で繰り返し現れ、新たな研究の出発点になっている
- 貧困と正規教育の中断の中でも、Ramanujan は1912年に G.H. Hardy との書簡をきっかけに Cambridge で研究し、1920年に 32歳で亡くなるまでに数千もの結果を残した
- Rogers-Ramanujan 恒等式は、複雑な 無限和と 無限積が等しくなる構造を通じて、異なる条件を持つ整数分割が同じ個数で対応するという意外なつながりを示している
- Hussein Mourtada と同僚たちは、特異点の arc space を層に分けて数える過程で同じ構造を発見し、Pooneh Afsharijoo とともに、より複雑な特異点で新しい分割恒等式を探している
- Ken Ono、William Craig、Jan-Willem van Ittersum の 素数判定公式は、分割と乗法的数論の間に、まだ説明されていない深い関係が残っていることを明らかにしている
Ramanujan が残した問題の持続性
- Srinivasa Ramanujan は 独学型の天才の象徴のように見なされている
- 南インドで孤立した状態で多くの研究を行い、食べ物を得るのも難しいほど貧しかった
- 1912年、24歳のときに複数の著名な数学者へ自分の結果を記した手紙を送ったが、ほとんどは無視され、G.H. Hardy だけが返信した
- Hardy は約1年にわたって書簡を交わした後、Ramanujan が英国へ渡れるよう支援した
- 1920年に 32歳で亡くなるまでに、数千もの優雅で驚くべき結果を生み出し、その多くには証明がなかった
- 彼の式は100年が過ぎた後も、一見かけ離れた分野で再び現れている
- 統計力学と相転移
- 結び目理論と弦理論
- 数論と表現論
- 対称性の研究
- 代数幾何における曲線と曲面の研究
Rogers-Ramanujan 恒等式の出発点
- Ramanujan は高校時代から高度な教科書を読み、数の性質やパターンを独自に研究していた
- 1904年に Kumbakonam の Government Arts College で全額奨学金を得たが、数学以外の科目を無視したため、1年以内に奨学金を失った
- その後 Madras の大学にも入学したが卒業できず、1912年に Madras Port Trust の事務員として働きながら数学を続けた
- Hardy に送った手紙には 連分数に関する結果が含まれていた
- Hardy は後に、それらの式に完全に圧倒されたとし、もし偽であれば誰にもそのような式を想像することはできなかっただろうと回想している
- 証明されていない式は、Hardy が Ramanujan に Cambridge のフェローシップを提案するきっかけになった
- Ramanujan は自身の連分数に関する一般命題を証明しようとしたが、必要な2つの命題を最後まで証明できなかった
- Hardy と同僚たちも証明に失敗した
- その後、それらの命題は L.J. Rogers が20年前にすでに証明していたものの、ほとんど注目されていなかったことが明らかになった
- この2つの命題が後に Rogers-Ramanujan 恒等式と呼ばれるようになった
分割恒等式が示す意外な等式
- Rogers-Ramanujan 恒等式は、それぞれ複雑な 無限和を複雑な 無限積に等しいものとして置く
- この恒等式は、加法と乗法という別々に見える構造の間のつながりを明らかにする
- Percy MacMahon は、この式の両辺がどちらも 整数分割を数える方法として解釈できることに気づいた
- 整数4の分割は、4、3+1、2+2、2+1+1、1+1+1+1の計5個
- 整数200の分割数はほぼ4兆個
- Leonhard Euler は18世紀に最初の分割恒等式を証明した
- 任意の整数について、すべての部分が奇数である分割の数は、すべての部分が互いに異なる分割の数に等しい
- 第1 Rogers-Ramanujan 恒等式は、ある整数について、まったく異なる2つの条件が常に同じ個数を生むことを示している
- 一方は、重複した部分や連続した部分のない分割を数える
- もう一方は、5で割ったときの余りが1または4である部分だけを持つ分割を数える
- Shashank Kanade はここで「なぜ5が出てくるのか」を特に奇妙な点と見ている
複数の分野で繰り返し現れた恒等式
- 1970年代後半、Rodney Baxter は相転移を理解するための単純化した気体モデルを作る中で、統計力学の観点から Rogers-Ramanujan 恒等式を再発見した
- 同じ頃、James Lepowsky と Robert Wilson は、この恒等式が 表現論にも現れることを証明した
- この結果は、vertex operator algebra 理論という新分野を開くきっかけになった
- vertex operator algebra は今日、弦理論で使われている
- この理論は群論の「monstrous moonshine」予想の証明にも重要な役割を果たした
- 1990年代と2000年代にも、恒等式は複数の分野でつながり続けた
- 数論における modular forms の研究
- Markov chain 関連の確率論
- 結び目を区別し分類する多項式を扱う位相幾何学
- 各分野の手法で恒等式を再び証明することができ、そのつながりを利用して新しい恒等式も作られた
Mourtada の特異点研究と arc space
- Hussein Mourtada は博士課程以降、代数幾何に集中した
- 代数幾何は、多項式方程式で定義される図形、すなわち代数多様体を研究する
- 直線は
x + y = 0、円は x² + y² = 1、8の字形は x⁴ = x² − y² のような式で表せる
- 8の字形のように自分自身と交わる点は 特異点である
- 紙に描ける図形の特異点は容易に見ることができる
- 高次元の代数多様体の特異点は可視化が難しい
- John Nash は1960年代、特異点を理解するために arc space という関連対象を研究した
- 1つの点または特異点を通る無数の短い軌跡を定義する
- これらの短い軌跡を合わせて見ることで、その点において多様体がどれほど滑らかかをテストできる
- arc space は実際には、無限個の多項式方程式の集合を与える
- Bernard Teissier は、Mourtada がこれらの方程式の意味を理解する専門性を持つと見ていた
- 方程式は複雑だが、その性質を支配する構造は多く残っている
特異点の中で再発見された Rogers-Ramanujan
- Mourtada と Jan Schepers、Clemens Bruschek は、単純な特異点の arc space を研究し、その空間を層に分けた
- 各層にある多項式の数を数えている中で、Mourtada はその数列が見覚えのあるものだと気づいた
- 2010年には fat point という単純な特異点の arc space を層に分け、各層の多項式数を数える中で、Rogers-Ramanujan 恒等式の和の側と同じ構造を発見した
- 彼は分割とは別の対象を数えていたが、実際には同じものを数えていることに気づいた
- 任意の分割に多項式方程式を結びつけられることは、古くから知られていた
- Mourtada の arc space の各断片は、特定の多項式部分集合、したがって特定の分割部分集合だけを含んでいた
- Mourtada、Bruschek、Schepers は、自分たちの arc space 構造がこの恒等式で説明できることを証明した
- この単純な事例の後、Mourtada は10年以上にわたって研究をより一般的な形へ拡張した
Afsharijoo と新しい分割恒等式
- Pooneh Afsharijoo は2015年、フランスで Mourtada の指導のもと大学院研究を始めた
- 2人は、より複雑な特異点とその arc space を研究し、多くの新しい恒等式を見つけた
- Afsharijoo は Rogers-Ramanujan 恒等式の拡張も発見した
- 元の恒等式は、同じ数の分割が互いに非常に異なる2つの条件を満たすことを述べている
- Afsharijoo はここに第3の条件を発見し、100年以上前の恒等式の範囲を広げた
- 現在、2人の研究者は点と辺からなる グラフを用いて arc space の情報を表現している
- これによりグラフ理論の道具を適用している
- 追加の新しい分割恒等式を見つけるために活用している
分割恒等式で素数を判定する
- Ken Ono、William Craig、Jan-Willem van Ittersum は9月、分割恒等式の別の応用を発表した
- 彼らは分割を数える関数を使って 素数判定公式を作った
- ある素数を公式に入れると0が出る
- 素数でない数を入れると正の値が出る
- この方式で整数全体から素数の集合を選び出せる
- Ono は、分割が加法と数え上げに関する対象であるにもかかわらず、乗法的性質である素数かどうかを正確に判定できる点を疑問としている
- 彼らは modular forms 理論を活用し、この公式がより大きな系列の一部であることを見つけた
- この結果は、分割と 乗法的数論の間にある、より深い関係の探究へと向かわせる
Ramanujan の遺産が拡張され続ける理由
- George Andrews は、分割理論は非常に基本的であり、何かを数えて足し合わせることはほぼすべての数学分野で起こると見ている
- しかし、そのつながりの正確な性質を把握するのは難しく、Ken Ono は正しい視点を得ることが重要だと見ている
- Shashank Kanade にとって、Ramanujan の仕事は1つの恒等式で終わる行き止まりではなく、常に 氷山の一角である
- Mourtada は、Ramanujan は自分のような人間には想像できないことを想像できたのだと語る
- 新しい数学分野の発展のおかげで、今日の研究者たちは、Ramanujan が直感だけで見つけたであろう新しい分割恒等式を探し続けている
1件のコメント
Hacker Newsのコメント
面白い記事だった。特に、Ramanujanが数学以外の多くの科目には興味を持てず、うまくいかなかったという点が印象に残った
社会や規範は、学生がさまざまな科目を学ぶことを期待するが、人によってはそれらの科目がまったく面白くないこともある
宿題や退屈な授業に耐え、Aを取るための暗記作業のせいで、どれほど多くの天才性を見逃しているのか気になる
たいていの人はそうした科目の内容をほとんど覚えておらず、最優秀の学生でさえ概して平均より少し良い成果にとどまっているように見える
Ramanujanのような人は、幸運な機会を得られなければ平均の海に埋もれ、規範のせいで才能を閉ざされていたのではないかと思う
読んできた非凡な人物はほぼ全員、忘れ去られる寸前に何らかの巨大な機会に出会って飛躍したように見える
公教育が子どもたちを多くの科目に触れさせるのは良いことで、そうしてこそ何が自分に合うのかを発見できる
本当の危険は、ある科目にまったく触れないことであり、専攻を狭める場所は大学だと思う
彼のような人に合わせて学校を最適化すると、残りの99,999,999人にはうまく機能しない可能性が高い
さらに、その1人に対しても正確に合わせるのは難しく、極端な外れ値には一般化できるパターンがほとんどない
若いRamanujanにとって理想的な教育は、若いVon Neumannにとって理想的な教育とも異なるかもしれない
理想的にはすべての子どもに極度に個別化された教育を与えられればよいが、言うほど簡単ではなく、それでも極端な天才を見つけて投資するやり方はすでに試みられている
ただ、概して平均的な人々が「制度が自分の創造性を抑えつけたからであって、自分は天才だったはずだ」と主張する場合が多い
本物の天才である子どもたちが、10年以上の初等・中等教育を経ても創造性を発揮する出口をまったく見つけられないとは信じがたいので、見逃されるケースは多くないか、ほとんどないと思う
しかし、私たちが最適化すべき対象がそれだとは思わない
多くの人は、好きではないことも学ぶようある程度強制されなければ、雇用可能性が大きく下がりかねない
工学や科学が好きなら幸運だが、芸術や文学にしか関心がないなら、相対的にはあまり運がよくない
ある段階に到達するには、試験に合格するか、特定のスキルを証明しなければならない
どの科目をどの段階まで進めるかは各子どもが選ぶ一方で、何かを選んで次の段階へ進もうと努力することは義務とする
複数の科目を探索し、最低限の段階は達成するよう促すこともできる
また、年齢ではなく科目ごとの水準で子どもたちをまとめ、少し異なる水準の子どもたちが一緒に訓練するようにする
高い段階の子どもたちは低い段階の子どもたちを助け、低い段階の子どもたちは高い段階の子どもたちを尊重することを学ぶべきだ
このスレッドは、私たちの社会で教育について論じるのが難しい理由をよく示している
一般的な論点やメタ的な観察を持ち出そうとすると、すぐに各自が教育課程で経験した個人的なエピソードが大量に押し寄せて、それを飲み込んでしまう
他のテーマでも似た現象はあり得るが、学校の話が出た途端、長くて詳細で感情の強いエピソードがこれほど素早く噴き出す例はあまり思い浮かばない
教育構造がなぜ人々にこれほど打ち明けたくさせるのか考えてきたが、全体として長く残る強い不快感があるように見える
虐待的な関係に似ていて、よりよい関係、つまり別の教育構造へ進むための感情的な作業が、ある時点であまりにも大きくなり、結局「耐える」ことだけに集中するようになるのかもしれない
付け加えると、記事全体を読み、Ramanujanのことは好きだが、彼の存在を知ってからは、大学の数学の授業が彼のしていたことからあまりに遠く見えて、ずっとつらくなった
そのように大きなものを拡張しようとすると、人々を制度内の箱に入れなければならず、人間同士の小さく細かな違いを必然的に無視することになる
しかし個人の立場では、その小さな違いを無視するやり方はうまく機能せず、その部分が自我に触れるため、挫折を語る機会を歓迎するようになる
HNでマイナーなテーマの記事が上がると、コメント欄に実体験者が現れて話をする点を好む人は多いが、教育は誰もがその当事者になれる珍しいテーマだ
はっきりさせておくと、Ramanujanはインドの教育制度の産物ではなく、むしろその制度は彼にとってかなり残酷で、愛想の尽きるものだった
彼は独学の数学の神童であり、よく知られた2本の大型伝記映画以外にも、インドの複数言語のテレビドラマがこの点を繰り返し強調している
彼は主にG.H. HardyのInequalitiesや複数の本で独学し、それらの本は今ではクリック一つで無料でアクセスできる
誰も数学の勉強を妨げているわけではなく、教育があるかないかはこの問題とはあまり関係ないと思う
そこに教師の「質」を測る方法が組み合わさり、平均的な学校教師が「成果」を出すために、生徒を公然といじめるのに近い戦術や方法論を使う場合がある
教師と生徒は互いを選ぶ過程を経ず、特に悪い組み合わせを管理する手続きもない
ただ割り当てられて互いに縛られ、教職の倫理的失敗が至るところに現れる
Daniel WillinghamのWhy Don’t Students Like Schoolから始め、American Federation of TeachersのAsk the Cognitive Scientistの記事と関連論文を読みふけり、Greg Ashmanのブログとポッドキャストを通じて認知負荷理論に触れ、Dylan WiliamとRobert・Elizabeth Bjorkの研究へと続いたという
気づけば本や論文を200本以上読み、夜中にアイデアで頭が煮え立って目を覚ますこともあった、という内容だ
Ramanujanの話で本当のMVPはG.H. Hardyだ
地球の反対側にいる無名の人物、しかも当時の見方では「native」扱いされていた人物からの手紙を読み、真剣に受け止め、彼を英国に連れてくるためのリソースまで手配した
Ramanujanが送った他の人々がみな無視したのは、理解できることではある
彼があれほど若くして亡くなったのは悲劇だ
Ramanujanの短い人生そのものも世界にとっての損失だが、G.H. Hardyがいなかったために無視されたRamanujanがどれほど多かったのか、そして残りの95%の中のRamanujanたちはどうだったのかを想像させられる
G.H. HardyがRamanujanに示した育成的な態度と、数十年後にArthur EddingtonがSubrahmanyan Chandrasekharに示した、些細で背後から撃つような態度を対比してみると興味深い
関連リンクの多い議論はhttps://news.ycombinator.com/item?id=41284239にある
彼は長く豊かな知的伝統を持つ文化の出身だった
世の中には価値あるものが多いが、誰かがそれを見つけ出して後押ししなければならない
「その命題は20年前にL.J. Rogersというあまり知られていない英国の数学者が証明していた……Rogersは比較的無名のまま研究し、ピアノを弾き、庭の手入れをし、余暇をさまざまな活動に使うことに満足していた」というくだりは、神聖なほどインスピレーションを与えてくれる
働く多くのソフトウェアエンジニアにとっては、引退後の夢でもある
Srinivasa Ramanujan のように、複雑な分割や恒等式を夢で得たと語る数学者たちの話は、いつも魅力的です。
まるで心が隠された知識の貯蔵庫にアクセスしているかのようです。
こうした直感的な飛躍を何が導くのか気になります。
Ramanujan の脳が睡眠中も静かにパターンを処理し、私たちにはまだ理解しにくいデフォルトモードネットワークを活用していたのか、それとも複雑なニューラルネットワークの創発的性質なのか、あるいは Jung の集合的無意識を垣間見たのかが気になります。
近年の神経科学、AI、認知心理学の進歩は、Ramanujan のような革新者が隠れた洞察にアクセスする仕組みを説明してくれるのか、それとも今もなお「天才は神秘的だ」という領域にとどまっているのか知りたいです。
個人的にも霊的にも数学に取りつかれており、数学を神性の表現と見なしていました。
したがって、彼の記憶のかなりの部分はすでに数学的なもので、ランダムに浮かぶものも数学的であった可能性が高いです。
インドにいた時も他の数学者たちと交流し、論文を読み、学術誌に投稿しており、洞窟の中の隠者ではありませんでした。
結果を夢でそのまま得たという主張は、彼をめぐる神話の一部だと思います。
読んだ限りでは、彼は公式を導くための骨の折れる作業を大量にしていましたが、最終結果だけを発表したため、何もないところから呼び出したように見えるのです。
Hardy に、その結果を導く全手順を収めた本一冊分の手紙を送ることはできなかったでしょう。
厳密な心理学的言語では、人が「知る」とは「発見する」または「明らかにする」という意味であり、人が「学ぶ」とは、無限の知識の鉱山である自らの魂から覆いを取り去って「発見する」ことだと述べています。
Newton が重力を発見したと言うとき、それはどこかの隅に座って待っていたのではなく、彼の心の中にあり、時が来て見つけ出したのだという説明です。
世界が受け取ったすべての知識は心から生まれ、宇宙の無限の図書館は自分自身の心の中にあり、外界は心を研究させる暗示と契機にすぎない、という内容です。
Ramanujan が夢の中で神聖に公式を啓示されたという話を読むたびに、Vivekananda の意識と心に関するこの一節を思い出します。
また Mundaka Upanishad 2.2.9 には、「すべての存在の内に隠れた Self は現れて輝くことはないが、鋭く微細な知性を持つ、微細なものを見る者には見える」という趣旨の一節があります。
究極の知識や真理はすべての存在の内に隠れており、繊細な内的知覚を通じて現れ、知識は心の中に潜在していて、外部から探すものではなく発見されるものだという意味です。
それほど珍しい現象ではありません。
もちろんその解決策が
forループかもしれないので Ramanujan と比較するつもりはありませんが、極めてまれな現象というわけではありません。ある人が夢の中でこうした知識にアクセスしたのなら、それは可能だというサインでもあります。
次に気になるのは、どうすればこれを全員にとってデフォルトにできるかです。
メキシコで細菌に耐性のある小麦品種を一つ見つけ、それを世界中に複製したように、人間にも似たことができるのか考えさせられます。
この表現はあまり気に入っていませんが、感覚が伝わることを願います。
Ramanujan とその業績をもっと知りたい人には、いくつか資料があります。
付け加えると、投稿された記事で George Andrews はRamanujan ネクタイを着用しています。
https://en.wikipedia.org/wiki/The_Man_Who_Knew_Infinity
記事では、インタビュー対象者の一人の最近の論文[1]が McMahon 分割関数を素数判定に使っているとあります。
実行時間が AKS 素数判定や、より実用的な BPSW[2] と比べてどうなのか気になります。
実用暗号に適用できるのかも気になります。
Ramanujan の物語はとても興味深いが、もっと多くのインドの数学者や科学者が広く知られるようになってほしい
Harish Chandra、C. R. Rao、Manjul Bhargava、Narendra Karmakar のような数学者や、C. V. Raman、Satyendra Nath Bose、Meghnad Saha のような物理学者、Har Gobind Khorana や Venkatraman Ramakrishnan のような人物もいる
一部のインド人は相応の評価を受けていないが、慰めになるなら、「西洋」の数学者や科学者の中でも広く知られている名前は多くない
数学者でも物理学者でもないし、他の人たちはよく知らないが、インド人が数学と物理学、たぶん他の分野にも大きく貢献してきたことはよく知っている
現在の世代は、こうしたインドの偉大な人物をほとんど知らない
現状を改めるには、1) インド・ニューデリーの CSIR 傘下 NIScPR が発行する月刊誌 Science Reporter をみんなが購読し、インド科学全般に触れるべき - https://sciencereporter.niscpr.res.in/
2) Springer から出ている Purnendu Ghosh らの The Mind of an Engineer という全2巻の本には、近年の科学者・研究者・エンジニアの文章が収められている - https://link.springer.com/book/10.1007/978-981-10-0119-2
3) 複数の著者によるインドの科学・科学者に関する本が Amazon India にあり、手に取る価値がある
4) 偉大な天体物理学者・宇宙論者 Jayant Narlikar（https://en.wikipedia.org/wiki/Jayant_Narlikar）の本、特に The Scientific Edge: The Indian Scientist From Vedic To Modern Times - https://www.penguin.co.in/book/the-scientific-edge/ と Science and Mathematics: From Primitive to Modern Times - https://www.routledge.com/Science-and-Mathematics-From-Primi... も見るとよい
だが誰もが boson は聞いたことがあるので、彼はある程度不朽の存在になったと言えるし、たいていの人より長く残った
https://universitiespress.com/books?id=0&sid=161
National Book Trust にもインドの科学者に関する本が何冊もある
Ramanujan は、世界中の何世代もの数学者にインスピレーションを与えた人物
彼の人生は美しい悲劇であり、畏敬の念と深い悲しみを同時に残す
厳格な伝統的バラモン家庭の出身であれば、船で海を渡るだけでも破門される危険があった
彼が属していた文化的背景が、この物語全体をさらに伝説的なものにしている
まげを切り、dhoti をやめて西洋式のスーツを着ることに至るまで、彼が自分の数学をもたらすために何を経験し、何を手放したのか、私たちには理解できない
自らの芸術を実践し、存在するために引き受けなければならなかった犠牲があった
G.H. Hardy が書いた A Mathematician's Apology はぜひ読んでみてほしい
数学者の脳がどのように働くのかを理解できる、最高の非数学テキストの一つだと思う
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
かなり短く、美しく書かれている