- タマネギを均一な大きさに切ろうとする放射状の包丁の入れ方の問題を数学的にモデル化した結果、包丁の先端は黄金比の逆数
0.61803398875… ではなく、半径の 55.73066% 下を向けるべきだという値が得られた
- モデルではタマネギを半径 1 の半円形の円板に単純化し、層の数と切れ目の数を無限大と置くことで、連続数学と多変数微積分で解けるようにした
- 計算の核心は座標変換のJacobianで微小片の相対的な面積を求め、その面積の分散が最も小さくなる深さ
h を見つける方法にある
- Mathematica の数値積分と数値最小化を適用すると、最小分散は
h ≈ 0.55 付近で現れ、「true onion constant」は 0.5573066… となる
- この値は層が無限に多い理想化されたタマネギを基準にしたもので、実際のように有限の層を持つタマネギでは最適な深さが変わる可能性がある
「60%下を狙って切れ」という助言から始まった問題
- Chef Kenji López-Alt の YouTube 動画では、数学者の友人から、タマネギを切るときは中心より下、半径の60%地点を狙って放射状に切るよう勧められたという話が出てくる
- その値は黄金比の逆数
0.61803398875… と関係があるものとして紹介される
- その後、実際にタマネギをそのように切りながら、なぜその値になるのかを数学的に検討する問題になった
- 2か月のあいだ大きな進展はなかったが、2日間の計算を経て「true onion constant」と呼ぶ値を見つけた
計算可能なタマネギモデル
- タマネギは、中心が原点にあり上半平面に置かれた半径 1 の半円形円板として単純化される
- 実際のタマネギの 3 次元構造や断面形状は除外する
- この単純化は問題を扱いやすくするための近似である
- 層の数が答えに影響するため、層が無限に多いタマネギを仮定する
- 1 層だけのタマネギなら、中心を狙って切るのが最善である
- 10 層のタマネギなら、中心より下を狙うべきである
- 層を無限にすると、切れ目の数も無限にある場合を自然に同時に考えられる
- この仮定によって問題は連続数学の領域に移され、微積分を適用できる
Jacobianで断片の均一性を測る
- 通常の極座標変換では、小さな面積
dx dy は r dr dθ に変わり、このとき r がJacobianの役割を果たす
- この値は、タマネギの微小片同士の大きさを比較する尺度として使われる
- 中心に近い断片は
r が小さいためより小さい
- 外縁に近い断片は
r が大きいためより大きい
- 断片の均一性は、微小面積の重みの分散で測る
- 分散が大きければ、断片はあまり均一でない
- 分散が小さければ、断片はより均一になる
- まず中心を狙って切る場合の平均面積重みと分散を計算し、その後、中心より下の点を狙う切り方のために新しい座標系を導入する
中心の下の1点を狙う座標系
- 包丁が向かう点を原点の下
(0, -h) に置き、h > 0 の座標系を構成する
- この座標系では角度
θ を (0, -h) から測り、半径 r は原点 (0, 0) から測る
- 放射状の部分は、原点基準のタマネギの層をモデル化する
- 角度方向は、包丁が
(0, -h) を目がけて直線的に入る方法をモデル化する
- この座標系は上半平面でのみ問題なく機能し、モデルのタマネギ全体が上半平面にあるため使用できる
- 対称性を利用すれば、右半分だけを解析すれば十分である
- 領域は
0 ≤ θ ≤ arctan(1/h)
- 半径の範囲は
h tan(θ) ≤ r ≤ 1
- 余弦定理で
(x, y) と (r, θ) の関係を求め、与えられた深さ h に対するJacobianを計算する
- この Jacobian をもとに、平均面積重み
A(h) と分散 v(h) を定義する
計算結果: true onion constant
v(h) を手で積分するのは非常に難しい、あるいは不可能に思われたため、Mathematica の数値積分を用いた- 分散を
h について描くと、最小値は h = .55 付近に現れる
- 数値最小化の結果、層が無限に多い理想化タマネギの「true onion constant」は
0.5573066… である
- 最も均一な放射状の切り方をするには、包丁をタマネギ中心より下、半径の**55.73066%**地点に向ける必要がある
- この値は動画で示された
61.803% に近いが同一ではない
- 実際のタマネギのように有限の層しか持たない場合は、値が変わる可能性がある
- 1 層では最適な深さは
0
- 無限に多い層では
0.5573066…
- 10 層のタマネギの最適な深さは
0 と 0.5573066… の間にあると予想されるが、深く調べられてはいない
その後の更新: 閉形式と名前
- その後、
v(h) を閉形式で計算できるようになった
- 微積分で関数を最小化するには導関数を 0 に置くため、
v'(h) を計算する
- 区間
(0, 1) におけるその導関数の唯一の根がタマネギ定数である
- この点は
v(h) の臨界点である
v'(h) の符号が負から正に変わるため、最小点である
- この方法によりタマネギ定数を任意精度で計算でき、1000 桁までの十進展開も含まれている
- この数学定数の名前として、ヘブライ文字のsamekhが選ばれた
- 選ばれた理由は、その文字がタマネギのように見えるからである
1件のコメント
Hacker Newsのコメント
ブログ記事の著者です。この記事に関心が集まってうれしく思います。問題設定と数学的内容、3次元のタマネギまで扱ったスライドをここに置いています: https://drspoulsen.github.io/Onion_Marp/index.html
問題と解法の詳細をまとめた正式な原稿もレクリエーション数学のジャーナルに投稿しており、質問も喜んで受け付けます
円は極座標で3度の弧120個のように同じ弧へ簡単に分けられますが、球面座標で球の表面に同じことをするのはひどく不便で、球面を1つの同一図形でタイル張りするような効果は不可能だと理解しています
地図上の各「正方形」が、球面上では歪みがあっても互いに同じ領域になるような座標系を考えていたときに思いついた問題で、タマネギ問題の2次元類似物が元の3次元の問いにどこまで答えているのかとも関係していそうです
「半径1の円盤の半分」としてタマネギ半分をモデル化する理由が気になります。タマネギ半分は半球に近いのに、なぜ解が同じだと期待すべきなのか分かりません
タマネギの両端、つまり包丁のヒールと先端に近い外側の断面を考えると、端に行くほどより垂直に近く切ることになります。外側が垂直に切られる分、中央の断面は少し浅く切る必要があるように思えます。なので、これを本当のタマネギ定数と呼ぶのはおそらく間違いだと思います
絵の具で塗られた図形から同じ量のインクを集めようとするように考えればよいです。一様な円盤と違い、記事の重み付き円盤は上下がより濃く中央がより薄く、実際にはASCII図のような帯ではなく陰影が徐々に変わります
個人的には面倒くさがりなので、半分のタマネギを軸に垂直に切るだけで、均一性のために放射状の切り込みまでは入れません
逆に料理YouTuberの Adam Ragusea は、不均質性が重要だと強く言っています。均一性の最適化が必ずしも最善の戦略とは限りません
https://www.youtube.com/watch?v=5cWRCldqrxM
Caesarサラダのコツとして、袋入りクルトンをテーブルに平らに置き、フライパンの底で何度も押しつぶすと、さまざまな大きさのクルトン片、小石のようなかけら、粉が混ざります。高級レストランでこうして食べて以来、ずっとそう作っています
このルールは、多くのレシピが期待するタマネギのような材料の均一性に十分近づけてくれますし、Ragusea もその問題設定に対する解法としては同意する可能性が高そうです
ただ、Ragusea の見方の多くは時間がたつにつれてそれほど持ちこたえず、一部は本人も認めています
Marco Pierre-White はタマネギをおろし金でおろす方法を勧めていますが、これだと問題全体を巧みに回避しています
いわばゴルディアスの結び目をすりおろしてしまうようなものです
https://youtu.be/glIUUrh6qtQ?t=40
「完璧とは、うまくやり遂げられた小さなことの積み重ねである」
ニンニクは多くのレシピで、つぶすほうを好みます。より粗い輪郭ができて料理になじみやすく、炒めるときもカリッとよく火が通ります
問題を文章で説明している場所があるのか気になる。元の内容は動画に任せていて、記事では別の動画で提案された解法と新しい解法だけを扱っているようで、何を解いているのか分からない
Kenji が今でも横方向の切り込みを入れているのは意外。角度をつけた縦切りをすれば、横方向の切り込みは完全に不要だと感じる
数年前、玉ねぎに横方向の切り込みを入れていて、皮膚が flap avulsion のように裂けたこともある
無傷の玉ねぎ半分には横方向の切り込みを安全かつ簡単に入れられるが、縦にすでに切った後ではずっと難しい
ただし、まず指の部分にホットドッグを入れて試してみるのがよいかもしれない
驚いたし、積分に閉形式解があって本当にうれしかった。これが離散的な場合にどう見えるのかとても気になるし、シミュレーションとしてコードを書くのもかなり簡単そう
Chef Jean-Pierre のやり方のほうがよい。シンプルに保ち、横方向の切り込みがなぜあまり理にかなっていないのかも示している
[1] https://www.youtube.com/watch?v=QjZ1LFqNWRM&list=PLnujfCpADf...
高級料理には文字どおり完璧なさいの目形という概念もある。玉ねぎ全体の層をはがして押し、シート状にしてから、長方形を格子状に切ってみじん切りにする方法