4つの「2」であらゆる整数を作る

(eli.thegreenplace.net)

1 ポイント投稿者 GN⁺ 2025-02-24 | 1件のコメント | WhatsAppで共有

数字の 2 を4つだけ使って目標の数を作るパズルは、許される数学演算が増えるほど表現できる範囲が大きく広がる
四則演算だけでも 1 から 6 まで作れ、指数・階乗・平方根を加えると 18、28、256、65536 のような値も表せる
22 を2つの 2 とみなす表記、ガンマ関数、積分・循環小数・組合せ演算子・複素数まで認めると、解法ははるかに多彩になる
Paul Dirac の一般解は、入れ子の平方根と底が 2 の対数を使って任意の自然数 n を作るもので、n は式の中に書く数字ではなく平方根の反復回数を表す
元の一般式では数字の 2 を3回しか使わないが、2 を √(2+2) に置き換えると、ちょうど4つの 2 を使う形になる

4つの2パズルが拡張される仕組み

ルールは、ちょうど4つの数字 2 と数学演算を使って目標の自然数を作ること
初等レベルの四則演算だけでも小さな数はすぐに作れる
- 1 = (2+2)/(2+2)
- 2 = 2/2 + 2/2
- 3 = 2·2 - 2/2
- 4 = 2+2+2-2
- 5 = 2·2 + 2/2
- 6 = 2·2·2 - 2
指数と階乗を認めると表現範囲は大きく広がる
- 18 = 2^(2^2) + 2
- 28 = (2+2)! + 2 + 2
- 256 = (2+2)^(2+2)
- 65536 = 2^(2^(2^2))
表記上 22 を2つの 2 とみなす方法も使える
- 26 = 22 + 2 + 2
- 11 = 22 / √(2+2)
- 444 = 222 · 2
7 は作るのが難しいことで知られているが、ガンマ関数を認めれば 7 = Γ(2) + 2 + 2 + 2 になる
さらに広い道具を使えば、Math StackExchange thread のように積分、循環小数、組合せ演算子を含む解法も現れる
複素数を使った例としては 12 = |2 + 2√(-2)|² がある

1920年代の数学者たちもこのパズルを楽しみ、Paul Dirac がすべての数に対する一般解を見つけた
核心は、2 に平方根を繰り返し適用することにある
- √2 = 2^(1/2) = 2^(2^-1)
- √√2 = 2^(1/4) = 2^(2^-2)
- √√√2 = 2^(1/8) = 2^(2^-3)
平方根を n回適用すると √√...√2 = 2^(2^-n) の形になる
ここに底が 2 の対数を2回適用すると -n が得られる
- log₂(2^(2^-n)) = 2^-n
- log₂(log₂(2^(2^-n))) = -n
したがって一般式は次のようになる
- n = -log₂(log₂(√√...√2))
- ここで平方根は n 回繰り返される
この式では数字の 2 を3回しか使わないため、底の 2 を √(2+2) に置き換えると、ちょうど4つの 2 を使う
- n = -log_{√(2+2)}(log₂(√√...√2))
たとえば 7 は平方根を7回入れ子にして次のように表せる
- 7 = -log_{√(2+2)}(log₂(√√√√√√√2))
この方法での n は式の中に直接現れる数字ではなく、平方根の反復回数を数える値であり、残る作業は必要なだけ平方根記号を書くことだけである

GN⁺ 2025-02-24