高等数学における教育上の問題
(susam.net)- 初等・中等数学における 不十分な説明 は、学生を数学から遠ざけ、強い動機を持つ学生だけが残る結果につながりうる
- 高等数学の教科書にある多くの証明は、完全な証明というより 高次の概要 に近く、学生は各行の正当化を自力で補わなければならない
- Stewart の Galois Theory では、ある特定のケースの議論を解きほぐすのに2日かかり、専門の数学者にとっても中間過程は曖昧だった
- すべての詳細を入れると 200ページの教科書 が2000ページになりうるため、省略は避けられないが、省略の数と大きさは苦痛なほど大きい
- 良い大学の補助ノートのように、難しい議論を 厳密な証明 と直観で補う資料が必要であり、一部のテーマから補助ノートを作る計画である
高等数学教育に見られる説明の空白
- 初等・中等数学教育における 不十分な説明 は、学生が生涯にわたって数学から離れてしまう原因になりえ、強い動機を持つ学生だけが学び続ける状況を生みうる
- 数学は、推論の厳密さ、思考の明晰さ、第一原理から議論を構築する訓練を与える科目として扱われる
- 高等数学でも同様の問題は続いており、多くの大学院レベルの教科書の証明は、完全な証明というより 高次の概要 に近い
- 教科書が中間過程を十分に示さないと、学生は各行を理解し正当化するために大きな努力を払わなければならない
- ある教科書の 10行の議論 は、納得できる証明として書き下せば10ページ分になることがある
教科書における省略と補完の必要性
- 専門の数学者たちと一緒に教科書の中間段階を整えても、特定の証明の中間過程は専門家にとってさえ曖昧だった
- Stewart の Galois Theory では、特定のケースの複雑な議論を解きほぐすのに2日かかり、その成果物には正確さ、完全性、そして十分に動機づけられた学生にとっての到達可能性がすべて求められた
- 「proof by obviousness」や「proof by intimidation」のような冗談が通じるのは、実際の教科書でそのような状況がしばしば現れるからである
- 問題は、群論や体論のような学部基礎の結果を省略する水準ではなく、学部内容をすべて知っていると仮定しても、大学院教科書の証明がなぜ機能するのかが十分に明らかになっていない点にある
- 学生は限られた締切の中でテーマを学ばなければならないため、教科書の説明が不十分だと、すべての10行の議論を自分で10ページの証明に展開する時間がなく、結局その正確な理由を学べないことがある
- 研究論文では問題はさらに深刻だが、ここでは教科書に焦点を当てる
- 高度な教科書がすべての議論を正当化できないという現実的な制約も大きい
- すべての詳細を入れると 200ページの教科書 が2000ページになりうる
- 学生も教員も、興味の薄い技術的議論を何千ページも読む時間や忍耐を持っていない
- 著者は興味深い部分に集中し、省略された部分は学生が補うことを期待するようになる
- それでも、一般的な教科書に存在する省略の数と大きさは苦痛なほど大きい
- 多くの優れた大学は、難しい議論を拡張して 厳密な証明 と直観を助ける補助ノートを提供しており、これは良い実践だと思われる
- 大学院レベルの教科書は、テーマを世に示すという点で存在しないよりはるかに良いが、資料がしばしばアクセスしづらいという限界もある
- 時間が無制限なら、それらの教科書にあるすべての議論を詳しく書き下した補助資料を作りたいが、現実的には不可能である
- それでも、説明の質が特に重要だと感じるテーマから補助ノートを始める計画があり、例としてグラフの s-arc transitivity、体拡大に関するテーマが挙げられている
1件のコメント
Lobste.rsの意見
ああ、これは痛い。個人的な逸話兼愚痴を言うと、私が数学/コンピュータサイエンスではなくソフトウェアエンジニアリングに進んだ理由の一つは、教室で口頭で触れる場合と一人で本で読む場合とでの 数学の理解力の差 が大きすぎたからだ。
私は文章で書かれた定理を理解するのに異常に長い時間がかかるし、結局のところ簡単だと分かる内容が、自分の好みにはひどく説明されていたと感じて非常に不満になる。
ただし私の診断は少し違う。細部が足りないのではなく、むしろ 動機と概観 が足りないのが問題だと思う。証明はどれも、正確に逆向きに書かれているように見える。問題を長く考えて証明を見つけ、その思考過程を消したうえで最後の段階から証明を書き始めている。
例えば証明はたいてい「ɛ = n^2 / 36 を取る」と始まり、なぜそのイプシロンが機械的に必要なのかを一度読んで把握し、その技術的仕掛けの裏にあるアイデアを理解しようともう一度考え、そのアイデアで頭の中で非形式的な証明をやってみて、最後にそのアイデアを念頭に置きながらその証明が正しい形式化なのかを読み直さないといけない。形式化は有用だが、理解そのものではない。
Reed-Solomon も例になる。Wiki は「N次多項式は N+1 個の点で補間できる。K 個の点を冗長に送れば、その一部を失っても係数を復元できる」と言えたはずなのに、その代わりに冗長で難解な説明が続く (previously)。
最近の例では、Tao の Analysis の定理 1.5.8、つまりコンパクト集合では任意の開被覆が有限部分被覆を持つという内容がある。いきなり「y を取り、V_a を取り、球があり、半径 r があり…」と入っていくが、間違ってはいないものの、なぜそうするのかが分かりにくい。
形式を吸収して初めて核心のアイデアが見えてくる。有限部分被覆が必要なのだから、「最大の」集合を貪欲に選ぶのが自然だが、最大とは何を意味するのかを決めなければならない。一点を固定すれば、その点に関して相対的に最大の集合を選べるし、球を広げて被覆の要素が一つだけ残るようにすればよい。球は無限に小さくはなれないので、そこでコンパクト性を使って半径 0 の球を持つ点を選ぶことになる。したがって球は少なくとも ɛ だけの広さを持ち、まだ覆われていない点について最大の集合を選び続ければよい。有限段階で終われば成功で、終わらなければ互いに ɛ だけ離れた点の列ができてコンパクト性に矛盾する。
核心のアイデアは常に形式化よりずっと単純で、いったんそれをつかめば、不等式を十分に整えれば何らかの形式化は当然成り立つように思える。形式化は依然として必要だ。うっかり選択公理のようなものに依存していたかもしれないからだ。しかしアイデアを伝える手段としてはひどい。まるで クイックソートをアセンブリコードから逆追跡 するようなものだ。
数学を提示する正しいやり方は、定理を出発点ではなく結果として置き、「どうやってこれを発見できたのか」というモードで説明することだと思う。
もちろん、ときには「本当にこれが証明しているのだと納得するまで掴んで揺さぶる」ような議論もあることは否定しないが、私が触れてきた比較的穏当な数学の範囲ではそういう場合はまれだ。
教科書の定理は料理本に載っている完成したケーキの写真のようなもので、証明はレシピのようなものだ。ケーキを作るときの実際の散らかり具合は、実のところよく見えない。
欠けているのは、同じケーキを焼くには依然として 製菓への理解と技術 が必要だという点だ。レシピには生地の固さや、失敗したときにどう直すかのような内容が抜けていることがある。また、製菓の「第一原理」を知っているからといってすぐにパティシエになれるわけでもない。基本アイデアはあっても、それらを組み合わせてケーキを焼かなければならない。
数学も他の現代的な学問と同じだと思う。陳列棚にはケーキが並び、最高のパティシエたちはさらに多くのケーキを焼くための研究費を受けている。自分でパティシエになりたいなら、パン屋で見習いをしてコツを学び、上司のレシピを使うだけでなく自分のケーキを焼き始めなければならない。そこには時間と努力、そして少しの運が必要だ。
https://betterexplained.com/articles/…
DNA 配列は猫についての非常に精密な説明かもしれないが、それだけを見てその動物を頭の中に思い描くことはできない。
この形式にすると検査と訂正がより効率的で、これを R-S の BCH 観点 と呼ぶ。ただし BCH はコードの一族全体の名前でもある。
それでも、実装しながらこの内容を本当に何度も読んだあとでも、R-S と BCH に関する Wikipedia の記事はたいてい理解不能だという点には同意する。すばらしいリテラルプログラミング風の gf256 ライブラリ、特に gf256::rs がなかったら、前進できなかったと思う。
ただ経験上、ある定理は別の定理より証明しやすい。Algebra I の授業では、試験の一つが教授がその場で選んだ任意の定理を証明するというものだった。脅威的に見えるかもしれないが、すでに証明されたものを長く証明していると パターン が見え始める。しかも、他の証明で使われる定理もより多く暗記するようになる。
簡単だと言いたいわけではないが、そのレベルで数学を学ぶと、頭の中で何かが開いて可能になる感じがある。形式化が過剰に見えることはあっても、それは数学者が他の人には見えない結論に到達できるようにしているものでもある。
物理科学の側の個人的経験では、多くの部分は 学術論文が書かれ、出版され、評価されるやり方 から来ていると思う。
論文執筆と出版のプロセスは、実際に科学を説明するようには促さず、細部に時間をあまり「無駄遣い」せずに、それらしく、少し説得力があるように見えることを言うよう促す。証明に見られるこの偏りも非常によく似ている。
科学から出版社を排除すべきだ。
「これをどう見つけたのか」を説明しようとすると、完全には正当化されてもいないし、厳密でもない、曖昧で粗い記述をしなければならない。査読者は、その場が自費出版だが索引化される学会プロシーディングスやオーバーレイジャーナルであっても、ある程度は誤っている文が最終採択版に残るのを嫌う。
そのため、初稿に 直感的な説明 があっても、結局は削られてしまうことがある。
さらに悪い場合もある。序論をうまく書き、論文が採択されやすいよう最適化するのに長けた私の共著者は、命題のバージョンを選ぶ際には普通トレードオフがあると説明していた。最も採択されやすいバージョンが、その論文を好んで引用してくれる人たちにとっては最悪であることが多い。どのバージョンも真で、同程度の質の証明で証明できるとしても、そうなのだ。
だからインセンティブが噛み合っていない。ただ今回は出版社のせいというより、研究者が実際にやるべき仕事ではなく出版指標だけで報われる構造のせいかもしれない。
教科書については、この投稿の主張に必ずしも同意しない。うまい省略は証明をより読みやすくし、読者に考えさせることもできる。最悪でも別の教科書や原典を見ればよい。しかし研究論文で不完全な証明に出会うと、本当に腹立たしいことがある。ここでは、そもそも誰かが完全な証明を本当に持っているのかという疑念が忍び込み、気づけば一週間、一か月、一年が過ぎていることもありうる。
数学の大学院生として、この問題には両面があると思う。提示された証明がかなり高いレベルで、特定の段階が本当に分からないときにはいら立つこともあるが、逆に 空白を埋める過程 が、全部をそのまま受け取るより実力向上に役立つこともある。
証明が命題 1 から命題 2 に進むのにすぐ理解できない場合、第一に、それは著者、ひいてはその分野の数学コミュニティが何を自明だとみなしているかについての直観を与えてくれる。これはどの結果を直観的に深く身につけるべきかを教えてくれるので価値がある。
第二に、中間段階を埋めて議論が堅固だと自分で納得できれば、その中間段階をただ紙面で読んだ場合よりずっとよく覚えられる。
私にとっての「スイートスポット」は、証明の一段階を正当化するのに 30秒から5分 ほどかかるときだ。それより長くなると挫折しやすくなり、学びも浅くなる。
実際の論文の証明を見るまで待てばいい。
もう少し真面目に言うと、もちろん書き方が悪く教育的でもない数学書もある。しかし平均的な大学院レベルの証明では、すべての細部を書くことはできないと思う。そうすると読むのがしんどく、極端に退屈になる。
数学者には頭の中で 証明の穴 を埋めることが期待されており、この能力は学ばなければならない。
空白埋めに関する個人的な逸話がいくつかある。
高校時代、必要な細部のレベルをめぐって議論した末、私が省略を最小限にして証明を書くことで合意したことがある。私が空白を埋められることを示せば、期待よりずっと概略的に書かれていた多くのテキストでも、必要な理解を示すには十分だと認める、ということになった。
少なくとも三重に入れ子になった「これは本当は明示的な証明が不要だが、約束したので」という括弧を書いたのを覚えている。最も内側の括弧の一つには「2^n > 0 であることを帰納法で証明しよう」が入っていた。最上位の命題はたしか極限に関するものだった。つけ加えると、最も内側の過剰な証明は実際に過剰だったという点では双方同意していた。
高校と大学でノートを取るとき、次に当然言われる内容の要旨を先に書いておき、その次の内容にもっと詳細なメモが必要なときの時間稼ぎをしていた。後になって博士研究員だったころ、同僚がある問題を説明するのを聞きながら、「その部分は飛ばしていい、どんな補題を言おうとしていて、どう証明するか見えている」と遮ったことがある。
結果として間違っていた。彼らは結果を主張していたのではなく、質問していたのだ。ただ、私が推測した概略から出てきた証明は結局その論文に入った。
私たちのように具体的な数学をする人々の中には、Lean、Agda、Coq のような 証明支援系 で細部の問題を解決しようとしている世界が別にある。しかし「一般的な」数学教育のために証明支援系を使う人はほとんどいないように思う。なぜだろう？
連続数学では、標準的な表現と高階論理の証明支援系との間に多少の 表現の不一致 がある。一次の集合論的形式化で十分先まで進むために必要な定義はあるが、まだ一貫したまとまりとして整理されてはいないようだ。