Claude Fableがヤコビアン予想の反例を作成

 (xcancel.com)
2 ポイント 投稿者 GN⁺ 16 시간 전 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • Claude Fableが作成したものとして紹介された多項式写像は、ヤコビアン行列式が定数 -2 でありながら、互いに異なる3点を同じ点に写すため、ヤコビアン予想の反例となる
  • この写像は ℂ³ → ℂ³ 上で定義され、3つの成分はいずれも x、y、z に関する多項式で構成される
  • 互いに異なる (0, 0, -1/4)、(1, -3/2, 13/2)、(-1, 3/2, 13/2) がすべて (-1/4, 0, 0) に対応し、単射ではない
  • ヤコビアン行列式と2つの入力点の関数値は、それぞれリンク先の Wolfram|Alpha の計算で確認できる
  • 定数かつゼロでないヤコビアン行列式を持ちながら単射性が成り立たないため、提示された式は ℂ³ におけるヤコビアン予想を反証する

多項式写像とヤコビアン行列式

  • ℂ³ → ℂ³ の写像は、次の3つの多項式成分で構成される
    • 第1成分: (1+xy)^3z + y^2(1+xy)(4+3xy)
    • 第2成分: y + 3x(1+xy)^2z + 3xy^2(4+3xy)
    • 第3成分: 2x - 3x^2y - x^3z
  • この写像のヤコビアン行列式は -2 である
  • Wolfram|Alpha の計算で行列式の値を確認できる

単射性を破る3つの入力点

  • 次の3点は互いに異なるが、いずれも (-1/4, 0, 0) に対応する
    • (0, 0, -1/4)
    • (1, -3/2, 13/2)
    • (-1, 3/2, 13/2)
  • 第1と第2の入力点の関数値も、リンク先の Wolfram|Alpha の計算で確認できる
  • したがって、この多項式写像は単射ではなく、定数かつゼロでないヤコビアン行列式を持つという条件とあわせて、ヤコビアン予想の反例となる

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1件のコメント

 
GN⁺ 16 시간 전
Hacker Newsの意見

  • 10年ほど前、ヤコビアン予想の反例に近いものを見つけたと信じていたポスドクに会ったことがある。彼と同僚は、係数のマッピングに二分木を使い、変数約16個、項がそれぞれ80〜700個ある多項式を総当たりしていた
    当時は、反例 ((P,Q)) の (\max(\deg(P),\deg(Q))) の下限が200まで上がると予想されていたのに、Claude Fableが7次の反例を見つけたというのは信じがたく、本当に新しい時代だと感じる

    • 2変数の場合と3変数の場合を混同しているようだ。前者は実際に150次以上まで検査されており、今回の反例は3変数に該当する
    • この反例も当時の探索空間に含まれていなかったのか気になる

  • 驚異的な数学者Yitang Zhangは、この予想を証明するのに7年を費やした。指導教員のMohは、Zhangがヤコビアン予想の証明に「悲惨なほど失敗し」、Purdueを離れた後は「代数幾何学の論文を1本も発表せず」、「自分の人生の7年と私の時間を無駄にした」と書いている
    https://newyorker.com/magazine/2015/02/02/pursuit-beauty
    https://x.com/aminkarbasi/status/2079129649830137989
    https://en.wikipedia.org/wiki/Yitang_Zhang

  • 画期的な情報をLLMに入れたら、むしろLLM側が精神的混乱に陥るという珍しい事例。Claude Codeに入れると、100%確信しようとして7通りの方法で検証した後、愕然とする様子を見せてかなり印象的だった

    • ChatGPTに文脈なしで写像だけを与え、「この関数について教えて」と言った。ヤコビアンなどを計算しているうちに、自分が見ている結果の含意に気づき、算術を4回再確認した後にはSymPyが改ざんされている可能性まで疑って、即席の記号検査器で手動検証することにした
    • Claudeが愕然とするのは確認した。GeminiはまずWeb検索して既にニュースを引用し、Kimiはなかなか信じなかった
    • 「DOES NOT COMPUTE」が現実の状況になるとは誰が思っただろう
    • LLMが「深く信じていた」命題に反する反駁不能な証拠を受け取ったときに起きる、数学版のユニコーン絵文字現象のようだ
    • 数学者も、怪しい出所や自分自身から出てきた見慣れない証明が結局正しいとき、似たような過程をたどると聞いたことがある。アマチュアの誤った証明を絶えず受け取るため、致命的な欠陥がある確率が圧倒的に高く、自分の証明には自分の飛躍を批判的に見るのが難しい盲点も生じる
      そのため、何かを見落としているのではないかと疑い続け、複数の方法で繰り返し検証し、ほとんど崩れ落ちそうになってからようやく、公の場で新たなブレークスルーの可能性を慎重に口にすることになる

  • こうした数学的な後片付けの利点は、もう誰もそれが真であることを証明しようとして時間を無駄にしなくてよいことだ。次はLLMがコラッツ予想を解決して、気づかない犠牲者たちが注ぎ込んできた膨大な人年を節約してくれるとよい

    • 今回の問題が「易しかった」理由は、予想が偽だったからだ。多くの数学者が予想するようにコラッツ予想が真なら、平均的なErdős問題よりはるかに証明が難しいだろう
    • そこで終わるわけではない。次の段階は、どの種類の多項式ではヤコビアン予想が真で、どの種類では偽なのかを明らかにすることだ
    • 世紀の変わり目ごろ若い数学者だったが、「証明しようとして時間を無駄にする」という表現は、成果と論文を出し続けなければならないというMBA的な発想だ
      難しい問題に挑めば、失敗してもさまざまな結果や道具をより深く理解し、それを別の問題に応用できるので、まったく時間の無駄ではない。1つの問題だけに何年も費やす極端な場合は例外だ

  • LLMで品質の疑わしいコードや証明を大量生成することには確かに問題があり、絶え間ない議論があるのも理解できる。しかし反例探索ではすでに総当たりが一般的なので、LLMをより発展した総当たりのように活用するのはまさに適したアプローチに見え、なぜここまで敵対的なのか理解しにくい

    • 人間の頭脳だけが役に立っていた領域で機械がますます熟達していくのは、多くの人にとって非常につらいことになるだろう。敵意には、「証明されるまではすべて戯言かもしれない」という態度と、「人間を驚くべき存在にしていると思っていたものの多くを失う」という恐れが混ざっているのだと思う
      今後数年、思いやりが非常に重要になり、内面的にも外面的にも苦しむことになるだろう
    • この結果を生んだFableの推論記録を見ずに高度な総当たりだと断定するのは、飛躍のように見える

  • ここ数か月、AIで数学をバイブコーディングしているが、驚くほど簡単にできる。難しいのは結果を自分で検証し、妥当性を確認することで、小さな発見1つで予想を反証し、最初の論文を書いた
    次の発見は量子トポロジーと物理学の分野でかなり実質的な内容なので、非常に厳密に検討しながら発表準備を進めている。検証にかかった時間は発見そのものより長かった
    数論に関心があるなら、最初の論文はこちら: https://arxiv.org/abs/2607.09793

    • 物理学を専攻し、過去に論文も出したが、学界を離れて久しい。Claudeで数学とシミュレーションが混ざった物理の問題を解いてみると、かなり絡まってしまった
      問題を設定し、思いつかなかったアプローチを提案する能力は驚くべきものだが、結果を解釈する能力はずっと劣っていた
    • 作業しながら、どの程度まで自分で理解しようとしているのか気になる。表面を勘で進めるのと比べて、自分の理解を何段階の抽象化の下まで降ろしているのか知りたい
    • 私も型理論で同じことをしている

  • 投稿者はAnthropicで働いているため、次世代Fableへの内部アクセス権を持っていた可能性が高い。内部モデルは数学に非常に強く、近く出るベンチマークでも数学性能の新記録を打ち立てそうだ
    実際のプロンプトと推論記録の公開を渋っているのもこのためかもしれない。モデルが正式リリースされるまでは秘密保持契約の対象になっている可能性が高い

  • 結論を大きく飛躍させすぎているように見える。Sol も同じ反例を独立に見つけられるので、ベンチマークを圧倒する Fable 6 が存在すると結論づける理由はない
    [1]: https://x.com/aaron_lou/status/2079218392452530249

    • それほど興奮しない。最高の AI にアクセスできる宴に私は招かれておらず、招かれた人たちが私の利益をうまく代弁しているとも考えにくい

  • 人々が尋ねないのが驚きだが、Fable はこの反例をどうやって見つけたのだろうか？ 複数の多項式族を推測してから各族で可能な解を求めたのか、賢い探索をしたのか、それとも別の方法だったのか気になる

    • この Claude の会話にいくつかの推測がある: https://claude.ai/share/22abed98-d9af-43c5-9881-b19e009a07b0
      出典はこちら: https://x.com/b_shrir/status/2079094004885668003?s=20
      簡単に言うと、既存文献には、ある極点を除けばほぼ至るところで成り立つ誤った反例がある。Fable はこの多項式を土台にし、構造を保ちながら極点を取り除くように拡張したようだ
    • すべての論理ステップを Lean 形式検証に移している。AI が書いた説明と Lean の検証エラー・警告との間の高速なフィードバックループにより、論理的一貫性を保証できる
      なお残る問題は、証明の着想が本当に望む命題を証明しているのか、そして得られた結果をどう解釈するかだ。それ以外については、カーネルが検査したコード内部のすべてが論理的に一貫している

  • 反例がこれほど小さいことを見ると、今後興味深い結果が多く発見される領域をよく示している。問題が極度に難しかったからではなく、知能をスケールさせるのが難しく、コンピュータが代替できるようになる前には、こうした問題を真剣に掘り下げた人が少なかったからだ
    科学、医学、その他の分野でも、この効果がもたらす影響に非常に期待している

  • 数学に詳しくないので、私の5歳児レベルの理解が役に立つか、あるいは修正してもらえるかもしれない。この予想は、ある過程を常に逆向きにたどって元の入力を知ることができる、という意味で、今回の証明は複数の入力が同じ出力を作ることを示している
    したがって、出力から入力を逆算できないので、この予想は偽になる

    • 逆関数が存在するには、0 でない定数ヤコビアンという前提条件があり、その逆関数も多項式という特定の形でなければならない。この反例は前提条件を満たしながら、異なる 2 つの入力を同じ出力に送るので、多項式かどうかに関係なく、いかなる逆関数も存在できなくする
      ここまで来ると、7歳児レベルの説明かもしれない
    • この予想は特定の種類の過程だけを対象にしている。Fable はそのクラスに属する具体的な過程を 1 つと、同じ出力を出す具体的な入力を 3 つ見つけた。もちろん 2 つだけでも十分だ
      ここでいう「具体的」とは、有限の文字列で表現できるという意味だ
    • 一般の場合には偽であることがすでに知られていた。一般には偽だが、多項式に制限すると真となる問題も多い