数学サークルで効果的だった方法についての考察
(buttondown.email)- 7〜8歳の子ども7人と約7か月にわたって行った数学サークルでは、大人が面白いだろうと予想したテーマと、実際に子どもたちが夢中になったテーマの間に大きな違いがあった
- SET、折って切るパズル、テッセレーション、flexagon、定規とコンパスによる作図のような視覚・操作型の活動は期待したほど響かず、うそつきパズルのように物語性のある問題は強い反応を得た
- 幾何図形や数のパターンだけでは関心がすぐ薄れたが、「誰がうそつきか」のように疑いと手がかりのある状況では、場合の数や矛盾を検討しながら証明の感覚が育った
- Seven Bridges 問題は物語から始まったが、子どもたちは自分たちで「最小の不可能な橋の問題」を見つけようとし、問題の単純化と複雑さを戻していくことを体験した
- 数学そのものに語らせるやり方は、すでに関心のあるグループには合うかもしれないが、事前の愛着がない子どもたちには没入できる物語の枠組みがより必要になる
7か月間の数学サークルで明らかになった関心の差
- 対象は7歳から8歳になりかけの男女7人で、約7か月間の数学サークルを行ったあと、何が効果的だったかを振り返っている
- 大人の目には魅力的に見える数学のテーマと、実際に子どもたちが集中するテーマの間には大きな隔たりがあった
期待に反してうまくいかなかった活動
- 次の活動は子どもたちが気に入るだろうと予想していたが、実際には失敗に近かった
- The game SET
- Fold-and-cut puzzles
- Geometry snacks
- Cutting a Mobius strip
- Tessellations: Tooti Tooti
- Prime Climb
- flexagons を作ること
- 定規とコンパスによる作図
- 幾何は特に反応が悪く、任意の図形の面積や陰影部分を扱う問題は面白い物語で包みにくかった
- テッセレーションは子どもたちにきれいだと感じられず、折って切る活動や flexagon の活動では、紙を十分うまく切ったり折ったりする手先の技術が足りず、挫折感が大きくなった
予想外に成功したテーマ
- 子どもたちは好きではないだろうと予想していたのに、実際には大きな反応があった活動もあった
- Knights and Knaves puzzles、および blue-eyed islanders のような命題論理のテーマ
- 総当たり方式のスポーツ大会の日程を自分たちで組み、全体の大会の遅延時間を減らす問題
- 最初はサッカー大会という設定だったが、サッカーがいちばん好きな子がその週に来なかったため、ダンス大会に変わり、より面白くなった
- Seven Bridges 問題と、最小の「不可能な」橋の問題を探すこと
- PK の成功・失敗回数から誰がより上手いかを判断すること
- Pascal’s triangle 型のパターンを自分たちで作ること
- 予想どおり子どもたちが好んだ活動もあった
- Function Machine ゲーム: ブラックボックスのように問い合わせできる関数を当てるゲーム
- Nim の変種
- The Turing Tumble
- 実際のクッキーと不均等なトッピングを使った公平なケーキ分け
- Prisoner’s dilemma や Chicken のようなゲーム理論ゲーム
- 1杯分のレシピと5杯分のレシピをもとに、3人分の mocktail を作ること
- 分数の練習で、計量単位は 1/4 オンス刻みだった
物語構造が生んだ参加
- 2019年に書いた Attention spans for math and stories では、子どもたちが活動に参加し、グループに歓迎されていると感じられるようにストーリーテリングを活用した経験がまとめられている
- 数学サークルに関する文献を読みながら、「数学は自ら語るべきだ」という考えを受け入れるようになり、いくつかのセッションではストーリーテリングがうまく機能しなかった
- そのやり方では、進行役が「完璧な図形を描けるだろうか？」のような開かれたミステリーから始め、参加者が自分で問いを立てて探究し始めるまで静かに待つ
- このアプローチは、より年長の生徒や、すでにある程度数学に関心を持つ生徒には合うかもしれない
- 実際に一緒に学んだグループは、サッカーの練習のあとに数学サークルへ来る典型的な上位中産階級の子どもたちで、退屈するといたずらしたり、じゃれ合うように体をぶつけ合って遊んだりしていた
- 子どもたちは "Among Us" を遊んだことはなかったが、何かにつけて "sus" と呼んでいた
- 数のパターンも、より没入できる形で包まれていなければほとんど関心を示さなかった
Knights and Knaves が証明の感覚を植え付けた方法
- 「2人のうち1人は筋金入りのうそつきで、発言の手がかりをもとに誰がうそつきかを見抜かなければならない」という設定は非常によく受けた
- 最初の Knights and Knaves パズルは、Alice と Bob の発言を紙に書いてプラスチックのストローに貼り、看板のように持ち上げる形で進めた
- Alice: Bob is a liar!
- Bob: Neither of us are liars
- 子どもたちはすぐに誰がいちばん "sus" かを言い始め、最初は Bob を責めた Alice のほうが怪しいと見ていた
- 議論を通じて、Alice と Bob の発言が互いに矛盾しているため、2人とも真実を語っていることはありえないと気づいた
- 子どもたちは「矛盾」という言葉は知らず、これをしばしば "opposites" と呼んでいた
- 可能な場合の数を考える中で、最初は2通りだと思っていたが、4通りあるとわかった
- 2人とも うそつき
- Alice はうそつき、Bob は真実を語る人
- Alice は真実を語る人、Bob はうそつき
- 2人とも真実を語る人
- それぞれのケースを検討した結果、唯一の可能性は Alice が真実を語り、Bob がうそをついている場合だという結論で一致した
- 次のパズルに進もうとすると、子どもたちは最初の問題を本当に解けたのかと尋ね、「自分たちは解けたと思う？」と返すと、まだ確信が足りないという反応を見せた
- その後は全員が証明によって確信できるまで考え続けることにし、ある子は後になって「いや、その場合はもう証明したじゃん！」と言った
Seven Bridges と flexagon に見られた後続の変化
- Seven Bridges of Königsberg 問題は物語から始まったが、子どもたちはすぐに物語を離れ、課題そのものに集中した
- 後のセッションで、子どもたちはこの問題をもう一度やりたがり、「最小の不可能な橋の問題」を見つけたいと言った
- 元の問題は解けなかったものの、問題を単純化して小さくし、解けるところまでいったら再び複雑さを戻すという進め方がはっきり見られた
- flexagon を作る活動自体は嫌がったが、セッション最後のプレゼントとして、各面に明るく判別しやすい絵が入ったテンプレート式のhexaflexagonを渡した
- 使用したテンプレートは printed template
- 数週間後、ある子の父親は、その子がその hexaflexagon に夢中で、最近になってようやく6番目の面を見つけたと伝えてきた
- flexagon の動きも、Seven Bridges の地図のようにマップとして描けば、全体の構成空間をよりはっきり見られる
新しいグループを始めるなら必要なアプローチ
- このグループも時間がたつにつれて、数学そのものを目的として数学を味わう方向に少しずつ慣れてきている
- 数学への事前の愛着がない新しい子どもたちのグループでやり直すなら、問題を没入できる物語で包むことを、もっと意図的に設計する必要がある
1件のコメント
Hacker News の意見
この子どもたちは、これほど幼い年齢で意欲的な先生からこうした概念や問題に触れられるという点で、本当にとてつもなく幸運だと言える。
K-12 の数学教師として働いている人の中にも、このようなカリキュラムをうまく教えられる人は多くないはずだが、著者のブログを見ると、大金を受け取ってやったわけではなく無料で行ったようで、むしろ他の親たちを説得して子どもを参加させようとしていたように見える: https://buttondown.email/j2kun/archive/a-foray-into-math-cir...
数学教育には、数学の外側にいる人たちにはあまり知られていない大きな特権格差がある。標準または加速カリキュラムだけをたどった学生は、幼い頃からこうした非標準的な概念に家庭教師・ギフテッド校・数学者の親を通じて触れてきた学生より、数学キャリアへの準備が不足しがちだ。
標準カリキュラムは大学2年生あたりまでほとんど暗記式の計算中心で、そこから突然、開かれた問題と証明中心に変わるが、プロの数学者が生きる世界では、論理を創造的に適用する能力が求められる。幼い頃からこうした経験をしている学生は、その移行がずっと容易で、論文・コンテスト成績のような数学キャリア上の資産も早くから手に入れることになる。
他の親たちはよく知らないかもしれないが、OP は地域によっては手に入りにくく、一部の親なら大金を払ってもよいと思うほど価値の高いサービスを提供している。
数学ができなかったわけではないが、特に早熟でもなく、中学校代表として地域の数学コンテストに何度か出たものの、これといった成果はなかった。振り返ると、準備を手伝ってくれた人がまったくいなかったというのは少し不思議に感じる。
ここ1〜2年でこうした点をより考えるようになり、寄付金のかなりの部分を数学サークル系のプログラムに移した。長期主義以前の効果的利他主義的な原因分野より検証可能性は低いが、そうした数学的思考は非常に価値があり、このようなプログラムなしには簡単には得られないと思う。
フランスで2年生の児童に 2×3 はいくつかと尋ねたところ、掛け算の交換法則だけを知っていて「3×2」と答えた、という話を思い出す。
オンラインの数学サークルに親または将来の講師として参加したいなら、https://theglobalmathcircle.orgを見るとよい。
この記事の著者である Jeremy も、ここのトレーニングプログラムを修了している。
関数マシンゲームは、子どもが6歳のときに HN で見て試したところ、とても気に入っていた。
子どもがより高度な数学演算を学ぶたびに道具箱に追加し、役割を交代して子どもが私の問いに正確に答えられれば、その概念を身につけたことが分かった。
こうした活動に興味が湧いたなら、多くはないが似た有料の選択肢もある。
サンフランシスコの7〜11歳向け放課後数学チーム: https://www.meetup.com/chess-games-inner-fire/events/2956372...
SFUSD のいくつかの学校の放課後数学サークル: https://www.sfmathcircle.org/jose-ortega https://www.sfmathcircle.org/starr-king
小中学生向けに毎週オンラインの競技数学セッションを運営するリモートの 501(c)(3) 非営利団体: https://mrmathonline.com/
授業とサークルの中間くらいを探しているなら、Engaging Math Circles(https://emc.school)や Russian School of Math(RSM)も見る価値がある。
数学サークルについてさらに知りたいなら、この資料がある: https://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Zvonkin.pdf
余談として、子どもたちにはMammoth Mathを勧められる。
https://www.penguinrandomhouse.com/books/704500/mammoth-math...
年齢層は違うが、高校生たちにBitcoin マイニングを題材にして興味を引き出したことがある。
暗号学セミナーでブロックチェーンの講義の後、15分ほど行った活動だった。
本来の Bitcoin のプルーフ・オブ・ワークアルゴリズムは、ハッシュの中間入力を変えて結果が複数個の二進数の 0 で始まるようにすること、つまり
sha256(sha256(a || x || b)) < Hとなるxを見つけることだ。これをx^2 % N < 10^Hに単純化し、電卓とコンピューターの使用を許可し、NとHは自由に変えられるようにした。学生たちはとても楽しんでいたが、それは古いパズルより時事性があり、互いに競争し、報酬が半ばランダムなので速いチームや賢いチームに利点があり、報酬がチョコレートコインの「物理的 Bitcoin」であり、総当たりでもほぼ勝てる一方で、見つけられる近道が多かったからだと思う。
定規とコンパスによる作図が子どもたちの興味を引けなかったのは残念
いま Euclid の Elements のヘブライ語訳をデジタル化しているところなので、ほとんど美術の授業のような物理的な側面が理論的な内容よりも面白く、数から独立している点も普通の数学の授業より怖く感じにくいのではないかと期待していた
Euclid の Elements には歴史的重要性以外にも教育的価値があると思うが、教育の文脈ではほとんどの子どもにとってもっと楽しいはずだという自分の考えは間違っていたのかもしれない
特定のスポーツに関心のある子どもがいるなら、得点数・失敗数から誰がよりPKをうまく蹴るかを考える活動は、線形代数を教えるよい方法になる。『Who's #1? - The Science of Rating and Ranking』はさまざまな評価・ランキング手法を詳しく扱っており、私のデータサイエンス修士課程での必読書の一つだった
ただし学習用として最良かどうかは分からない。通常は模型なしで自分で作図してみるように、資料と能動的にやり取りすることが肝心だが、子どもに効果的なルールは違うかもしれない
子どもたちが命題論理に興味を示したというのは、むしろうれしいことだ。一貫した思考の基礎になり得るからだ。私も著者と同じく、手を動かす活動のほうを好むだろうと予想していた
そもそも定規とコンパスによる作図の本来の動機は何だったのだろう。完全性、対称性、作図可能性といった考えはいずれもかなり抽象的だ
https://www.euclidea.xyz/ は面白かったが、私はギリフ模様を描くのも面白がるし、8歳でもない
子どもに Euclid を楽しく見せるなら、Euclidea というゲームがよかった記憶がある: https://www.euclidea.xyz/
公理的な側面のためというより、「2点を通る直線は何本引けるだろう？ 好きなだけ！」というように数学的な仮定を揺さぶる問いと、面白い図式のおかげだった。Fano 射影平面モデルや Poincaré 円板モデルも興味深く、アニメーションやインタラクティブなソフトウェアもあった
それでも1週間ほど経つと飽きた。いろいろな幾何と作図に充てる2時間のセッションが一つくらいでちょうどよさそうだ
Euclid の Elements 式の公理的幾何は興味深く、高校課程には合うかもしれない。生徒が代数を学ぶ前は、小さな出発点から方程式や証明を導き出す感覚をきちんと持つのが難しく、座標幾何のほうがずっと実用的だ。定規とコンパスではそもそも作図不可能なものもある
ステージ進行、スコア体系、証明を解いて新しい「道具」を開放する仕組みがとてもよくできていた
https://play.google.com/store/apps/details?id=com.hil_hk.euc...
似た年齢の子どもに教える活動として、指で1000まで数えることを加えたい
プログラマーには自然なことだが、数学教育に役立つ重要な要素がある
「指で1000まで数えられる？」という質問が、子どもには魔法や超能力のように見えるので面白がる。最初は20くらいまで数えるところを見せ、4と6は素早く通り過ぎる。次に、見えない特定の指の配置を予想させ、外れたらもう一度見せる
パターンを覚えたら、すべての指を伸ばした状態はいくつかを尋ねるクイズを出す。たいてい詰まるが、「指がもう1本あって、その指だけが伸びていて残りは全部折れているならいくつだろう？ そこから別の数を求められるかな？」とヒントを出すと、時間はかかってもほとんど必ず解き出す
参入障壁が低いところが美しい。子どもは2を掛けることができ、1024までの数の名前を知っていればよい。同時に、複数の表現、目的に合った形式化、普通の人の期待から外れて「超能力」を得る感覚を教えられる
上のパズルは、パターンを見つけると問題をよりうまく解けることも示している。指ごとの値を足す総当たり式ではなく、ヒントの位置が求めたい位置と一つ違いなだけだという基準点を使える。基準点は数学で非常に重要な概念で、多くの有名な問題解法の根にある
さらに深く入れば、証明やアルゴリズム設計についても話せる。帰納証明のようにアルゴリズムを説明することもできる。開始段階では手のひらがユーザー側を向き、すべての指が折れていて、右から始めて一番右の指をインクリメントする。n番目の段階では、右端から始め、指が折れていれば伸ばし、伸びていれば折ってから、次の右側の指を同じ条件で再帰的にインクリメントする
どんな「ゲーム」でも、子どもが一番好きなものを中心に据えるのがよかった。一つのゲームで難しがるなら、子どもが得意な別のゲームを使って難しいゲームを教える。結局、数学は言語であり、多くのことは言い換えられる
多くの人が数学を過度に厳格なものとして内面化していることが、難しさの一つだと思う。「これが正しいやり方」と教えて他の方法を認めなければ、概念を一般化する力は低くなる。文章題はこれを解決しようとしているが、人間ではなく機械を教えるやり方に近い、総当たり的なアプローチのように感じる
そこに、幼い頃に数学に情熱のない人から学ぶことが多いという点も重なる。その無関心は教師から生徒へ伝わる。数学を愛し、創造的な面を促してくれる先生に幸運にも出会ったときの新鮮さを覚えている人は多いだろう。私も高校2年の時にそういう授業に出会うまでは、数学が得意で上位クラスにいたにもかかわらず嫌いだった
昨年、娘と一緒に、娘の1年生のクラスで SET を教えた。教育設計はほとんど私が行ったが、子どもたちは学ぶことができ、興味も示していた。
数学サークルの環境ではなくクラス全体の授業だったので、何が違うのかを見てみると面白そうだ。
このゲームで扱える数学も多い。簡単なモジュラー算術から始めて、属性を0、1、2へ抽象化する概念を扱える。少し進めれば、群論や、このゲームが
Z3^4、つまり4つのZ3に対応する、といった話もできる。群論に興味を示すなら、別の群を表す似たカードゲームを印刷して使うこともできるし、群の公理、このゲームが群をどう表しているのか、なぜそれが成り立つのかを扱える。
プログラミングも少し紹介できる。集合の定義が、すべての
iについてsum c_i = 0という不変性であることを利用して、このゲームをコンピュータにどう教えるかを説明できる。カードの背景色のような特徴を追加したり減らしたりすることで、ゲームの長さも簡単に一般化できる。とにかく、このゲームは最高だ。
数回遊ぶと、私たちと同じくらい速くセットを見つけるようになったが、気が散っているか疲れているかによって、実力や興味は変わった。
1人用のSetゲームが欲しいなら、よいオープンソース版がある: https://playset.netlify.app/
ここでの「AI」はランダムに解を探す。イージーモードでは、2秒ごとに表示されているカードから2枚をランダムに選び、セットを完成させるために必要なカードが画面上にあるかを確認する。
子どもがSetに初めて触れるなら、遅延時間を5秒程度に調整するとよいかもしれない。もちろん、Setは人と対戦するほうが楽しい。