- Alexander Zvonkinの Math from Three to Seven は、未就学児の数学サークルの記録を通じて、幼い子どもでも学校式の練習問題ではなく、実際の問題に長く取り組んで探究できることを示している
- ロシア・ソ連の数学文化における 数学サークル は、試験対策よりも、異なるレベルの参加者が難しい問題に一緒に取り組み議論する非公式の共同体に近い
- 学校数学や競技数学の exercise は、短く意図された解法がある訓練である一方、サークルの problem は、解けるかどうか・必要な技法・かかる時間が保証されない探究として区別される
- Zvonkinは3〜4歳の子どもたちに、同じ 組合せ論の構造 を、ビーズ、色塗り、タクシーの経路、マッチ箱とボールという形で数か月おきに繰り返し提示し、子どもたち自身にそのつながりを発見させた
- 次女Evgeniaの同年代グループでは同じ方法は通用せず、子どもごとに適性や興味が異なるため、教育記録や手法をそのまま再利用するのは難しいことが明らかになった
ソ連の数学的強さと数学サークル
- 冷戦期のソ連は、アメリカより人口が少なく、GDPが低く、経済体制の効率も劣っていたにもかかわらず、軍事・技術面では長くほぼ同等の水準を維持していた
- 1990〜2000年代のアメリカでは、チェス、数学コンテスト、Wall Street、Silicon Valley、Ivy Leagueの数学科で、ロシア系移民が技術分野に過大に集中しているという経験則が続いていた
- ユダヤ系の比率、ソ連の相対的貧困と人的資本の配分、ロシア文化の「maximalism」といった仮説も語られるが、ソ連の数学者・科学者へのインタビューで繰り返し現れる要素は mathematical circles である
- 数学サークルは、ロシア帝国時代以前から始まりソ連全土に広がった慣行で、数学を好む若者や大人が定期的に集まり、長く考え、語り合う非公式グループである
- スポーツチームのように、内部文化、強い没入、優秀あるいは有名な「コーチ」を持つことがある
- リーグやチーム間競争よりも、近所の音楽アンサンブルが即興演奏するように、一緒に数学の問題を解く形に近い
- メンバーの実力はさまざまでありうる
exercise と problem の違い
- 学校数学やアメリカの一部の 競技数学 は、主に exercise で構成されている
- exercise は教育目的のために人が作った問題である
- 賢い生徒なら通常5分以内に解け、教材の現在の単元に関係しており、決まった技法があると推測できる
- 出題者の意図、選択肢の消去、パターンマッチングによって答えを逆算できる
- 数学サークルの中心にあるのは、共同で取り組む problem である
- problem は、誰かが実際に何かをしようとして生まれる、興味深い問いである
- 参加者やコーチ、さらには誰にも解けないことさえある
- 解けるとしても数週間や数か月かかることがあり、必要な技法が明確でなかったり、未知の技法を必要としたりする
- コーチは参加者の能力より少し難しい問題を選ぶこともあるが、ときには答えを誰も知らない問題を全員で一緒に抱えることもある
- こうした経験は、優れた人であっても問題の前で行き詰まり、敗北しうることを示し、難しいものを好む文化 を生み出す
- 疲れたときには、過去の有名な問題や数学者の話が登場し、数学もまた共有された物語や内輪のジョークを持つひとつの 文化 として機能する
Zvonkinの未就学児向け数学サークル
- Math from Three to Seven は、数学サークルを 未就学児 に適用した記録である
- コーチ役のAlexander Zvonkinは職業数学者で、息子Dmitryと近所の子どもたちのためにサークルを始めた
- 子どもの多くは3〜4歳だった
- Piagetの実験によれば、その年齢では数や体積に関わる一部の認知モジュールがまだ発達していない段階にある
- Zvonkinは発達心理学の研究を知っており、子どもたちの数感覚の不足を、集合の大きさや対応といったより深いアイデアへと結びつけた
- 本は整理された教育理論書というより、ほとんど編集されていない 日誌 に近い
- 見事なパズルのアイデアがあっても、子どもたちが叫んだり吐いたりするような失敗が繰り返された
- 4年間のサークルの中で、成功と失敗の両方が記録されている
- 初期の目標は、学校数学への逆プログラミングに近かった
- Zvonkinは、学校が数学を従うべき公式の集合として提示する点を嫌っていた
- 決められた形式で答えを書かない、あるいは「まだ習ってはいけない」技法を使ったという理由で減点するやり方に強く反発していた
- ただし後にモスクワの公立学校で実験的な数学カリキュラムを教えた後は、教師や行政担当者が置かれた制約もより理解するようになった
ひとつの組合せ論の問題を複数の姿で繰り返す
- サークル開始から約1年後、Zvonkinは子どもたちに最初の本物の problem を提示した
- 5つの物の中から順序を考えずに2つを選ぶ方法は何通りかを問う 組合せ論 の問題である
- Zvonkinは、この主題はかつて高校生に教えられていたが、難しすぎるという理由で外されたと考えていた
- 彼は未就学児がほとんどヒントなしで自力で見抜くことを望んでいた
- アプローチは、数か月にわたって同じ問題をさまざまに姿を変えて繰り返し提示することだった
- 子どもたちはまだ形式的・記号的推論の道具を持っていないため、触覚的で具体的な形から入った
- 最初の形はビーズの問題だった
- 子どもたちに赤いビーズ2個と青いビーズ3個で作れる鎖を考えさせた
- 鎖を180度回転させたときに同じものとみなすか、別のものとみなすかで議論が起きた
- Zvonkinは、ルールは決められるし、そうするとひとつの問題が2つの problem に分かれるのだと答えた
- 次に、5つの円が描かれた紙を渡し、そのうち2つだけを塗る方法を探させた
- 子どもたちは前のビーズ問題との類似をぼんやり感じるが、まだ明確には結びつけられなかった
- さらに数か月後、4x3の格子を都市地図だと説明し、タクシーが左下から右上へ後戻りせずに進む経路の数を問う問題を出した
- Zvonkinは、経路で右に進む移動を赤い円、上に進む移動を青い円として表し、子どもたちがビーズ問題と結びつけるようヒントを与えた
- 子どもたちは、見かけの異なる問題が同じ構造を持つ 同型性 を発見した
- 最後に、5つの空のマッチ箱と2つのボールを置き、ボールを箱に入れる異なる方法を尋ねた
- 子どもたちは、これがビーズ問題と同じだとすぐに見抜いた
- これらすべての問題の答えは10通りだが、それ以上ないことをどう証明するか、また元の集合が4個や6個なら答えがどう変わるかは、別の山として残った
子どもの思考と教育方法の限界
- 子どもを「小さな大人」とみなす homunculus theory は誤った前提である
- 子どもは大人より単に知能が低く知識が少ない存在なのではなく、大人とは異なる位置にある知性を持つ存在に近い
- 幼い子どもはより具体的に考えるので、記号的・命題的推論ができないからといって、全体として思考力が低いとみなすべきではない
- Zvonkinが子どもにも大人にも効果的に使った方法は、反復と間隔 である
- 同じ問題を何度も、長い間隔をあけて、そのたびに違う角度から再提示する
- 集中思考と拡散思考の相互作用を利用するやり方である
- 筆者はこの方法で、5〜6歳の子どもに Pascal’s triangle の一行の和が2のべき乗になる理由を理解させた経験を付け加えている
- 本の最後の教訓は、同じ方法が常に再現できるわけではないという点である
- Zvonkinは最初のサークル4年間の成功と失敗を記録し、次女Evgeniaと同年代の子どもたちで2つ目のサークルを始めた
- 彼はすでに何がうまくいき何がうまくいかないか分かっていると思っていたが、2つ目のグループは適性も興味も異なり、以前のノートはほとんど役に立たなかった
- 約1年後、彼は断念し、日誌は唐突に終わる
- この経験は、子どもが複数いる親のごく普遍的な経験を極端な形で示している
- 同じやり方で育てても、子どもたちの違いは非常に早い段階で現れる
- 親の行動が、その子がどんな存在になるかに与えられる影響は、周辺的なものにすぎない
- 教育と子育ては、子どもをプログラムすることではなく、新しい存在が何になっていくかが現れる過程を見守ることに近い
- 同時に親は少し肩の力を抜き、本、映画、スポーツ、ハイキング、考えることのような、互いに楽しい活動を一緒にできる
- 場合によっては、その活動が problem と格闘する 骨の折れる思考 になることもある
1件のコメント
Hacker News の意見
文章が意外なほど面白く、よく書けているので、ここのコメントだけでなく本文も読むとよいと思う
「つまらない学校の練習問題」が不要だという意味なのか、それとも 必要だが十分ではない という意味なのかは、いまひとつ分からない
10代に入りつつある子どもが、以前は数学が好きで数学の問題の話も楽しんでいたのに、今は学校の練習問題を退屈がって興味を失いつつあるようで、もう一度火をつける方法があるのか気になっている
良い先生たちが単なる「何を」ではなく どうやって、そしてなぜ を示してくれたこと、そして単位円を10度ずつ回しながら直角三角形の対辺/斜辺の比をグラフに打って 正弦関数 が目の前で生まれるのを見た瞬間は魔法のようだった
別の先生は紙で箱を作らせて体積を計算させ、同じ紙の面積で最大体積になる箱の寸法を微積分で求めて見せてくれたが、そのとき初めて数学は時間の無駄ではなく役に立つものだと感じた
YouTube の 3Blue1Brown も良いが少し長くて難しいことがあり、Numberphile は短い動画が多いうえ小さな証明も見せてくれるので良い
Martin Gardner や Ian Stewart の本のような面白い数学の話やパズル本も悪くなく、子どもにやりたいことをやらせようとする姿勢よりも、親自身が数学に興味を持っているように見えることのほうが役に立つ
こちらの学校は子どもの興味より成績に重点を置きすぎるのが問題だと思う。圧力が強すぎると楽しさは消える
とくに「まだ習ってはいけない手法」を使ったとして減点するのは本当に良くないし、反復が必要だとしても、子どもが自分は上達していると感じられれば興味を保てる
ある程度しんどい反復があっても、科目そのものを面白いと感じられる材料を十分に与えるべきで、質問に答えてくれる関心のある親がいれば大きな助けになる
8年生までは数学が退屈だったが理由が分からず、事務ミスで pre-algebra ではなく algebra の授業に入ったことで分かった
1か月の復習で1年分の内容を圧縮して追いつかなければならず、初めて努力する必要があり、平均 C を取ったが、その後また速度が遅くなったとき、数学そのものは好きで、皆に合わせるために遅い授業が嫌いだったのだと気づいた
好奇心の赴くままにあれこれ作っているうちに、三角法、線形代数、統計の役に立つ部分をかなり「発見」し、そのとき得た直観が後の大学数学にも確かに役立った
Axiom Maths は英国に数学サークルの概念を持ち込もうとしており、学校が独自のサークルを運営できるよう支援と資料を提供している
King’s Maths School の創設校長のように数学教育経験の深いチームが運営しており、この学校は英国でも成果が非常に高い公立 sixth form の1つである
https://axiommaths.com/how-we-work/
https://nrich.maths.org/about-nrich
Simon Singh の https://parallel.org.uk/ もあるが、おおむね10歳以上向けである
Rozhkovskaya の本にはとても良い活動が入っている https://www.amazon.co.uk/gp/product/1470416956
文章で取り上げられていた Zvonkin の本は、授業が完全に失敗した話や、夜遅くに紙片を切り抜いた率直な描写があって動機づけには良いが、実際の教材として使うにはかなり難しいと思う
核心的な文化差は、米国では数学や物理より 法律とビジネス のほうが高く評価されることにある
賢い子どもが目標にする先は今でも Harvard Law School であり、MIT は優秀でなおかつ本当にその分野にのめり込んでいるときの目標になる
フランスでは Napoleon が作った工学学校である Polytechnique に行くのが最高コースと見なされており、文化的に子どもたちを数学学習の方向へ後押ししている
子どもに数学の適性も好みもないなら ENA のほうへ押すのだろうかと思う
数学教育における最大の問題は、理論を学んだあと、実際に問題を解く 計画の立て方 に立ち返らないことにある
たとえば積分を解くさまざまな手法を学んでも、問題を前にしたときにどの道具を使うべきか判断する実践的な戦略を一緒に作らない
そのため、学生が数学の問題と結びつけて学ぶ主要な感情は自信ではなく恐怖になる。各問題が「解けるだろうか、それとも何時間も迷ったあげく答えも見つからないのだろうか」のように感じられる
基本的な積分手法をどう適用するかについて、教師が公式ごとの場面をきっちり整理して座学で教えなければならないのだとしたら、それはきちんと学べていないということだと思う
u-置換のような大きなコツを別にすれば、特定の機械的な積分手順を直接教えるやり方は、自分にとってはしっくりこない学び方だっただろう
子どもが3歳のときにこの素晴らしい本を見つけ、著者が「ガイドではなく日誌だ」と何度も注意していたにもかかわらず、似たようにやってみようと思って読み始めた。
残念ながら本そのもののせいではなく、ほかのことに気を取られて最後まで読めず、今では子どもはもう7歳を過ぎてしまった。
それでも、少し読んだ部分は本当に楽しかった。
ほかの数学サークルのカリキュラムは、刺激は少なくても、ずっと追いやすいものが多い。
ソ連では何でもより良かった、という基本前提は間違っていると思う。
彼らはGDPのはるかに大きな割合を軍事と宇宙に注ぎ込み、ロシアでの暮らしは悲惨だった。
戦車、核兵器、ロケットはあったが、人々の生活をより良くした企業はなく、それが冷戦を長引かせた末に、最終的に崩壊した。
基本前提が間違っているなら、どこで手がかりを探しても意味はない。
6年前と10年前にも、いくつかのコメント付きで投稿されたことがある。
https://hn.algolia.com/?q=Math+from+Three+to+Seven
この本とその背景文化は影響力が大きく、「発展」活動をやったことがある人なら、本の中の活動の多くにすでに触れている可能性が高い。
最も有名な例は、Scratch JR / code.org の入門プログラミングを紙と鉛筆でやるようなものかもしれない。
Math from Three to Seven: The Story of a Mathematical Circle for Preschoolers [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=17018583 - May 2018 (20 comments)
Math from Three to Seven: Chapters One and Three [pdf] - https://news.ycombinator.com/item?id=8811334 - Dec 2014 (21 comments)
ソ連は実際、世界で最も 本を読む国 だった。
1966年の世界調査によれば、ソ連市民は本・新聞・雑誌を平均して週11時間ほど読んでおり、これは英国・北米・フランスの人々の2倍の水準だった。
科学人材育成という目的においては、小説を読むことはテレビを見るのと同程度にしか役立たないかもしれない。
ときどき昔の街頭インタビューを今の街頭インタビューと比べると、まったく違う。
80年代末の崩壊期の酒場にいた労働者階級の酔っ払いでさえ、今の人々より話し方がうまく、知的に見える。
Putin のせいであれ、移民のせいであれ、資本主義のせいであれ、大衆には 深刻な退行 があると思う。
記事の終盤が、残りの内容をかなり相殺してしまっている。
2つ目の数学サークルでは子どもたちが異なり、適性や関心も違ったため、既存のノートはすべて役に立たなくなり、最初に試した授業はすべて失敗した。
共産主義社会で育ち、人間の本性の絶対的な可塑性を信じていた Zvonkin は、かなり幼い段階から違いが現れることに相当な衝撃を受けたようだ。
行間を読むと、最初の子どもたちのグループはかなり運が良く、2つ目のグループははるかに教えにくく、約1年後に諦めたことで日誌は突然終わっている。
「決められた形式で答えを書かなかったというだけで減点する普通の教師」というのは、うちの子どもたちの算数教師がまさにそうで、本当にうんざりする。
ところが実際には、課題にまったく合っていない場合でも、決められた方法をそれぞれ強制的に使わせる。
その問題に指定された方法から外れれば間違いであり、自分なりの変形した方法を作ることは許されない。
結局のところ教師たちは、子どもが 異なる方法 を使うべきだということは学んだが、なぜそうすべきなのかは学ばなかったようだ。