- MITで長年2年生向けの微分方程式科目を担当してきたGian-Carlo Rotaは、入門課程が古い解法のコツと惰性に縛られており、現実的な改革よりも短い代替科目へと自然に分化していく可能性が高いと見る
- 序盤で学ぶ1階方程式の技法、積分因子、完全微分方程式のようなばらばらなコツは実際の工学問題とかけ離れており、変数分離と変数変換程度しか長く残す価値はない
- 学生が必ず身につけるべき軸は定数係数線形方程式と線形システムであり、非定数係数の2階線形方程式や形式的なSturm-Liouvilleの内容は入門課程にあまり適していない
- 存在・一意性定理、文章題、変数変化法、微分記号中心の説明は、理解よりも試験しやすい操作を強化しがちであり、軌道・ベクトル場・積分曲線の観点から説明し直すべきだとする
- 入門微分方程式教育はコツを多く残す科目であってはならず、指数関数の普遍性、安定性、位相平面、Laplace変換のような概念的な感覚を学生に残すべきだと主張する
古びた入門微分方程式課程への問題意識
- Gian-Carlo Rotaは、若い頃に常微分方程式の教科書を書いたことを失敗だったと回想し、その経験を通じて自分は微分方程式が何であるかを分かっていなかったと気づいたという
- MITの2年生向け微分方程式科目は、教員にも学生にも負担の重い学部数学科目と見なされており、彼は教科書を書いたという理由でその講義を担当し続けることになった
- 1958年から繰り返してきた講義上の誤りと偏見を10の教訓として整理した文章である
1. 入門課程のかなりの部分は時代遅れである
- Cauchyの19世紀の微分方程式講義録と現代の入門教科書を比べると、システムが追加された以外には内容の変化がほとんどない
- 今日の教科書の冒頭には、完全微分方程式、積分因子、同次微分方程式のような相互に結びつかない技法が、有用な道具であるかのように並べられている
- こうした型の方程式は工学実務ではめったに現れず、付属の演習問題もEuler以来ほとんど変わらず受け継がれてきたと見る
- 入門微分方程式課程は大改革されるより、自然に消えていき、より現実的な側面を扱う複数の短い科目に置き換わる可能性がある
- ただし数学科の予算は工学系学生が初級数学科目に登録する人数に大きく依存しているため、この種の科目がなければ数学科の存続は難しいとも見る
2. 1階微分方程式は最小限に絞るべきである
- Booleの微分方程式の本は1階方程式の解法に半分近くを割いているが、今日なお意味をもって生き残っている技法は変数分離と変数変換くらいだとする
- 積分因子は冗談のような存在になっており、実際に1階微分方程式を積分因子を見つけて解く例を聞いたことがないという
- それでも講義では積分因子に1〜2時間を費やし、学生にそれが重要だと言い続ける慣行が残っている
3. 線形定数係数方程式が中核である
- 学生は定数係数線形微分方程式の解き方を必ず学ぶべきであり、とくに2階定数係数線形方程式の解法は基本的な数学リテラシーに属する
- 逆に非定数係数線形微分方程式は大胆に削るべきである
- Euler-Cauchy方程式を除けば、特殊関数を導入せずに陽に解ける2階線形方程式は存在しないと見る
- Bessel関数は過去の講義計画には含まれていたが、現在の入門課程では扱いにくいと判断する
- Sturm-Liouville理論は美しい数学だが、入門課程で扱う非特異なSturm-Liouville固有値問題は、実際の数学・物理・工学では現れないと批判する
- 実際に現れるSturm-Liouville系は特異系である
- 厳密な理論は第1の微分方程式科目どころか第2の科目の範囲も超えると見る
- 非定数係数方程式を完全に隠す必要はなく、入門レベルでもWronskianと微分代数の一部の結果は示せる
- 2階線形方程式の一般解公式はなくても、2つの解のWronskianには明示公式がある
- 1つの解が分かれば、Wronskianを使って第2の解を見つけられる
4. 変数変換を教えるべきである
- 学生がその後必ず扱うことになる技術は、1階・2階微分方程式の両方における変数変換である
- 変数変換は単なるコツではなく一貫した理論だが、現在の教科書はこの技術に十分な重要性を与えていないと見る
- 2階線形微分方程式における従属変数と独立変数の変換公式は知られているが、20世紀に書かれた本では見つけにくいという
- Liouvilleは2階線形微分方程式の係数の微分多項式である不変量を発見し、2つの方程式が変数変換で互いに変換可能であるための必要十分条件が同じ不変量を持つことだと証明した
- この定理は教科書では扱われず、彼の教科書初版では演習問題に入っていたが、その後の版では削除されたという
5. 存在性と一意性はそれほど重要ではない
- 常微分方程式の存在定理は一般に思われているほど重要ではなく、心理的な安心感を与える定理に近いと見る
- 常微分方程式に解が存在しない例があるなら存在定理はもっと興味深いかもしれないが、その種の問題は偏微分方程式でより顕著である
- 一意性定理はより繊細な問題であり、定数係数2階線形方程式のすべての解が2つの解の線形結合だと証明なしに述べるとき、罪悪感を覚えるという
y' = ay のすべての解が y = ce^{ax} の形であることを証明しても、学生に納得感をもって伝えるのは難しいと見る
6. 線形定数係数システムが課程の中心である
- 定数係数線形システムの解法は、微分方程式課程で学生が学ぶ最も重要な技術である
- 科学技術分野の学生はその後大きな線形システムに出会うことになり、大規模システムの解法が計算機化されるほど理論理解はむしろ重要になる
- 学生は行列の固有値と固有ベクトル、行列指数などの関連理論を知る必要がある
- この30年ほどの間に制御、経済学、信号処理、数学で興味深い定数係数システムの例が現れてきたが、入門教科書には含まれていないと見る
- 教科書の行列システムの例題は大半が平面系か人工的な例題だと批判する
- 変数変化法はシステムの章で儀礼的に登場するが実用性は低く、学生に出すべき問題も作りにくい
- 非定数係数2階非斉次線形方程式を解く古い変数変化法は、何世紀にもわたり同じ人工的な例題とともに教科書で繰り返されてきたと見る
7. 微分記号中心の説明は避けるべきである
- 積分因子を1800年以降の教科書が説明してきたやり方は厳密ではないと強く批判する
- 従来の説明では1階方程式
dy/dx = -M(x,y)/N(x,y) を突然 M dx + N dy = 0 という「微分形式」に置き換え、これは単なる別表記だと述べる
- 続いてある関数
q(x,y) を掛けると qM dx + qN dy = 0 が完全になると言うが、元の方程式と掛けた後の方程式が同じなのか別物なのかをきちんと扱えていない
- より良い説明は、その1階方程式に対応して平面自律系を考えることである
dx/dt = N(x,y)、dy/dt = -M(x,y) を同時に扱う- 系の解は速度をもつパラメータ曲線である軌道である
- 元の微分方程式の解は、速度を取り除いた積分曲線のグラフである
q(x,y) を変えると軌道上の速度は変わるが、積分曲線はそのまま残る- 積分因子は、ベクトル場を幾何学的・解析的により扱いやすくする因子
q として導入できる
- 外微分形式そのものに反対しているわけではなく、学部数学課程には外微分形式を扱う初級微積分科目が間もなく必要になるかもしれないと見る
8. 文章題は避けるべきである
- 試験や課題で点数分布を作りやすいという理由で文章題を好むのは誤った考え方だとする
- Cambridge Triposの古い訓練方式のように、解法のコツに合わせて学生を訓練すると、理解より操作能力のほうが重要になってしまう
- 微分方程式教科書の文章題は人工的で非現実的で反復的であり、関連性も低いと批判する
- 除雪車の問題や、つながったタンクの食塩水の流れのような問題を解かせても、学生が意味のあることを学ぶとは言いがたいという
- 経済学の学生が出会う実問題と化学工学の学生が出会う実問題は大きく異なり、1つの入門科目がそれらを単純な文章題だけで包括することはできない
9. Laplace変換の動機づけを正しく行うべきである
- 通常Laplace変換は定数係数線形微分方程式の初期値問題から動機づけられるが、逆変換は容易でなく、初期値問題は別の方法でも解けるため、動機としては弱い
- Laplace変換を扱うとき、「関数」という言葉には異なる2つの概念が混在している
- グラフをもつ通常の関数
- 質量密度や確率密度のように、積分によって意味が定まる密度関数
- 密度関数では1点での値は意味を持たず、区間
[a,b] における積分が質量や確率を表す
- この見方を採用すると、Diracのデルタ関数を単純かつ厳密に扱える
- 点
c にある単位質量は、グラフをもたない最も単純な密度関数である
- 区間が
c を含まなければ積分値は0、含めば1と定義される
- 無限大の値をもつ関数だといった説明なしに性質を導ける
- 密度関数では通常の意味での乗算よりも、畳み込み（convolution） が自然な乗算の役割を果たす
- 畳み込みの重要な定理としてTitchmarshの畳み込み定理を挙げ、その定理には知られている初等的証明がなく、Titchmarshの証明は複素変数の方法を用いるという
10. コツではなく概念を教えるべきである
- 入門微分方程式課程をコツ集として教えても教育的価値はない
- 学生は1年後にはたいていのコツを忘れ、その多くはどうせ役に立たないという
- 学生に残すべき概念は次のとおりである
- 指数関数の普遍的な出現
- 安定性
- システムの軌道と積分曲線の関係
- 位相平面解析
- Laplace変換の操作
- Laplace変換による部分分数分解と畳み込みの関係
- 学生が難しい問題を巧みに解けるかどうかより、微分方程式の重要性と数学の力に対する感覚を得ることのほうが重要である
- 学部教育の目的を情報伝達だけと見るのは誤りであり、情報は教室の外でももっとよい形で得られる
- 成功した学部講義とは、学生が具体的に何を学んだかを正確に言い当てられなくても、良い授業を受けたと感じられるようにすることにある
2件のコメント
内容とタイトルが違うようですね？
Hacker News のコメント
数学の他の分野や、複数の分野でも似たようなことがある。数学の授業でフーリエ変換を学んだときは、複素指数関数の積分を機械的に扱う代数のように見えてまったく理解できなかったが、オーディオ信号解析で波形の大きさのスペクトルを見た瞬間、何が起きているのかすぐにピンと来て、位相もその後は難しくなかった。
大学数学では、こうした実用例がほとんど禁じられているように見えるが、すべてを非常に抽象的で厳密なものにしようとしているのだと思う。直感を得てからは形式的な数学も理解できるようになり、教える側になると、なぜこうなるのかも見えてくる。教師にとってはあまりに当然なので、学生がまだ記法や語彙を理解する前の状態を想像しにくいからだ。だから、学生がすでに知っている別分野の概念を探し、新しいトピックの簡単な例と結びつけて「これは同じもので、記法と抽象化が違うだけだ」と示すと、しばしばカチッと理解される。ただし教科書や大規模講義ではこれが難しく、だから資料を投げ渡すだけでなく、人が教える必要がある。
しかし数学の概念は、実際の物理問題を解くために発明されたものや、後に物理問題に非常に有用だと分かったものが多い。歴史的には物理と数学を大きく分けておらず、互いに大きな影響を与え合っていた。アインシュタインが一般相対性理論を作ったときも、数学が得意ではなかったため友人たちの助けを借り、個人指導に近い過程を経て理解したという話は興味深い。フーリエ解析も電子工学を始める前から理解はしていたが、高周波の問題を扱い、回路作業に周波数領域を使い始めて初めて、その有用性が実感できた。
これまで見た微分方程式入門の中で最も直感的だった資料は、https://www.complexityexplorer.org/courses/31-introduction-t...だった。
最初から微分方程式を説明し、物理的な意味と伝統的な解法を1つか2つ扱った後、数値解析の方法へ進む。微分方程式を学びたいなら強く勧められるほど短くて良いが、正規の課程に備えるものでも、すべての内容を教えてくれる資料でもない。
14〜15歳で初めて微積分を学んだとき、なぜこれをやるのかを誰かが説明してくれていたら、ずっと混乱せずに済んだと思う。今なら速度・距離・加速度のような例で説明されると完全に筋が通るが、関数と無限小の断片、デルタ量、方程式と証明の一覧だけで学ぶと、あまりに乾いていて面白くなかった。数年後に物理の授業で出てくるまで、微積分が何をするものなのか見当がつかなかった。
大学院生になって基礎内容を見直し、「こんなに筋が通っているのに、なぜ高校のときに教えてくれなかったんだ？」と思ったが、おそらく実際には学んでいたものの、数学的成熟度が足りず残らなかったのだと気づいた。代数的な操作能力が高かったため、概念的基礎を深く理解しなくても大半の課題をこなせてしまった点も妨げになった。代数的操作能力は重要だが、概念理解なしでは通過しにくいように授業を再構成するのがよいと思う。
ただし物理の例は、物理に関心のある学生にしかうまく効かない。数学塾で働いていたとき、Stewart の教科書のような物理例が、物理に関心のない学生をかえって大いに混乱させるのを見た。数学を学ぶことに加えて、例を理解するために物理概念まで学ばなければならなかったからだ。財務・経済系の学生向けの別の微積分も同様で、チューターは問題を手伝うために基本的な財務概念を学ぶ必要があり、学生は財務概念が混ざった問題だけを解けるようになる場合があった。
学校の図書館で、プール脇のだんだん大きくなる穴から水が流れ出る問題を解いていたときにユリイカの瞬間が訪れ、その後はすべてが理解できるようになった。その後はほとんどAを取り、その年のAP試験ではクラスで唯一5点を取った。結局、信号処理に重点を置いた電気工学を専攻し、大学院まで進んだので、理解できない状態からほぼ8年も微積分ばかりやることになったのは皮肉だ。
関連性が生まれれば、こうした数学がソフトウェアの中に埋め込まれていて自分で直接使わないとしても、誰かがその数学をコードにしており、私たちはその恩恵を受けているのだと説明できる。「君が直接使わないかもしれないが、君が使う道具が内部で使っている」という言葉は、奇妙な雑用のように感じている学生の動機づけになり得る。
大学で初めて履修した数学科目が彼の2学期の微積分で、今でも頭の中であの声で聞こえるような気がする。忘れられない声で、すばらしい教師だった
もう一つ興味深いのは、50歳で自ら選んでエンジニアになったことだが、工学はすでに大きく変わっていて、重要なのは高価なコンピュータプログラムを使いこなす能力だった。そのプログラムは微分方程式を数値的に解いており、別の方法で解こうと考える人はほとんどいなかった。そんな時間がないからだ
それでも微分方程式の理論は、数値解析手法が機能する枠組みを設計するうえで、なお有用だと理解している
2つ目の話には同意する。プログラムは微分方程式を数値的に解くが、昔はどう解いていたのかを少し知っておくのも、今でも悪くないと思う
定数係数を持つ2階線形常微分方程式、つまり質量-ばね-ダンパ系のすべての一般解を、コードで簡単に実装できる簡潔な行列形式として導出した記事を書いた: https://esporttoys.pages.dev/2022/11/21/damped
Luaによる完全な解も示していて、減衰・固有角周波数・残差に応じてsin/cosまたはsinh/coshを選び、位置と速度の時間発展を計算する形になっている
仕事で微分方程式を扱わなくなってから久しいが、PDFに出てくる「知れば知るほど理解できなくなった」という言葉には同意する。なぜ純粋な数学が現実という不潔なものに汚染されて初めて理解されるのか、それが理解を妨げるのかはよく分からない
10年前に化学工学の大学院へ行ったとき、授業で歯がゆかったのは、数学がむしろ十分に厳密ではなかった点だ。明確にしてほしいと尋ねると、不整合がなんとなく流されることがよくあった
記事に出てくる微分形式が良い例だ。工学の授業では、厳密性や形式性なしに方程式を書き換える方法のように突然登場する。「微分」とは何か、これらの記号を一貫して操作する公理的基盤があるのかを誰も説明せず、ただ試験用の解法手順だけを与える。量子化学の授業でも、波動関数の収縮と光速より速い情報伝達の可能性について質問したが、「この授業の範囲ではない」として流された。統計力学の大学院授業では、系全体の波動関数が個々の波動関数のSlater行列式だという説明に対し、量子力学の核心は系全体の状態関数が一般には分離不可能である点であり、そうでなければエンタングルメントも存在しないと反論したが、教授は、学生が知らないテーマで教授に挑んではいけないと一蹴した。その教授の研究歴は、DFTソフトウェアに原子座標と種類のファイルを入れて実行し、その結果を発表する計算化学論文に大きく依存していた
実験的には、十分に大きな系は量子コヒーレンスを長く維持できないように見える。この過程を数学的にどう扱うのかを知りたければ「quantum decoherence」を、考えられる物理的解釈を知りたければ「objective collapse theory」を調べればよい
「これらの記号を一貫して操作する公理的基盤があるのか」に対する答えはある。また学界の大きな部分は、自分の小さな細分野の中で出版し、より広い含意をほとんど考えない。そのため、少し異なる背景を持つ新規参入者が多くの発見をすることもある
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「定数係数を持つ線形微分方程式が核心だ」という言葉には完全に同意する。変数に簡単な定数を入れてみればどう動くのか感覚をつかめるのに、定数係数を先に教えないのは信じがたい
これまで学んできた教育者のほとんど全員が、教材は無菌状態のままであるべきだと無意識に固執していて、この記事のように面白く、強い視点を持つことを許してこなかった。大半の学生にとって「学習」は、大学を出るか大学院に入り、エッセイや回想録を通じて学ぶようになるまで、ばかばかしいほど退屈なものになっている
12〜16年もの間、骨のように乾ききった形式で確立済みの真理として提示されるものは、実は時に数十人から数千人の生涯をかけた仕事であり、彼らはそれぞれのキャリアを賭けて戦い、社会観を築き、冗談を言い、結婚し、離婚し、死に、口論し、狙い撃ちしながら、途方もない情熱を教科書へと蒸留してきたものだった。学生として学ぶ情報の多くは、発見当時にはきわめて論争的だった。マサチューセッツ州サンドイッチのガラス工芸博物館でさえ、展示説明板では「既存のガラス職人たちが産業上の侵害として反発した」といった具合に整えていたが、実際の引用は、発明家が暴力的な反発を避けるため数週間部屋に隠れていた、というような、はるかに人間味のあるものだった。現代教育で一つ変えられるなら、情報の発展と保存が決して整然としていたことも、偏りがなかったこともないのだと学生に知ってもらい、過去の著者たちの機知と知恵に十分触れられるようにしたい。付け加えると、コメディに身を捧げた芸術家や作家を除けば、数学者やエンジニアのほうが芸術家や作家よりはるかに面白いことが多かった
そう考えると、実際の洞察を伝えるには不十分でも、驚くほど成功してはいる。より良い教育は、学生主導で発見中心のアプローチなのだろうが、スケールさせるのはより難しく、結果もそれほど決定的ではない。だから私たちは、退屈ではあるがある程度は効果のある教育を繰り返し続けている
2022年以前の議論: https://news.ycombinator.com/item?id=32530035
このやり方は現代のコンピュータではより扱いやすいはずだと、以前から考えてきた