『Calculus Made Easy』序文：微積分は思ったよりやさしく学べる
(calculusmadeeasy.org)- この序文は、多くの人が微積分の計算をこなしているという事実から出発し、同じこつを学ぶことは必ずしも難しくも退屈でもないと述べている
- 微積分にはとてもやさしいこつと非常に難しい部分が共存しており、最初からすべてを難しく考える必要はないと区別している
- 高度な数学教科書は、やさしい計算をわかりやすく示すよりも、著者の利口さを見せつけるかのように複雑に扱っていると批判している
- 語り手は自分を「remarkably stupid fellow」とへりくだって呼び、自分が取り除いたそれほど難しくない部分を同じ立場の読者に見せようとしている
- やさしい部分を十分に身につければ残りもついてくるのであり、「What one fool can do, another can」という態度で学習可能性を強調している
序文が語る微積分の難しさ
- 微積分は、すべての部分が同じように難しい学問ではなく、やさしいこつと非常に難しいこつがともに存在する
- 多くの人が計算できるという事実は、ほかの人も同じ計算のこつを学べるという根拠になる
- 高度な数学教科書は、やさしい部分をやさしく説明するよりも複雑に扱う傾向があると批判されている
読者に勧める学びの姿勢
- 語り手は、自分自身が難しさを取り除く過程を経たのだと述べている
- この本は、まずそれほど難しくない部分を身につけ、その土台が十分になれば残りもついてくるという立場をとっている
- 最後の文「What one fool can do, another can」は、ある人にできることは別の人にもできるという学習可能性を凝縮して示している
1件のコメント
Hacker Newsの意見
学校を離れて10年ほど経ってから物理の講義にまた惹かれ、古典力学の本を手に取り、基礎的な線形代数も見直すことになった。
ところが、いくつもの教科書がベクトルの内積を計算する手順だけを扱い、それがなぜ重要なのか――2つのベクトルの類似性を判断するのに役立つという点――をほとんど語っていないことに驚いた。
ChatGPTと意味について話してようやく納得できたし、今は大学時代よりもペースを落として、概念を十分につかんでから先へ進めるのがよい。
読んでいる数学書の多くは、全体的な意味よりも機械的な手順を示すことに偏っているので、概念の意味論的な説明をもっと上手にしてくれる本はどこにあるのか気になっている。
固有ベクトルを計算する手順は習ったが、なぜそんなものが必要なのかは一言も聞かなかった記憶がある。
きちんと説明するには、「微積分、線形代数、量子力学をすべて教える」といった科目目標を、もっと控えめに設定する必要がありそうだ。
その日以来、数学への意欲を失い、後になって積分が曲線下の面積と関係していて、どれほど有用かを知ったとき、また腹が立った。
ほとんどの教師は善意を持って努力しているだろうが、二度と教室に入るべきではないほどひどい人間も確かにいる。
それまでは、試験に通るために覚えなければならない抽象概念につながった、さらに別の抽象概念にすぎなかった。
今でも抽象代数関係のような論文を読むとき、その概念を直感的にどう捉えればよいのか、一、二文すらなく記号的な関係だけが並んでいると、もどかしくなる。
数学というゲームの中ではそうした見方が自然になるのだろうが、多くの人は別の動機を持って数学を学んでおり、実際の有用性や現実とのつながりを示す観点を求めている。
抽象概念の具体例を1つ示すだけでも、はるかに多くの賢く関心のある読者が数学論文を理解できるはずだ。
Steven Strogatzのすばらしい本『Infinite Powers』を読んでようやく微積分をきちんと理解できた。この本は、なぜそうなのかだけでなく、その理由の歴史まで説明している。
個人的には10点満点の本だ。
https://www.stevenstrogatz.com/books/infinite-powers
私が見た初級レベルの物理の本は、内積を幾何学的定義と代数的定義の両方で紹介し、2〜3次元では両者が同じになることを示していた。
「どうやって」が代数的定義だとすれば、「なぜ」は幾何学的定義に当たる。
物理学で内積が重要なのは、類似度を測るためではなく、長さと角度を教えてくれるからであり、より抽象的な空間では内積が長さと角度の定義になることもある。
機械学習では類似度の定義が必要で、2つのベクトルの間の角度が小さい、という形で定められるため、その観点が入ってくる。
より伝統的な類似度の尺度は差の長さ、つまり距離であり、これも内積で計算される。
学校、仕事、趣味で20年にわたって微積分に触れてきたが、こういう文章を見るといつも楽しく、笑みがこぼれる。
うまく展開すれば、何年もかけて積み上げた直感が数分で伝わるように感じる。
「(dx)^2は、xのごく小さなかけらの、さらに小さなかけら」といった説明は、確率微積分をどうにか基本的に理解しようとして何十時間も費やした最近の苦労においても、核心的な支柱になった。
こうした資料を見ると、新しい世代はこういう情報にアクセスしてより速く学べるのだから、人類は前進しているのだと思う。
今日でも、その点が大きく変わるのは難しそうだ。
その一部は、無限小の存在論的地位をめぐる古くからの、しばしば哲学的・神学的な論争に関係している。
差分商が微分計算の公式な定式化になったが、実際にはほとんどそのようには使われていない。それでも現実には、微積分はそういう形で使われている。
実務では今でも場当たり的な無限小記法を使うが、これは独自の規則を持つ奇妙なもので、実際にその規則を知っている人は多くない。
非標準解析は、無限小をほぼ通常の代数規則どおりに扱えるようにしてくれるが、根本的な技術的・哲学的問題があるためにあまり使われないのか、それとも単なる保守性のためなのかは分からない。
確率微積分は本当に奇妙で、たとえば連続時間カルマンフィルタの「正しい」定式化を理解できたことがない。
時間間隔を0へ送る形で考えると、適当に手を入れれば正しい結果が出るが、形式的には正確ではない、と理解している。
大学の入学課程で微積分を履修する立場からすると、こういう微積分をやさしく学ぶ系のパンフレットは、うんざりするほど陳腐に感じられる
難しいのは最高レベルの概念ではなく、実際に微積分の問題を解くために必要な基礎知識のほうだ
自分にとって最も難しいのは、第一に、平方完成から多項式の筆算による除算、微分を含む方程式まで、予想外の問題を解けるだけの前提知識を徹底的に身につけること
第二に、ライプニッツの記法から曲線の概形描写まで、記法とグラフの技法を理解し、正確に適用することだ
だからこそ入門微積分だけを扱う分厚い本や講義が存在し、さらに高度な数学の表面にすら届かないのだ
HTMLページだけを読んだのでなければ、これは1910年にSilvanus P. Thompsonが出した一冊の本であり、十分に評価されたため1998年にMartin Gardnerが再編集し、ボランティアたちがTeXで丁寧に組み直してウェブサイトにしたものだ
明確な需要を満たしており、単に「陳腐な」パンフレットではない
ただしGardner版については、二つの強い個性が衝突しているとして勧めない人もいる
個人的にはKhan Academyを勧めるし、高校数学全体を一通り解き直すのがよい
自分も似た状況にいたとき、YouTubeにあったKhanの教材を見た。高校での成績は悪くなかったが、学校がよくなかったため基礎をかなり飛ばしていて、実際に数学を学ぶ準備はまったくできていなかった
教授やTAが複雑な式で「代数で知っていて当然のトリック」を見せるたびに、自分の人生で初めて見るものということが多かった
微積分を学びながら、代数・幾何・三角法を自分で学び直す以外に、あまり方法はない
代数力が弱いと微積分の方程式には対応できず、その解決策は「微積分をやさしく学ぶ」ではなく「代数をやさしく学ぶ」に求めるべきだ
高校のころは微積分の問題をかなりうまく解けたが、極限が実際に何なのかはほとんど理解していなかった
大学で極限の定義と、その上に構築される基本定理を理解したときは大きな衝撃を受けた
複雑な数学の問題を毎日解くことがない大半の人にとって、数学学習の核心は機械的に問題を解く能力ではなく、思考力全般を形づくる数学的概念やアイデアの理解だ
代数のどの部分が必要なのか？ それは自分で見つけるしかない
これが数学を逆向きに学ぶときの大きな壁で、角を曲がるたびに欠けたピースが現れ、そのピースがまた別の欠けたピースへとつながっていく
基礎から上級へ上がるやり方は数学の筋肉が育つのが遅すぎて苛立たしく、上から下へ降りるやり方も遅くて苛立たしい
概念理解だけで数学が得意になるわけではなく、いくつか問題を解いてみるまでは、自分は「理解した」と思い込みやすい
低い段階の問題を十分に反復して筋肉記憶にしてからでないと、その上の段階へは進めない
それでもある時点で、苦痛やウサギの穴のような感覚がかなり急速に減る変曲点が訪れ、繰り返した練習が報われ、次のまとまりは少し楽になる
プログラミングも同じで、ループの概念を知っているだけでは配列をソートするコードを効率よく書けず、構文とループを十分に使ったうえで、ソートアルゴリズムを繰り返し身体に覚え込ませる必要がある
こうした過程を経ると、同じ概念が別の変形として繰り返し現れ、だんだん短い時間でつかめるようになっていく
多くの人がただ諦め、自分には数学の遺伝子がないと受け入れてしまう理由もここにある
微積分を読む別の本として、Otto ToeplitzのThe Calculus: A Genetic Approachがある
似た道筋をたどる本で、楽しく読めた
https://press.uchicago.edu/ucp/books/book/chicago/C/bo548572...
高校と工学部時代の数学科目でよい成績を取れる程度には微積分を「知って」いたが、実際に微積分を知っていると感じたのは、1908年に出た“A Course of Pure Mathematics”のような本を読んでからだった
その本は数論から出発して微積分を積み上げていき、微積分の基本定理は本の中ほどに出てきたと記憶している
そうやって学ぶと忘れにくい
今日このように教えない理由は、試験制度と大教室の講義が、主要な公式を一時的に暗記し、それをどこに機械的に適用するかを知っていることを、深く長続きする意味理解よりも奨励しているからだと思う
毎年数学教師が替わり、翌年の科目に必要な前提知識の理解度が生徒ごとにばらばらになり、各単元の序盤を復習と統合に使わざるを得ないことも原因だ
一生ものの豊かな理解を得るには、おそらく10〜20%余分に時間をかければよいだけだが、実際の学習よりも圧縮と、すぐ測定できる結果のほうが重視されている
こうした資料に出会うと本当にうれしいが、現代の教育法のありふれた状態がかなり惨憺たるものだと気づかされ、ほろ苦くもある
この数か月、Professor LeonardのYouTubeチャンネル[0]で代数の基礎を学んでいる
目標は、微積分を見直す前に知識の穴を埋めることだ
きちんとやるにはかなり時間がかかるが、今は以前より自分の力にずっと自信が持てるようになり、それ自体がやりがいと動機になっている
始める前は、自分の代数知識の穴がここまで大きいとは思っていなかった
最終目標は、Andrej Karpathyの“Neural Networks: Zero to Hero”[1]を大きな問題なく追えるようになることだ
本当に学びたいものを独学する前に、ほとんど「ゼロ」から出発して前提知識を学ぶのは大変だが、近道を選べば結局は挫折につながりそうだ
だから38歳でYouTubeの代数講義を聞いている
[0] https://youtube.com/@ProfessorLeonard?si=0kiGvmbZv4b9Sgf9
[1] https://youtube.com/playlist?list=PLAqhIrjkxbuWI23v9cThsA9Gv...
この本を、Feynman が勉強した Calculus for the Practical Man といつも混同してしまう
https://archive.org/details/calulusforthepra000526mbp
最初に著者の Silvanus P. Thompson[1] に直接触れるべきではないかと思う
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Calculus_Made_Easy
リンクが著者名のある最初のページに飛ばない
単に著者がわざとやたらかわいらしい文体で書いているのだと思っていた
タイトルでは微積分を簡単にすると言っているのに、肝心の 圏論 がない
「どうしてそんなことがあり得るんだ？！」と尋ねる声が聞こえてくるようだ
この本は1910年に書かれ、圏論はその50年後に登場したのだから、そうなるのも仕方ない
それでも心配する必要はない
圏を使って通常の微分と積分を展開する本がある
これより簡単なものが何なのかは分からないが、見つけたら知らせる
https://books.google.com/books?id=gaE5EAAAQBAJ&newbks=1&newb...
労力には感謝するが、数ページ読んだだけでも、初めて微積分を学ぶ立場なら自分が求める資料ではないと感じる
復習用としても完璧ではない
著者はたいていの「ちゃんとした」本が抱える問題を正しく指摘しているが、補正しすぎて、かえって理解を不必要に複雑にし、一部の正式な教科書より難しくなることすらあり得る
あまりに冗長でくだけすぎており、読んでついていくのがかなり大変だ
Dean Swift の詩や「Queen Elizabeth の時代」のような言及は必要なく、微積分とは何か、なぜ必要なのか、実際にどうやるのかだけを知りたい
より簡単に見える 工学的アプローチ に従うとしてもそうだし、少しでも数学的なアプローチを取るなら、ある程度の形式性は依然として必要だと思う
数学は、実際には理解していないのに理解したと錯覚しやすい分野であり、その結果、逆説的な偽証明や、自分で証明せよという要求を前にして呆然とすることがある
有効な導出と無効な導出を区別するには、結局のところ形式的な定義が必要だ
実のところ、形式的な基礎そのものはまったく理解しにくいものではない
誰でも x² が x より速く増えることには容易に同意できるし、極限 の概念を導入すれば、なぜ (dx)² を dx に比べて無視できるのかが分かる
そのために週と分を比較する必要はなく、そうした比喩はむしろ注意をそらしかねない
「昔の英国風」の長広舌を数ページ読むより、形式的な定義をいくつか読むほうが、はるかに忍耐を要しないと感じる
追記: ああ、「様式化」ではなく実際に古い文章だった
それでも、微積分を学ぶにははるかに優れた現代の資料がある、という要点は変わらない