人間的な側面を見落とすと退屈になる数学文章
(golem.ph.utexas.edu)- 数学論文は、内容そのものよりも 悪い文章 のせいで、読者の期待を何ページにもわたって徐々にしぼませてしまうことがあり、その根本原因はしばしば人間的な関心を扱えていないことにある
- 良い数学文章は、明快な文とよく整理された流れに加え、読者が読み続けたくなる 物語構造 を活用すべきである
- タイトル・要旨・序論の段階で大半の読者は離脱するため、論文の前半は結果の文脈と進展をすばやく示す装置でなければならない
- 数学的対象は 登場人物 のように紹介し、証明の困難さは葛藤のように示すことで、アイデアの動機と役割が鮮明になる
- 結論では解決された問題と残された問題をあわせて整理すべきであり、物語の技法は読者が意識しないほど自然に働くべきである
数学論文が退屈になる理由
- 数学論文を読み始めたときの期待は、悪い文章 のせいで数ページにわたって徐々に崩れていくことがある
- 原因はいくつもあるが、とりわけ 人間的な次元 を無視すると文章はたやすく退屈になる
- 読者の興味はすぐに失われるが、適切に扱えば文章を最後まで引っ張る強い力になる
- 明快さ、よく整えられた散文、必要な情報を適切なタイミングで必要な分だけ伝える力は、良い数学文章の基本的な美徳である
- 読者の興味を引き留めることを本業とする 語り手 からも学ぶ点がある
数学文章も物語のように読まれる
- 人は長いあいだ物語を語り、聞いてきたし、物語は世界を理解する基本的な方法のひとつである
- 数学文章も、非常に洗練され昇華された物語のように読まれうる
- 数学的対象は 登場人物 になる
- 議論の流れは プロット になる
- 困難と解決は葛藤と解消のように機能する
- 短編小説の書き方に関する助言は無骨に見えるかもしれないが、人が何に興味を持ち、その興味をどう保つかを直接ねらっている
最初の段落は読者をつかまなければならない
- 読み物が多すぎるため、人はたいていの文章を最後まで読まない
- 多くの読者は最初の一、二文だけを見て、読み続けるかどうかを決める
- 数学論文でも冒頭部分で読者が大量に離脱する
- 論文を目にした人の90%はタイトルしか読まないと仮定する
- その次の90%は要旨だけを読む
- さらにその次の90%は序論まで読んで止まる
- この数値は作った数字だが、冒頭をもっと明確で魅力的にして90%を80%に下げられれば、序論以降まで読む人を8倍に増やせる計算になる
- 論文の書き出しをいきなり技術的条件の列挙で始めるやり方は、読者を遠ざけうる
- 例: “Mを完備Riemannian多様体、Gをcompact Lie group、P→Mをprincipal G-bundleとする”
- よりよい始め方は、まず問題の大きな文脈を示すことである
- 例: “gauge theoryの主要問題のひとつは、Riemannian manifold上のYang–Mills equationsの解空間の幾何を理解することである”
- 興味深い導入のあとには、すぐに自分が成し遂げた 進展 を説明しなければならない
序論は背景と道しるべを与えるべきである
- 短編小説は、読者がどのような場面と視点に置かれているのかを素早く定める
- 数学論文では、ふつう 序論 がその役割を担う
- 要旨より詳しく主要結果を説明する
- 結果を歴史的・数学的文脈の中に置く
- 必要な背景なしに数学を理解するのは難しい
- 数学には専門用語が多いため、最も単純なレベルであってもすべての語を理解する必要がある
- 序論はできるだけ単純に舞台を設定すべきであり、華美な専門用語は最小限にすべきである
- そのために、結果をある程度 単純化 してよい
- 定理の最大限の一般性ではなく、系や特殊な場合を述べてもよい
- 実際に真となるために必要な技術条件を省かなければならないこともある
- その場合は、省略した事実を読者に知らせ、正確な記述がある場所を案内すべきである
- 読者は論文を理解しようともがく中で、序論に何度も立ち返ることがある
- 理想的な序論は、舞台設定だけでなく、主要概念と結果の ロードマップ としても機能すべきである
- 序論だけ読んだ人でも論文が何についてのものか分かるべきであり、後でまた戻ってきたくなるようにすべきである
数学的対象は登場人物のように扱うべきである
- 数学論文が物語だとすれば、その中の「登場人物」は数学的対象である
- すべての対象が同じ重要度を持つわけではなく、ふつうは何人かの 主人公 と、ときには悪役がいる
- 数学者は複数の対象を扱うときでも、しばしば特定の代表を固定して語る
- たとえば数nによって変わる空間 Xₙ の class に関する定理を証明するとき、まず n を「固定」する
- その後は、あたかも特定の空間ひとつを扱っているかのように語る
- これは論理学的に分析されたやり方でもあるが、語りの技術も同時に働いている
- class 全体より、特定の代表ひとつを頭に思い描くほうが容易である
- 「労働者階級の窮状」を語ろうとする小説も、階級全体ではなく特定の構成員の物語を扱う
- 論文を読みやすくするには、中心となる数学的対象は特別なものだと分かる形で紹介されるべきである
- 既知の性質であっても、読者にあらためて伝えることを恐れる必要はない
- 中心的対象が登場するときには、「さて、ここで中心的プレイヤーである deck transformations group に移ろう」といった小さな ファンファーレ があってもよい
証明の困難さは葛藤と緊張を生む
- 数学論文における葛藤は、たいてい 理解しようとする闘い、とりわけ何かを証明しようとする闘いとして現れる
- Piet Hein の言葉どおり、挑む価値のある問題は、立ち向かわれることで自らの価値を証明する
- 有名な予想が興味深いのは、真実が容易には明かされず、困難な作業と新しい洞察を要求するからである
- 結果の証明が予想以上に難しかったり、結果が望むほど完全でなかったりしても、うまく扱えば論文に ドラマ を与えられる
- 数学者は、自分が直面した困難をあまりに簡単に矮小化する傾向がある
- 困難を隠すと、数学が退屈になるだけでなく、理解もいっそう難しくなる
- 巧みなアイデアは、それがどの問題を克服または回避したのかを示してこそ、動機が生き残る
- あらゆる落とし穴や誤った道筋を細かく列挙する必要はない
- 最終原稿のすべての段階が美しく、よく動機づけられているなら、葛藤や緊張の入る余地は少ないかもしれないが、そのような場合はまれである
結論は解決と未解決をあわせて整理すべきである
- 数学論文の結論は、解決された問題が実際に解決されたことを確認して、読者を安心させるべきである
- 同時に、まだ解決されていない問題も思い起こさせるべきである
- 多くの数学論文は、主要結果の証明が終わった途端に唐突に終わる
- これは、映画がクライマックスに達したまさにその瞬間に幕を下ろして照明をつけるような、不快さを伴いうる
- 結論では、議論の主流に入れにくかったいくつかの話題を、読者とともに少し扱うことができる
- 読者は、自分で解いてみられる 未解決問題 を聞くことも楽しめる
物語の技法はやりすぎず自然であるべきである
- これらのアイデアをうまく実装するには練習が必要であり、使いすぎてはならない
- これは、良い数学論文が読者に明示的に物語のように見えなければならないという意味ではない
- 提案された技法は、理想的にはほとんど見えない形で働くべきである
- 読者は、ただ論文が興味深く、タイトルから結論まで自然に流れていくと感じられればそれで十分である
- この記事は、数学におけるナラティブの役割を扱う書籍 Circles Disturbed: the Interplay of Mathematics and Narrative に寄稿する文章として最初に構想された
- 参考資料として K. Kennedy の Short stories: 10 tips for novice creative writers が含まれる
1件のコメント
Hacker News のコメント
コンピューターサイエンスの数学的なサブ分野で働く立場として、本当に共感する。必要な結果を見つけたのに、元論文が1970年代のタイプライターで打った告知文みたいに短く、最初の文が固有名詞だらけの定義で、主要定理は応用なしに可能な限り一般的な水準でだけ提示されていると、気が抜ける
数学の人たちと、なぜこうなるのか話してみると、だいたい a) 簡潔さと優雅さを同一視し、最大限の一般性と抽象性も同じように見ている b) その論文を読むべき人には説明は不要 c) 余計な説明を入れたせいで、尊敬している賢く自意識の強い教授に「甘い」と思われるのが怖い、あたりが混ざっている
実際に c を口にした人はいないが、かなり真実に近いと感じる。学術的な文章には、内輪の一員であることを証明しようとする文体の模倣が多い
文章でもコードでも常に対象読者の問題があり、必然的に対象でない人は排除される。自分が専門家である分野では、核心の一片を得るために入門説明や手取り足取りの内容を延々とかき分けるのは本当にいら立つ
そういう場合、自分は対象読者ではないので、自分が望む圧縮された・優雅な・一般的な・抽象的な・簡潔な表現を提供してくれる別のチャネルを探すことになる。だから、あるコミュニケーションチャネルの対象読者ではないからといって、そのチャネルを不公平で排他的だとだけ見ないでほしい
数学論文のような場合、専門家向けチャネルとして定着しているのが事実上は論文であり、それ以外の人たちには教科書、入門資料、ブログ、YouTube 動画などがある。ただし、非専門家でも専門家向けチャネルの中に閉じ込められた知識から利益を得られる場合があり、これは悪意というより不幸な構造的副作用だと思う
ソフトウェア開発でも、現在の慣習が「可読性」を「一般的なプログラマーにとって快適でなじみがあること」と同一視し、「主開発者にとってドメイン理解や洞察を助けるか」といった、より有用な基準で見ていない点が惜しい
https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Bourbaki
https://press.princeton.edu/books/hardcover/9780691161730/creating-symmetry
そうすると査読コメントに「証明が簡単だ／技術的でない」といった貶す文が毎回入った。もちろん共著者たちと同じように苦労して得た結果なので、他の仕事より証明が簡単だったという独立した根拠はなかったが、結局ふだん自分の論文が載るジャーナルより権威の低いところへ再投稿しなければならなかった
結局そのやり方はやめ、むしろ反対のほうが報われやすいと気づいた。最終的に出版された論文 18 本のうち、査読者を十分いら立たせて修正後再査読になったのは一度だけだったが、そのときは意図的に証明をかなり曖昧なままにしていた
もちろん私のキャリアはややニッチなサブ分野で、それほど目立つものではなかったし、ある水準では a、b、そして何より結果を早く出さなければならないプレッシャーのほうが大きな誘因かもしれない。他分野では、不透明な文章や「並列構成」の技術を身につけ、他人が自分を追い越しにくくする人たちもいるという噂をたまに聞く
特に結果を本当に重要視しているなら、一般性は重要だ
数学は、自己宣伝を許す程度という点では悪くない位置にあると思う。論文を「人間的」にするという名目で、過度な誇張を受け入れる必要はない
ただ、多くの数学者は論証に必要な詳細や動機を十分に提供していないと思う。ここでいう動機は「なぜ重要なのか」ではなく、「これから 3 ページの証明に入るので、詳細をすべて読まないと輪郭を再構成できない、ということがないように、先に 1 段落で概要を示す」ということに近い
数学の説明で個人的に嫌いな点もある。いつの頃からか「明らかに」「容易に分かる」といった表現が禁忌、少なくとも好ましくないものと見なされるようになった。問題は、詳細の省略そのものが禁止されたわけではない点で、これらの表現は実際には情報を含んでいる
つまり、ここにはまだ読者が埋めるべき詳細が残っている、という情報が含まれている。論文を読んでいると、確認自体は難しくない欠けた詳細があるのに、説明の中では幽霊のように存在していて、自分がどこかに明示された部分を見落としたのかと思って戻ることがある。「容易に分かる」を削除して、何も入れなかった場合のように感じる
学問が発展するほど、読む論文に取りかかるためにさえ、先行研究についてのカスタムメイドの知識がますます多く必要になる。一種の事前学習を済ませているという暗黙の前提があり、著者たちはそうした要約を提供する必要はないと感じている可能性が高い。前提知識がないなら、そもそもその論文の対象読者ではないからだ
もちろん一部は単なる自尊心の問題でもある。説明不足が「自分はあなたより上だ」と言う方法のように感じられたことは多い。証拠はないが、驚くことではなさそうだ
だから、もっとインタラクティブな出版形式が欲しくなる。静的な現状を維持すべき十分な理由は理解しているが、本当に容易に分かるのなら、関心のある読者のために折りたためるサイドバーに書いておくことも、それほど難しくはないはずだ
筆者は何かを突いているのかもしれないが、個人的には一般向け科学書の物語モードが嫌いで、実際の科学論文に入ってきたらさらに嫌だと思う。仕事で読む論文であれ、趣味で読む論文であれ、すぐ方程式に行きたいし、グラフより方程式のほうを好むことも多い
ただ冗談ではなく、これは LLM にとって完璧な機会だ。実際、機会は二つある
LLM A は、無味乾燥な論文に文脈を付け加えられる。文脈をでっち上げることもあるだろうが、優れたモデルなら Riemann の生涯から逸話を探して提示する、といった形にできるし、それに問題はないと思う
LLM B は、そうした内容が付いた論文から、私には余計な部分をすべて取り除き、私が味わえる乾いた骨組みだけを残してくれる
結局のところ、より高度な言語翻訳に近い作業にすぎない
ところがこの論文は、完全に「物語モード」の論文である。ある程度教育を受けた人なら、数学をすべて追えなくても、論文を容易に理解し、ついていくことができる。大半の現代論文より流れがはるかによく、現代論文の多くは比較的単純で漸進的なテーマを扱っている
もちろん分野の違いかもしれない。私は主に宇宙論、天文学、物理学に関心があり、そこでは数学は論文そのものの対象というより道具に近い
https://www.fourmilab.ch/etexts/einstein/specrel/specrel.pdf
さらに多くの一般向け科学は、結局その人々を通してアイデアを見るようにさせる。プロの書き手は技術系の人々より人間的な興味に敏感だろうから、それは理解できる
たとえば私が Lego の車両模型キットを初めて受け取ったとき、最初にしたことは小さなフィギュアを「雑多な部品箱」に放り込み、ロボットのようになったモデルを組み立てることだった。多くの文章は「Trinity Device Annotated Systems Manual」よりも「Oppenheimer」に近い
それが間違っているという意味ではない。そちらの読者のほうがおそらく多く、全体としての「効用」も高いかもしれない。私のように文句を言う人間でも、人間的要素を完全に無視してはいけないことは分かっている。さらに、複雑な技術内容を書ける人たちは、中間地帯で格闘したがらない場合が多い
それでも二極化は腹立たしい。人間中心の「物語」か、自分の分野でなければ理解しにくいカラカラに乾いた技術資料しかなく、その中間があまりない
最も些細な結果を除けば、物語は先験的推論を結び付けるうえで、ほかの文脈と同じくらい重要だ。そして計算機科学の多くは実のところ先験的ではないので、その中にあるアブダクション的推論を正当化する議論が必要になる
LLM C はどうだろう。論文集合を頂点として、そのすべての組み合わせからなる抽象単体複体を作り、最も興味深い高次元面 10 個についての新しい論文を吐き出すモデルだ
私が読んだ最高の数学書は William Dunham の Journey Through Genius - The Great Theorems of Mathematics で、誰かの数学への見方を完全に変え得ると思う
この本は数学を人間的・歴史的文脈の中に置く。Hippocrates の月形の求積から始まり、Euclid のピタゴラスの定理の証明へ移り、Euler や Cantor まで歴史をたどっていく
いつもこの本の形式や方法こそが、一般的な意味で数学を教える最良のやり方だと思ってきた。文脈のない公式の反復練習より優れており、同時に数学史と科学史も教えてくれる。学齢期の子どもがいる親たちに、この本をよく贈っている
この本は、本物の一般向け数学書のように数学の歴史と文脈を与えながら、同時に本物の数学書として実際の数学とすべての定理の実際の証明を教える、絶妙な中間地点にある。似た本はいくつかあるが、ほとんどはこの組み合わせをうまく決められておらず、決めている本でもこれほど良くはない
本当に素晴らしい本だ。似た本でさらに薦められるものがあるのか気になる
あり得る反論はいくつかある。数学は以前よりはるかに抽象的で、はるかに専門分化している
数学以外の内容は、英語を読めない人にはアクセス不能だ。学術誌の紙面は非核心的な内容に浪費するには貴重すぎる。そのスタイルは普遍的な数学文化の一部なのだから、それに合わせるべきだ。非技術的な学術文を書く代替の場も多い
「私が提案するコツは、ほとんど目に見えない形で働き、読者に潜在的に影響を与えるだろう」という部分が変に感じる。なぜ数学論文に私を潜在的に操作してほしいと思わなければならないのか？
みんなが YouTube/TikTok を見すぎて、クリックベイトが全員の誠実さを壊す悪循環ではない、という考えを受け入れているように感じる
Lockhart's Lament はずっと好きだった
https://maa.org/sites/default/files/pdf/devlin/LockhartsLament.pdf
数学について書く方法ではなく、数学を教えたり、学んだり、発見したりすることについて、まったく別の論点を述べている
「数学論文を見る人の90%はタイトルだけを読み、そのうち読み進める人の90%はアブストラクトだけを読み、さらに進む人の90%は序論だけを読んでやめる」という話は、私の経験とはかなり違う
私が変わった人なのかもしれないが、特別だとは思っていない。私は主に特定のものを探しているときに論文を読む。議論の中で誰かが教えてくれた場合や、定義や証明を探す場合だ
最初にざっと見るとき、序論はほとんど読まない。たいてい目次を眺めて、自分が探しているものがどの節にありそうかを見つけ、その部分を読みながら定義と定理の間を行ったり来たりする。その後、最後の議論や関連研究を読み、著者たちが自分たちの方法や関連論文をどう見ていて、何を好み、何を嫌っているのかを見る
アブストラクトと序論は、そうやって論文を何度か眺めた後、本当に興味が湧いて細部をすべて理解する必要があると感じたときに読む
「冒頭で目を引け」と、その極端な形である読者エンゲージメント追求が大嫌いだ。もちろん文章や伝えるストーリーには気を配るべきだ。しかし科学論文の読者を、惹きつけなければならない忙しい消費者のように扱うのは無礼で、科学的に非倫理的であり、現在の構造的問題を覆い隠そうとする対応である可能性が高い
科学文献は技術文献であり、品質は明瞭さと精密さ、検索しやすさ、一般化しやすさ、トレードオフに対する誠実さで評価すべきだ。くそったれなアブストラクトのエンゲージメント指標で評価するものではない
その関門を越えると、クリエイターは創作に特化し、マーケティングはエリートに任せた。エリートは市場性があると考えることをやるようクリエイターに圧力をかけたが、クリエイターにはある程度の交渉力があり、少数のエリートは良いものを作ることに実際に関心があったため、常に通用したわけではなかった
今は門番が減った代わりに、全能のアルゴリズムがある。クリエイターは創作に加えて自己マーケティングも自分でしなければならず、アルゴリズムとは交渉できない
その結果、くだらない YouTube サムネイルや、息せき切って「最先端」を主張する大量の学術論文が生まれる
トレードオフはあるが、私たちが創作よりもマーケティングに報酬を与えるよう、どれほど効果的に変わってきたかには気づく価値がある
以前、ほとんどの論文は序論を大幅に短くし、主要なレビュー論文や教科書の項目を参照するように、というコラムを読んだ記憶がある。私は論文を通したいのでその助言に従ったことはないが、利点は多いと思う
重要なのは、基礎的な内容をおざなりに形式的に要約して示すのではなく、まとまりがあり引用もしっかりした説明へ読者を導くことだ。そうした中途半端な要約が、とりわけ洞察に富んでいる可能性は低い
この方式に従う分野なら、実際に読まれる有用なレビュー論文が蓄積される可能性が高い。従来の序論に出てくる、使い捨ての引用とは違う
読者にとってこの方式は役に立つだろうか？ そう思う
だが広く普及するだろうか？ その可能性は低そうだ。このコラムを10年か20年ほど前に読んだが、学術文章の変化は感じられなかった。むしろ逆だ。他の論文の序論を事実上使い回した序論が、ますます増えている
LLM ツールによって、これはさらに悪化するだろう。序論が著者の実際の研究関心から離れるほど、無関係だったり、誇張されていたり、単に間違っていたりする可能性が高くなる
研究の一環として数学/暗号学の論文をよく読まなければならないが、私は数学者でも暗号学者でもないので、かなり苦痛だ
おおむね自分が対象読者ではないからだと思っているが、多くの論文は理解を実際に伝えようとする試みというより、「著者がこれを理解したことの証明」に近く見える
プログラマーが不必要にコードを最適化したり、コードゴルフをしたりする姿を思い出す。そう、非常に賢いのはわかるが、今となってはそのコードが何をしているのか私には理解できない