- Srinivasa Ramanujan が1919–1920年の生涯最後の年に残した原稿で、死後数十年にわたり行方が分からなくなっていたが、1976年に George Andrews が Trinity College Cambridge の Wren Library で再発見した
- 原稿は本ではなく、ばらばらの紙を束ねたものに近く、600を超える数学公式が証明なしで連続して書かれており、後世の研究者たちが検証と証明を引き継いだ
- 資料は University of Madras、G. H. Hardy、G. N. Watson の遺品を経て1968年に Wren Library に戻り、整理されていない書類の中から焼却直前に発見された経緯がある
- George Andrews と Bruce C. Berndt は、2005年から2018年まで複数巻の書籍を通じて、ノートにある Ramanujan の公式の証明を出版した
- 中核となる数学的対象は q-series と mock theta functions であり、一部の mock theta functions はブラックホールのエントロピー計算にも有用であることが確認されている
原稿の性格と規模
- ラマヌジャンの失われたノートは、インドの数学者 Srinivasa Ramanujan が1919–1920年、生涯最後の年に記録した数学的発見の原稿である
- 「ノートブック」という名前とは異なり、製本された本ではなく、ばらばらで未整理の紙から成る
- 138面に書かれた100ページ超の分量である
- Ramanujan 特有の筆跡で書かれている
- 600を超える数学公式が証明なしで連続して列挙されている
- George Andrews と Bruce C. Berndt は、ノートに含まれる Ramanujan の公式の証明を複数巻の書籍として出版した
- 出版年は2005、2009、2012、2013、2018年である
- Berndt は、この「Lost Notebook」の発見が数学界に与えた衝撃を、音楽界で Beethoven の交響曲第10番 が発見されたときの波紋になぞらえた
死後の原稿の移動
- Ramanujan は1920年4月26日、32歳で死去した
- 死後、Ramanujan の妻は彼のノートを University of Madras に渡した
- 1923年8月30日、登録官 Francis Drewsbury はこの資料のかなりの部分を、Ramanujan の Trinity College における指導者だった G. H. Hardy に送った
- Hardy はこの過程で失われたノートの原稿を受け取った可能性がある
- 原稿はほぼ確実に、Ramanujan がイギリスからインドへ戻った後、生涯最後の年に書かれたものと考えられている
- 序文や同封書簡はない
- 原稿内には言葉がほとんどない
- 一部に分類者の記号と、Hardy の筆跡と思われる短いメモがある
- 失われたノートで最も有名な対象は mock theta functions である
Watson 資料の中から Wren Library へ
- 1934年から1947年の間のある時点で、Hardy は原稿を G. N. Watson に渡した可能性がある
- Watson は B. M. Wilson とともに Ramanujan のノート編集プロジェクトを始めた
- Wilson は1935年に死去した
- Watson は1930年代後半にこのプロジェクトへの関心を失ったようである
- Watson が1965年に死去した後、J. M. Whittaker が Watson の書類を調べた
- Watson の書類はひどく散乱しており、部屋の床を1フィートの深さで覆っていた
- 数日後に焼却される予定だった
- Whittaker は偶然 Ramanujan のノートを発見した
- Whittaker と R. A. Rankin は1968年12月26日、このノートを Trinity College Wren Library に送った
George Andrews による1976年の再発見
- George Andrews は1976年春、Trinity College 訪問中に失われたノートを発見した
- Andrews は2012年に Ramanujan 生誕125周年を記念して、この発見についての記録を残した
- 1970年、Andrews は研究休暇を前にイギリスの数学者 Lucy Slater に手紙を書いた
- Andrews は当時、mock theta functions や hypergeometric series など、Ramanujan の研究に近い分野を研究していた
- Slater は Watson、Bailey、Jackson、Rogers らの未整理の論文を引き継いでおり、その中に Ramanujan の最後の論文の一つがあると返答した
- Slater は、ほかの資料が Trinity College library にもあると付け加えた
- Andrews は1970年にはヨーロッパへ行けなかったが、1976年に Strasbourg の European conference 参加を機に Cambridge を訪れることが可能になった
- Slater、Trinity College library、自身の教授 Ben Noble の許可と支援を得て、Watson らの未発表原稿を調査した
- Noble は、James Clerk Maxwell の失われた論文も見つかるとよいと付け加えた
- 図書館文書の Watson 遺品目録には、「S. Ramanujan の q-series に関する139ページの原稿」という項目があった
- 原稿には明示的な表紙はなかったが、Ramanujan が Hardy に送った最後の手紙で mock theta functions の発見に触れており、原稿内にも関連ノートと思われる内容があったため、その正体が確認された
数学的内容と出版
- Rankin は1989年に失われたノートを詳しく記述した
- 公式の大半は q-series と mock theta functions に関するものである
- 約3分の1は modular equations と singular moduli に関する公式である
- 残りの公式は主に integrals、Dirichlet series、congruences、asymptotics に関するものである
- ノートの mock theta functions は、black holes の entropy 計算に有用であることが確認されている
- 原稿は1987年12月22日に Narosa publishing house から出版された
1件のコメント
Hacker Newsのコメント
GNU/Linuxのような自由・オープンソースソフトウェアの特徴であるオープンさにならって、この本もスキャンして誰でも見られるように公開されるとよいと思う
自由ソフトウェアと同じように、数学も世界のものだと考えている。大学がRamanujanの仕事の多くを出版していないと聞いたが、本当なら残念だ。公開されれば、Terence Taoのような人物がYitang Zhangの仕事を改良したように、形式的な証明を付けられるかもしれない
たとえば適当に開いても、第3巻第6章は「189ページと182ページの分割関数に関する定理」という章で24ページを占め、実際に形式的な証明も含まれている。原本のスキャンもオンラインにある: http://ramanujan.sirinudi.org
正直、その2つを同じものと見ているようで、かなり不快だ
未来のAIモデルはRamanujanのようなものになると予想している。すさまじい直観はあるが、解に到達した推論を正確には説明できない、という形だ
彼はノートに書かなかったし、英国に行く前は形式的証明の言語もおおむね身につけていなかったが、方程式の大半は論理的な順序で並べられている。Hardyに会ったときも、それぞれの方程式がどこから来たのか説明するのに困ることはなく、ただその推論のかなりの部分がHardyから見ると厳密さを欠いていただけだ
無神論者だが、Ramanujanが自分のすべての公式を神から得たと言うとき、反論したいというより、どうすれば彼に神の声をもっとよく聞かせられるのかを問いたくなる
「モンスター群の性質の専門家であるSimon P. Nortonは『Monstrous Moonshineが何かを一文で説明できる。それは神の声だ』と言った」と引用されている
https://en.wikipedia.org/wiki/Monster_group#Moonshine
エネルギーのある物理的宇宙の中にいるなら、創造主のような神は存在の原理そのものを「創造」し、その上でエネルギーとともにすべてが進化したのだと主張できる。では、その原理とは具体的に何なのか。現代物理学はすでにそのほぼすべてを明らかにしている
ある存在が、虚偽の影響力を機能的に捨てたり逆らったりできるようになったら、その存在には何が残るのか。適切に統制された条件のもとで、より真実であるほど「ありのままのもの」をよりよく知覚するのか、それともより知覚しにくくなるのか
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Srinivasa_Ramanujan
「Personality and spiritual life」の節を見ればよい
答えは「宇宙の外」や「神」から来るように感じられるが、実際には非常に特定の機能のために高度に最適化され、効率化された脳の一部なのだと思う。その狭い機能については、脳がIQ 2000くらいで動いているように機能する。私たちの脳の平均的な知能ははるかに低いため、答えをどう見つけたのか理解する文脈がなく、それでそれを直観として経験し説明する
脳全体がIQ 2000で動作していたなら、直観や天才的なひらめきとは感じず、ただ「解けた」と言っただろう
Ramanujanについて読んだ限りでは、一種の高機能サヴァン症候群があったように聞こえる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Savant_syndrome
Wilsonは1935年に亡くなり、Watsonは1930年代後半にこのプロジェクトへの関心を失ったようだ。1965年にWatsonが亡くなった後、J. M. Whittakerが数日後に焼却される予定だった散乱したWatsonの論文を調べていたところ、Ramanujanのノートを発見したというくだりが印象的だ
ここにはコメントはあまり多く付かない気がする。これらの公式は複雑で、20世紀後半に1人の人物がそのかなりの部分を再導出するのに時間がかかった
彼には一緒に作業した大きな共同研究者・学生のネットワークがあり、もちろん多くの独立研究者もRamanujanの公式の一部を導出している。彼の本には関連する帰属と歴史がすべて収められている。UIUCの博士課程にいたとき、彼とはよく話し、授業も受けた
ランダムなRamanujan投稿生成器があるように感じることがある。毎日cronジョブで動いていて、一定の確率で彼に関する何かを投稿するようなものだ
Dunning-Kruger効果のように、特定の話題は驚くほど着実に再浮上する。なぜなのだろうと思うほどだ