リーマン予想に関する注目すべき進展

 (mathstodon.xyz)
1 ポイント 投稿者 GN⁺ 2024-06-05 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • Guth と Maynard がリーマンゼータ関数の零点に関する Ingham の 1940 年の境界を初めて実質的に改善したが、リーマン予想そのものの解決にはまだ程遠い
  • 中心的な対象は、実部が σ 以上で虚部の大きさが T 以下の零点の個数 N(σ,T) であり、σ=3/4 における従来の境界は 80 年以上にわたり大きな進展がないまま残っていた
  • 新しい結果では、σ=3/4 における境界を 3/5=0.6 から 13/25=0.52 に引き下げ、N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} の形の零点密度評価を与える
  • この改善により、ほとんどすべての短区間 (x, x+x^θ) において素数定理を証明できる範囲が θ > 1/6 から θ > 2/15 へと広がる
  • 今回の結果は、「中程度のリーマン予想違反が多数ある」可能性をより強く制限するが、単一の大きな違反を排除する 零点のない領域 (zero-free region) の進展ではない

Guth–Maynard が改善した零点密度境界

  • Guth と Maynard の論文 New large value estimates for Dirichlet polynomials は、ディリクレ多項式が大きな値を取る頻度について新しい境界を証明している
  • とくに長さ N のディリクレ多項式が N^{3/4} に近い大きさを持つ臨界的状況を扱っており、これは素数とリーマンゼータ関数に結びついた複数の解析的整数論の評価におけるボトルネックだった
  • N(σ,T) は、リーマンゼータ関数の零点のうち、実部が σ 以上で虚部の絶対値が T 以下の零点の個数を意味する
    • リーマン予想は、すべての σ > 1/2 に対して N(σ,T) が 0 になるという形で見ることができる
    • 現時点ではこれを無条件に証明できないため、代わりに N(σ,T) の非自明な上界である 零点密度評価を証明する

80 年以上行き詰まっていた Ingham 境界

  • σ=3/4 は今回の問題で中心となる値として機能する
  • Ingham は 1940 年に N(3/4,T) ≪ T^{3/5+o(1)} という境界を得た
  • その後 80 年のあいだ、この境界は実質的に改善されず、主に o(1) 誤差項の小さな精緻化だけが続いていた
  • この限界は解析的整数論のさまざまな問題を制約してきた
    • ほとんどすべての短区間 (x, x+x^θ) で良い素数定理を得るには、長らく θ > 1/6 の範囲にとどまらざるをえなかった
    • 主要な障害は Ingham 境界の改善がなかったことだった

新しい数値が素数の短区間結果につながる

  • Guth–Maynard は Ingham 境界を 3/5=0.6 から 13/25=0.52 へ改善した
  • 論文には N(σ,T) ≤ T^{30(1-σ)/13+o(1)} の形の零点密度評価が含まれている
  • 素数の短区間については、長さ x^{17/30+o(1)} の区間での漸近式を導いている
  • ほとんどすべての短区間 (x, x+x^θ) に対する素数定理の範囲もあわせて改善された
    • 従来: θ > 1/6 = 0.166...
    • 改善後: θ > 2/15 = 0.133...
  • リーマン予想が真なら、この範囲は全体の θ > 0 まで可能になる

証明で用いられた意外な操作

  • 論証は全体として フーリエ解析 的な性格を持つ
  • 初期段階の一部は標準的で、Ingham 境界を破ろうとしてきた解析的整数論研究者にはなじみのある形になっている
  • その後はいくつもの直観に反する選択が重要な役割を果たす
    • 位相行列 n^{it}=e^{it log n} を 6 乗して制御する
    • ある複雑なフーリエ積分を stationary phase で単純化せず、指数面で不利を受け入れつつも後で有用になる 因数分解の形を保つ
    • ディリクレ級数が大きな値を取る位置の additive energy が小さいか、中程度か、大きいかによって場合分けし、それぞれ異なる論法を適用する
  • ディリクレ級数に内在する位相関数 t log n の正確な形がきわめて重要になる
  • これは調和解析の一般的な指数和ではなく、解析的整数論に現れる指数和の特殊性を活用するやり方である

零点密度と零点のない領域は別物

  • 今回の結果は、リーマン予想の「やや悪い違反が多数ある」可能性を減らす助けになる
    • この種の改善は、短区間における素数の理解にとくに有用である
  • しかし、リーマン予想の「単一の非常に悪い違反」を新たに排除するものではない
    • そうした排除を担うのが 零点のない領域である
    • 長い区間における素数の理解では、零点のない領域が中心的役割を果たす
  • 知られている最良の漸近的な零点のない領域は、依然として Vinogradov–Korobov zero-free region である
    • この表記では、σ ≥ 1 - log^{-2/3-o(1)} T なら N(σ,T) は完全に消える
    • この結果も 1958 年以降ほとんど動いていない
  • q-aspect では、L-関数の Siegel zero を取り除くことも、零点のない領域の観点で大きな突破口となる
  • 図式的な観点では、既知の指数 θ(σ) が低いほど良い境界を意味する
    • Guth–Maynard の新しい曲線は、σ=3/4 付近で Ingham 境界と Huxley 境界のうち良いほうよりも改善されている
    • しかしこの範囲では、まだ density conjecture には到達していない
    • リーマン予想は図全体を x 軸まで下げることに相当する

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1件のコメント

 
GN⁺ 2024-06-05
Hacker Newsのコメント

  • JavaScriptで作られたゼータ関数の可視化があり、無限にズームでき、パラメータもいじれる: https://amirhirsch.com/zeta/index.html
    この仮説がなぜ真である可能性が高いのかを直感的に理解する助けになるかもしれない。部分和をレンダリングし、ゼータの軌跡を追跡している
    レンダリングでは、自動計算された N-critical までのすべての部分和を含んでいる。これは2つの項の位相差がπより小さくなる点、つまりナイキスト限界に相当する。その後の部分和の挙動は単調になる
    クラスターは、項の瞬時周波数がkπと(k+1)πの間にあるときに前後に動くエイリアシング・モードのように見え、ランダムウォーク区間はエイリアシング・モードごとに点が1つしかない領域である。緑の線は部分和の対称性を強調しており、クラスターがランダムウォーク区間と対称性を保っている。この対称性はこの論文によく整理されている: https://arxiv.org/pdf/1507.07631

    • 数年前、リーマン予想について直感的な信号処理的解釈を思いついた。簡単にまとめると、ゼータ関数は対数時間サンプラーと見なせる
      zeta(s)は、正の整数 n>0 に対して t=(ln n) の時点でサンプリングする sum(delta(t-ln n)) のラプラス変換であり、サンプリング速度は急速に増加する
      これはブラックボックスから出てきたインパルス応答として想像でき、実部パラメータによってインパルス応答は有限エネルギーにも電力信号にもなり得る。エネルギー sum(|1/s|^2) が有限、つまり real(s) > 1/2 だと仮定すると、リーマン予想はその和が0ではないと言っているようなものだ。対数サンプラーが電源もつながずに情報を破壊できるはずがない、という話に近い
    • 自分も作った。自分のは Unity で作っていて、Y軸方向に上っていく3Dらせんを表示する
      3次元で見ると助けになると思う: https://github.com/atonalfreerider/riemann-zeta-visualization
    • わあ、あなたのものは自分のよりずっと格好いい: https://matt-diamond.com/zeta.html
      それでも、これだけ多くの人がこれに挑戦しているのは面白い。結果も見栄えがよく、楽しいプログラミング練習課題でもある
    • グラフを描くときに実際に使っている公式が何なのか気になる
    • このテーマを分かりやすく消化できる良い資料はあるだろうか？

  • James MaynardはNumberphileによく登場するので、この論文の著者の1人から親しみやすい数学解説を聞きたいなら見てみる価値がある: https://www.youtube.com/playlist?list=PLt5AfwLFPxWJdwkdjaK1ogByEGiVHdEnM

  • たいていの動画より深く踏み込みつつ、STEM専攻者なら手が届くリーマン予想の入門資料を探しているなら、zetamathのこの動画シリーズは本当に良かった
    Tao教授の原文も「位相の核心行列を制御する」という部分まではすべて理解できたので、動画が何かを教えてくれたのは確かだ
    [1] https://www.youtube.com/watch?v=oVaSA_b938U&list=PLbaA3qJlbE93DiTYMzl0XKnLn5df_QWqY

  • Terence Taoが、自分も似たことを試みたが失敗したと言いながら、あなたの論証を要約してくれるのはどんな気分だろうと想像してしまう
    「論証はおおむねフーリエ解析的な性格を帯びている。最初の数段階は標準的で、私を含め、Ingham境界を破ろうと試みた多くの解析的整数論者には見覚えがあるだろう。しかし彼らはいくつもの巧妙で予想外の手を打っている」

    • ある最高レベルの数学者が試して失敗した手法を、別の数学者がうまく使うことはごく普通にある
    • 個人的に会ったことはないが、Taoの文章はとても謙虚で親切だ。何かを試してうまくいかなかったことも公に語っている
      また、道具とその限界についても普段から多く書いている。彼のブログを読んでみることは間違いなくおすすめする
    • 論文著者のうち2人は、すでにその分野でかなり確固たる地位にいる
      [0]: https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth
      [1]: https://en.wikipedia.org/wiki/James_Maynard_(mathematician)
    • 本物の能力主義のように感じられそうだ。特に厳格な順位付けが標準ではない場所では、Terence Taoも自分を何かの「頂点」にいるとは見ていないだろう
      さらに言えば、誰かの行動が評判と必ず相関するとは期待しない、しっかりした基盤と理解を意味しているのかもしれない。成果を出すことが人気競争ではなく、個人または厳密なチームの努力である場合は特にそうだ
      政治が支配し、能力主義は気分の良い動機付けの文句にすぎず、人気が実際の通貨になる一般的なビジネス、大企業、VC、学術界の環境で活動する人には、なじみが薄いかもしれない

  • 2018年に提案された証明に関連して、その潜在的な重要性を説明したこの記事は、有用な入門資料だった
    [1] https://www.sciencenews.org/article/why-we-care-riemann-hypothesis-math-prime-numbers

    • 証明の潜在的な重要性が気になる。この記事はやや曖昧だ:

      （素数は）インターネット上で送信される暗号化通信を保護するうえで重要だ。そして重要なことに、数多くの数学論文がリーマン予想を真であると仮定している。この基礎的な仮定が正しいと証明されれば、「真だと信じられている多くの結果が、真だと知られることになる」と、アトランタのエモリー大学の数学者 Ken Ono は言う。「一種の数学的な神託だ。」
      リーマン予想の証明がただちに実用的な効果をもたらす、明確で既知の応用はあるのだろうか？ 満足感や「少し良い暗号化」を超えた話として

  • 面白い事実: 著者の一人である Larry Guth は、インフレーション宇宙論で有名な理論物理学者 Alan Guth の息子である（https://en.wikipedia.org/wiki/Larry_Guth）

  • リーマン予想を排中律として扱い、それに依存しているすべての定理についてどう考えるべきか気になる
    構成主義者は、「A または B」の証明には、実際に A の証明か B の証明を持っていなければならないと考え、排中律を拒否する。ところが、まだ誰も RH の証明も、~RH の証明も持っていない
    これは、一部の定理が証明も反証もされない、いわゆる不完全な論理体系では重要であり、そのような体系では排中律は許容できない公理となる

    • それは少し別の問題では？ 証明可能性と真理は区別される、というのが要点だと思っていた
    • こういう論理を聞いたことがある:
      RH がどちらの側にも証明不可能なら、RH の反例は確実に存在しえない。反例があれば、それを見つけて RH が偽であることを証明できるからだ
      したがって、RH が証明不可能なら真でなければならない。ただしこれは、RH が機能する論理体系の外側の論理を使っているように思える

  • このコメント欄は、この話題を実際には理解していないのに賢く見せようとして、むしろ逆効果になっている人たちで妙に埋まっている
    不安を手放すといい。分からないことは分からないと正直に言っても大丈夫だ。誰にでも、理解していることより理解していないことのほうが多い

    • フラグされたコメントが一つあるのを除けば、コメントはかなり深くて興味深いと思う。リーマンゼータ関数の素晴らしい可視化デモもある:
      https://news.ycombinator.com/item?id=40571995#40576767
      むしろあなたのコメントのほうがかなり見下しているようで、意味のある貢献というより投影のように感じる
    • このコメント欄だけなのか？

  • 数学者ではない人向けに説明してもらえる？

    • 数学で最も重要な未解決問題の一つがリーマン予想だ。特定の方程式 zeta(z)=0 の解がすべて、ある特定の形を持つという内容である
      現存するほぼすべての数学者が、人生のどこかの時点でこれを解こうとしたことがあるほどだ。この予想は、たとえば素数の分布のような整数論に深い含意を持つ
      最近の論文で、何人かの数学者が、それらの解がどこにありうるかについて、より強い境界を示したと主張している。リンク先の記事では、現存する最高の数学者の一人である Terrence Tao がその論文を非常に高く評価している
      個人的には、まだ数学者でない人にとって大きな関心事になる段階ではないと思う。きわめて技術的な結果であり、追加の検証過程で誤りや不完全さが見つかる可能性もある
      リーマン予想とその含意、そしてそれを解こうとする試みについて読める資料はたくさんある
    • Indiana Jones and the Last Crusade を思い浮かべればいい。まだ部屋の中に入ったわけではないが、神殿内の罠を一つ解除した状態だ
    • 背景知識としては、この動画がリーマン予想の概要をよく説明している: https://www.youtube.com/watch?v=d6c6uIyieoo
    • N より小さい素数の個数が、N が大きくなるにつれておおよそどれくらいになるかについての近似式がある
      リーマン予想が真なら、この近似の誤差がよく制御されて小さいことが分かり、それによって他の多くの近似結果を証明できる。「リーマン予想が真なら……」という形の結果がたくさんある
    • Prime Obsession は、数学の背景を前提としない、リーマン予想と Riemann 本人についての優れた一冊分の入門書だ

  • タイミングがいい。ちょうど Matt Haig の The Humans を聴いているところで、物語は誰かがリーマン予想を証明した後から始まる