レゴでオーラリー（Orrery）を作る
(marian42.de)- Lego Technicが機能重視の機械モデルから離れていく流れの中で、太陽・地球・月の運動を示すレゴ部品のみのオーラリーを自ら設計した
- 基本機能はJK Brickworksの2016年デザインに近いが、地球の自転軸の傾きや月軌道の傾きまで機械的に表現しようとした点が設計を複雑にした
- 実際の23.5°に近い22.5°の angled connector で地球軸を作り、実際にはほとんど見えない月軌道の5.15°の傾きは日食・月食の説明のために誇張して実装した
- レゴでは伝統的なオーラリーのように複数の管を重ねて独立回転軸を作るのが難しいため、Technic axle、turntable、circular gear rack、Differential Gear Casing を組み合わせて4本の同心回転軸を構成した
- 最終設計は70個のギアと264ページ・436手順の組み立て説明書まで備えたが、摩擦・部品コスト・組み立て難度が高く商業的には制約があり、CaDAのより単純なオーラリーのほうが幅広いユーザーに適していると見ている
Lego Technic オーラリーの目標
- オーラリーは天体の公転周期と自転周期の関係をモデル化する科学機器である
- たとえば月が地球を一周する時間は、地球が自転軸を一回転する時間のおよそ27倍である
- オーラリーはこうした周期関係を正確にモデル化するが、天体間の距離や相対的な大きさはモデル化しない
- 2016年のJK BrickworksによるEarth, Moon and Sun Orreryデザインが出発点になった
- 初期設計では太陽・地球・月の球体は同じものを使い、内部メカニズムは自作する方式だった
- 3Dプリント治具の実験を経た後、最終的にはレゴ部品のみを使うオーラリーへ移行した
- 基本モデルは次の運動を実装する
- 地球の太陽公転
- 月の地球公転
- 太陽・地球・月の自転
- 月は地球に潮汐固定されているため、公転1回につき自転も1回行う
- 月を正しい公転周期で地球の周りのアームに取り付ければ、回転周期も自然に一致する
地球自転軸の傾き
- 地球の自転軸は公転面に対して**23.5°**傾いている
- オーラリーでは地球軸は単に上を向くだけでなく、常に同じ方向を指さなければならない
- 軸は星空やオーラリーが置かれたテーブルを基準に回転しない
- 地球を保持する部品は、メインアームの回転を打ち消すように相対回転する必要がある
- この機能があると、オーラリーで季節の原因を説明できる
- 実際の地球ホルダーには22.5°角の angled connector を使用している
- 実際の23.5°との差は1°である
月軌道の傾きと交点歳差
- 月の軌道面は地球の公転面に対して傾いており、実際の傾きは**5.15°**である
- 実際の角度のままモデル化するとほとんど目立たないため、日食や月食の説明に役立つよう誇張した軌道傾斜を実装した
- 月は地球の周りを回りながら上下に動く必要がある
- 月アームの車輪が傾いた circular gear rack の上をたどる
- 平行四辺形リンクが月を垂直整列の状態に保つ
- この組み立ても星を基準に固定される必要があるため、メインアームに対して相対回転しなければならない
- 地球アーム上で正しい速度で回転しなければならない部品は4つある
- 地球
- 地球自転軸の向きを維持する地球支持部
- 月
- 月軌道傾斜リング
- 理論上は地球支持部と月傾斜リングは同じ速度で回転するので、1つの部品にできる
- しかしレゴ部品で傾いたリングを作り、月がその上を走りながら外部から駆動される方式は実現できなかった
- そのため月軌道傾斜リングを別個の組み立てとして分離した
- 傾いたリングを独立して動かせるため、月軌道のノードが18.6年ごとに一周するprecession of the nodes of the orbit of the moonも再現できる
レゴで同心回転軸を作る
- 伝統的なオーラリーでは、サイズの異なる管を内側から重ねて同じ軸に複数の独立回転を入れられる
- レゴにはそのような管状部品がないため、地球-月サブアセンブリに独立回転する4本の軸が必要だった
- 実装方法は次の通り
- 1本目の軸は通常のLego Technic axleで、地球の自転を駆動する
- 2本目の軸は Lego Technic turntable で、月の公転を担当する
- 3本目の軸は circular gear rack で、内部にさらに turntable を入れられるほど半径が大きく、月軌道傾斜リングの役割を果たす
- 4本目の軸は地球支持部で、地球自転軸が一定方向を向くように1つ目の turntable の上に2つ目の turntable を重ねて実現する
- Differential Gear Casing には両端にギアがあり、中央の丸い穴に軸を通して独立回転させられる
- レゴにない管の役割を一部代替する
- ギアケーシングが1つ目の turntable のギアを駆動し、そのギアがさらに2つ目の turntable を駆動する
ギア比とレゴギアの制約
- 地球-月サブアセンブリでは、地球、月、地球支持部、月傾斜リングの4本の軸が正確な周期で回転しなければならない
- オーラリー全体にはこれに加えて2本の軸がある
- 太陽の自転
- 地球が365.25日で太陽を一周するようにするメインアームの回転
- 太陽は固体ではないため、緯度によって自転速度が異なる
- この設計では24〜38日の間のどの自転周期でも、その緯度における太陽表面の回転とみなせる
- クランク1回転が1日に相当する
- メインアームを365.25日で1回転させるには、クランクとメインアームの間のギア列の伝達比が365.25にできるだけ近くなければならない
- ギア列のギア比は、各ギア対の歯数の分数の積である
- レゴギアでは使用可能な歯数が限られている
- worm gear は1歯のギアのように動作し、24歯ギアとかみ合わせると1:24の伝達比を作れる
- worm gear は駆動ギアとしてしか使えず、従動ギアにはできない
- 伝統的なオーラリーなら17歯と23歯のギアで17:23の伝達比を簡単に作れるが、該当するレゴギアがなければ別のギア列を見つける必要がある
ギア列探索ツール
- 所望の伝達比に合うレゴのギア列を探すために、ギア計算ツールを作成した
- 17/23 の例では、目標との差が0.22%の 20/27 のような近似解を見つけられる
- ギア列探索問題は素因数分解と密接に関係している
- 正確な解は、目標伝達比のすべての素因数が使用可能なギア歯数の素因数としても存在する場合にのみ得られる
- ツールは目標の分数または近似分数から始め、使用可能なギアの素因数で作れる拡張分数を探索する
- 各分数について、分子と分母を積として構成できるギア列を計算する
- レゴではどの駆動ギアと従動ギアを組み合わせるかも重要である
- 2つのギアの歯数の和が16の倍数なら、軸間距離がレゴ単位の整数になり最も作りやすい
- 歯数の和が8の倍数なら、半単位オフセットで実装できる
- 「Fit gears」タブは特定のギア対を接続する方法を示す
n * 8 + 4歯を持つ Lego bevel gear は垂直接続が可能で、メカニズムの平面を変えられる
- ツールはギア対の接続難度に応じてコストを与え、Hungarian algorithm で最小コストのマッチングを求める
- レゴの differential gear は、接続された2本の軸速度の平均速度でケーシングが回転する
- 一方の軸が毎秒1回、もう一方が毎秒3回回るなら、ケーシングは
(1 + 3) / 2 = 2回転する - レゴギアには13の倍数の歯数がないが、入力速度1と25の平均を取れば
(1 + 25) / 2 = 13となり、伝達比13を作れる
- 一方の軸が毎秒1回、もう一方が毎秒3回回るなら、ケーシングは
- ギア計算ツールは marian42.de/gears で利用でき、Typescript のソースコードも公開されている
最終メカニズムと摩擦
- 最終的なオーラリー設計には70個のギアが入っている
- 設計は主に実物の部品とギア列アプリを併用して進めた
- 大きな難題は単に動作させることだけでなく、滑らかに動かせるようにすることだった
- ギアが1つ増えるたびに摩擦が少しずつ増える
- 地球は比較的速く回転し、重さもあるため必要トルクが大きく増える
- 可動部がきつく組まれすぎたり、オーラリーにほこりがたまったりすると簡単に引っかかる可能性がある
- 組み立て時にはすべての可動部にわずかな遊びを持たせることが重要である
- シリコンスプレーを少量使えば問題なく軽く動く
- ただし、レゴセットはそれ自体でどれだけうまく動作するかで評価すべきだという基準では、接着剤を使うのと似たものと見なせる
台座設計とモーターの撤去
- 最初に全体メカニズムが動作したときの台座には、オーラリーを駆動するLego motorが入っていた
- モーターは動作時の騒音が大きく、使用体験を損ねた
- オーラリーは天体力学の現象を説明・実演するためのものとして構想された
- モーター音のせいで会話が難しくなり、最終的に取り外した
- 台座設計は技術的問題よりも芸術的問題のほうが大きかった
- 最終的な台座は12分割デザインを採用した
- 12か月を示唆し、オーラリー設計の伝統にもつながっている
- 台座は動かないため、主に Bricklink Studio でデジタル設計した
- 12重対称のため、1つのアイデアを試すにも多くの部品が必要だった
- 各台座デザインには、駆動機構をメインアームから切り離す小さなレバーがある
- このレバーを使うとアームを自由に動かせるので実使用で便利である
組み立て説明書と販売
- Bricklink Studio でオーラリーのデジタルモデルを作り、実部品の組み立てとデジタル設計を行き来しながら作業した
- 同じプログラムでデジタル組み立て説明書も作成した
- 小さなモデルにはよく合うが、大きなモデルでは使い勝手に問題が多い
- モデルを修正したり説明書の前段階が変わったりすると、複数箇所のレイアウトが崩れて大半を作り直さなければならないことが多い
- 最終説明書は264ページ、436手順のPDFになった
- デジタル説明書は Rebrickable で20€で販売している
- Rebrickable は部品一覧と部品調達ツールを提供する
- 所有しているレゴセットや部品を入力すると、必要部品のうち既に持っているものを把握できる
- 足りない部品の購入も支援してくれる
- Rebrickable の必要部品総コスト見積もりは**260€**である
- 説明書代まで含めると、購入希望者にとってかなり高価なプロジェクトになる
- 説明書は数部売れたが、商業的には成功しなかった
- 振り返ると、説明書は無料公開したほうがよかったかもしれない
- 宣伝用に、オーラリーのギアの動きを示すアニメーションも制作した
- Mecabricks で Bricklink Studio のデザインを3Dメッシュ付きのシーンファイルに変換した
- Blender でアニメーションとカメラワークを作成した
- 部品数が多いため工程は複雑になった
- アニメーションの45秒地点で構造部品が消え、メカニズムが現れる
部品数を減らした設計
- 元の設計は妥協の少ないレゴ製オーラリーを目指していたため、その代償として部品数が多く、入手しにくい部品も含まれていた
- その後、台座を再設計して部品数を減らしたバージョンを作成した
- 新しい台座はより軽く装飾が少なく、従来のブロックではなく Technic 部品を使用している
- クランクも2つから1つに減った
- 部品調達を容易にするため、Lego Rough Terrain Crane の部品をできるだけ多く使うように変更した
- このセットは評価が高く、部品単価が低く、多くの人が所有していることから選ばれた
- ただし Lego は現在このセットの販売を終了している
- 最初の設計は、ギア・ピン・アクスルが主にグレーと黒で構成される伝統的な配色体系を使っていた
- この配色体系は過去のレゴで使われており、ファンに好まれることが多い
- 新しい設計は現在の Lego 製品の色を使用している
- 部品をより入手しやすくでき、赤いクレーンセットからも多く流用できる
- より多彩なパレットは組み立て説明書を追いやすくするが、オーラリーでは不自然に見えることもある
CaDA と Lego オーラリーの比較
- このオーラリー説明書は2021年9月に公開された
- 2022年、CaDA は JK Brickworks が設計した Orrery を発売した
- JK Brickworks は2016年の Lego オーラリーデザインによってこの趣味への関心を持たせてくれたデザイナーである
- 機能は似ているが、月軌道の傾きはモデル化していない
- この機能を省くと複雑さが大きく下がり、はるかに単純で安定した設計が可能になる
- 部品数が少ないため、より幅広いユーザーに届けやすい
- オーラリーを作りたい人にとって最良の製品だと評価している
- 2024年、Lego は自社製オーラリーを発売した
- CaDA の設計と同様に、地球自転軸の傾きと月の公転はあるが、月軌道の傾きはない
- CaDA より部品数は少ないが、価格は高い
- 部品数をあまりに攻めて減らしたため、オーラリーが弱くぐらつくと評価している
- 太陽と地球にはカスタム半球パーツを使い、完全な球体にできる
- しかし接続穴が目立ち、外観を損ねている
- 地球には大陸が印刷されているが、そのモデルでは印刷位置の整合がよくなかった
- 全体として、Lego 製品より CaDA のオーラリーを勧めている
- CaDA や Lego のような企業がさらに精巧な設計を出すことを期待しており、ブロック式オーラリーがより大きなユーザー層に届くことを前向きに捉えている
今後のアイデア
- すべての惑星を垂直積層なしでモデル化するアイデアのモックアップもある
- 内惑星を除けば、ほとんどが平面設計である
- 4つの外惑星は、垂直柱で固定された chains トラック上を動く構想である
- レンダーにはチェーンは表示されていない
- チェーンはベースに取り付けたギアで駆動され、惑星はチェーンリンク部品の1つに取り付けられる
- この構成では、惑星は太陽の周りを回るだけで自転はしない
- この概念は Akiyuki の時計設計から着想を得ている
- チェーンがブロックで作った惑星の重さに耐えられるかは不確かである
- このビルドはサイズ、部品数、コストの面で非常に大きなプロジェクトになる
- 現時点ではこの概念を継続して作業する予定はない
- 垂直積層の制約を取り除いても問題が少し簡単になるだけだが、Chris Orchard と Brent Waller の Lego Ideas campaign のように実現は可能である
- 次のプロジェクトは、Lego ではなくレーザーカットしたアクリルシートでオーラリーを作ることだ
- 使用できるギアや部品の制約が減る
- その代わり、部品を自作しなければならない難しさが生じる
1件のコメント
Hacker News のコメント
作者は季節を表現するために地軸の傾きをモデル化するのに多くの時間を費やしていた
特にこのくだりが印象的だった:
このブログ記事とHNスレッドを読んで1時間ほどしてからInstagramを開いたら、最初の広告がLegoの太陽系儀（orrery）だった
あまりに具体的で独特なので、自分の行動データに基づいてターゲティングされた広告だった可能性が高そうに思えた。InstagramでLegoの広告を見た記憶もほとんどない
ではどこから来たのだろう？ HNとブログにはMetaピクセルはなさそうだったし、iOS Safariを使っているのでサードパーティCookieもブロックされている
考えてみると、ブログ記事に埋め込まれていたYouTube動画の1つを再生していた。Legoがこの太陽系儀プロジェクトの動画を見た人を狙ったGoogle広告を出していたようだ
https://github.com/EFForg/privacybadger
こういう何百時間もの工学と職人技が注ぎ込まれたプロジェクトを見るたびに、引退後に何もしないのは惹かれず、こういうふうに時間を使いたいと思う。条件さえ許せば、もっと早くてもいい
これをなぜ高校で一度も説明してくれなかったのか分からない。地球の傾きが季節を生むことは習ったが、なぜそうなのかは理解していなかった
今になって、なぜ理解できなかったのか分かった。欠けていた重要なピースがあったのだ
文字どおり、自分が理解できるほど賢くないのだと思っていた
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Axial_precession
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Equation_of_time
その後ある時、先生の1人が、実は1年中いつでも可能だと人々が分かったのだと教えてくれた
ギア比計算機が素晴らしく、とても便利そうだ
フォーム変数をURLパラメータで制御できるようにしている点も加点対象: https://marian42.de/gears/?targetratio=2/8&dst=any&gears=def...
この制作者は、3Dプリント可能なLego互換カスタム部品を設計するツールも作っている
https://marian42.de/article/partdesigner/
本当にすばらしい。掘り下げるべき要素はたくさんあるが、個人的にはソフトウェアで優れたレンダリングと可視化を作るために払われた追加の努力が特に気に入った
記事の序盤で言及されていた非Lego™の太陽系儀を持っているが、とても良い。価格に対する価値も高く、組み立ても楽しい
ただし作者の本格アップグレード版のように季節を説明するのに使えない点は惜しい。よくできた仕事だ
素晴らしい記事だ。記事末尾のAkiyukiの時計動画リンクもぜひ辿ってみることを強くおすすめする。彼の他の設計も優れているが、これはその中でも傑作と言える
0: https://www.youtube.com/watch?v=GUdlSYC1cCE
Legoが古典的なTechnicのギアとプーリーから離れていった方向性は私も残念に思う。適切な代替品なしにMindstormsが終了したのも同じだ
1つの時代の終わりのように感じる。今では主に、人気のあるテーマ型の子ども向け玩具とのブランド提携に焦点が当たっている