なぜこの偉大な数学者は墓碑に17角形を望んだのか
- 数学者ガウスは多くの数学的業績を残した
- その中でも墓碑に「正17角形」を刻みたいと望んでいた
- 18歳のとき、ガウスは2,000年にわたり数学者たちを悩ませてきた問題を正17角形によって解決した
古代ギリシャ幾何学
- 古代ギリシャ人は幾何学に優れており、コンパスと定規を使った作図に重点を置いていた
- コンパスは二点を中心に円を描く道具であり、定規は直線を引く道具である
- これらの道具では距離を測ったり角度を測ったりすることはできない
- このような作図はユークリッドの原論に由来する
- ユークリッドは最小限の仮定からすべての幾何学を導こうとした
作図の例
- 与えられた線分の中点を見つける方法
- コンパスを使って二点を中心に円を描く
- 二つの円が交わる点を定規で結べば中点を見つけられる
- この作図は線分を二等分するだけでなく、直角も作る
- さらにいくつかの点を結べば正三角形を作ることができる
障壁
- 正多角形はすべての辺と角が等しい図形である
- ユークリッドは正三角形、正方形、正五角形を作図する方法を見いだした
- 正多角形の辺の数を2倍にする方法も発見した
- しかし正七角形と正十一角形は作図できなかった
- この問題は2,000年間解決されなかった
18世紀数学の救済
- 1796年まで新たな正多角形は発見されなかった
- ガウスは正多角形を作図する問題を、特定の長さの線分を作図する問題へと還元した
- 正17角形を作図するには、特定の長さの線分を作図しなければならない
- この長さは x = cos(2π/17) と表される
- コンパスと定規で作図できる長さとは、加算、減算、乗算、除算、平方根で表せる長さである
- ガウスは正17角形が作図可能であることを証明した
- ガウスは、すべての正多角形が作図可能かどうかを完全に解明した
- 正七角形と正十一角形は作図できないことも証明した
ガウスの遺産
- ガウスは正17角形を墓碑に刻みたいと望んでいた
- しかし実際には刻まれなかった
- ドイツのブラウンシュヴァイクにあるガウスの記念碑には17芒星が刻まれている
GN⁺の要約
- ガウスは18歳で正17角形を用い、2,000年間解決されなかった問題を解いた
- 古代ギリシャの幾何学的作図法と現代代数学の関連を示している
- ガウスの業績は、コンパスと定規で作図できる図形の限界を明らかにした
- 数学的好奇心を刺激し、幾何学と代数学の深いつながりを理解する助けになる
- 類似の機能を持つプロジェクトとして Wolfram Alpha と GeoGebra がある
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