ガウスが墓碑に正十七角形を望んだ理由

 (scientificamerican.com)
1 ポイント 投稿者 GN⁺ 2024-09-18 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • Johann Carl Friedrich Gauss は18歳で 正十七角形の作図可能性を証明し、2,000年以上続いていた古代幾何学の問題に決定的な答えを出した
  • この問題の根は Euclid の コンパスと定規による作図にあり、目盛りのない定規とコンパスだけで図形を実際に構成できるかが核心だった
  • Euclid は正三角形・正方形・正五角形とその拡張形を作れたが、正七角形・正十一角形のような図形は長い間未解決のままだった
  • Gauss は図形を直接描く代わりに、正十七角形に必要な長さ cosine(2π/17) を許された代数演算だけで表し、作図可能性を証明した
  • その後 Pierre Wantzel の厳密な証明も加わり、どの正多角形が作図可能で、どれが不可能なのかを区別できるようになった

ガウスが墓碑に残したかった図形

  • Johann Carl Friedrich Gauss（1777–1855）は、数々の数学上の業績の中でも 正十七角形の証明を特に誇りに思っていた
  • 18歳だった Gauss はこの図形によって、2,000年以上にわたり数学者たちを阻んできた古典的問題を解決した
  • この問題は、図形を実際に構成しようとした古代幾何学と、図形を支配する方程式を分析する現代的な視点を結びつけるものだった

古代ギリシャのコンパスと定規による作図

  • 古代ギリシャ幾何学における作図は、目盛りのない定規とコンパスだけで図形を構成する、厳格な遊びに近いものだった
  • コンパスは、2点が与えられたときに一方の点を中心としてもう一方の点を通る円を描き、定規は2点を結ぶ直線を描く道具である
  • 2つの道具には目盛りがないため、距離や角度を直接測ることはできない
  • こうした規則は紀元前3世紀の Euclid の Elementsに由来する
  • Euclid は図形の存在を仮定する代わりに、直線と円という単純な材料から明示的に構成しようとした

線分の二等分と正三角形

  • 2点 A と B があるとき、A を中心に B を通る円と、B を中心に A を通る円を描くと、2つの円は2点で交わる
  • この2つの交点を定規で結ぶと、元の線分 AB を正確に二等分する直線ができる
  • 同じ作図は2本の線の間の直角も作り出し、限られた道具だけでは自明ではない結果である
  • さらにいくつかの点を結べば、すべての辺の長さとすべての角の大きさが等しい正三角形を作れる
    • 正三角形の各辺は同じ大きさの円の半径なので、3辺の長さは等しい
    • これは Euclid Elements 第1巻の第1命題にあたる

正多角形の作図で生じた停滞

  • コンパスと定規で作れる図形の中で、正多角形は特別な地位を持つ
  • 多角形は直線の辺で囲まれた図形であり、正多角形はすべての辺の長さとすべての角の大きさが等しい
  • 任意の三角形を作るのは簡単だが、正三角形のように完全な対称性を持つ正多角形は、より精緻な作図を要求する
  • Euclid は正三角形、正方形、正五角形を作図する方法を知っていた
  • すでに作った正多角形は、辺の数を2倍に増やすことができた
    • 正三角形は正六角形、正十二角形などへ拡張できる
    • 正方形は正八角形、正十六角形などへ続く
    • 正五角形は正十角形、正二十角形などへ増やせる
  • Euclid は正三角形と正五角形を「掛け合わせて」正十五角形を作る方法も示した
  • しかし 正七角形と正十一角形がコンパスと定規だけで作れるかどうかは分からず、この空白は2,000年にわたって残った

Gauss の代数的転換

  • 1796年まで、新たに作図可能な正多角形は追加されていなかったが、数学者たちはコンパスと定規による作図そのものをより深く理解するようになっていた
  • Gauss は、正多角形の作図を特定の長さの線分の作図問題へと還元できることを知っていた
  • 正十七角形を作るには、半径1の単位円上で1点 A を取り、円周を正確に17分の1だけ進んだ点 B を作ればよい
  • 点 B を作れれば、同じ作業を円周全体に繰り返し、各点を定規で結んで正十七角形を得られる
  • 結局の核心は、特定の長さの線分 x を描けるかどうかであり、式で表すと x = cosine(2π/17) である

作図可能な長さと5つの演算

  • Gauss の時代には、どのような長さがコンパスと定規で作図可能かについての基準が知られていた
  • ある長さは、整数に加算、減算、乗算、除算、平方根だけを適用して表せるとき、正確に作図可能である
  • たとえば √(99/5) は、99 と 5 に除算と平方根を適用した形なので作図可能である
  • 一方、π と 2 の立方根は、この5つの演算だけでは表せないため作図できない
  • 古代ギリシャの作図道具が許す操作は、現代代数学の自然な演算と噛み合っている
  • 直線と円の方程式がこの5つの演算だけを使うためであり、これは代数学以前の時代の Euclid には想像しにくかった視点である

正十七角形の証明と分類

  • Gauss は実際には正十七角形を描かなかった
  • 代わりに、正十七角形に必要な長さ cosine(2π/17) をコンパスと定規が許す5つの代数演算だけで表し、この図形が原理的に作図可能であることを証明した
  • その式は複雑で、10代だった Gauss がこの問題に相当な努力を注いだことを示している
  • さらに Gauss は、どの正多角形が作図可能で、どの正多角形が不可能なのかまで特徴づけた
  • 1837年、Pierre Wantzel は Gauss の分類に漏れがないことを示す厳密な証明を与えた
  • その結果、正七角形と正十一角形はコンパスと定規だけでは作れず、同じ方式で不可能な図形が無限に多く存在することが分かった

墓碑にはなかったが記念碑に残った痕跡

  • 伝記作家 G. Waldo Dunnington によると、Gauss は数千年続いた問題を解いたことを非常に誇りに思っており、友人に自分の墓碑に正十七角形を刻みたいと語った
  • 実際の墓碑には正十七角形は刻まれなかった
  • 代わりに、Gauss の出生地であるドイツ Brunswick の記念碑の裏面には、17個の頂点を持つ星が刻まれている
  • 石工は、人々が正十七角形と円を見分けられないだろうと考え、星形を選んだ

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1件のコメント

 
GN⁺ 2024-09-18
Hacker Newsのコメント

  • ガウスから200年が過ぎ、数学が大きく発展した今でも、ユークリッド的に作図可能な奇数辺の正多角形のうち、理論上最大のものが何かはまだ分かっていない。
    気になる人のために補足すると、答えはフェルマー素数の積の組み合わせに還元されるが、3、5、17、257、65537の後にフェルマー素数が存在するかどうかを誰も知らないため。参考: https://en.m.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon

  • この証明に関する素晴らしいYouTube動画の2本シリーズがある。
    作図可能な正多角形の問題と証明の概要: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM
    証明の完全な説明: https://www.youtube.com/watch?v=Gdy1u4lsjDw

    • 数年前にNumberphileの動画でこの図形の作図を学んだ: https://www.youtube.com/watch?v=87uo2TPrsl8
      終盤では、UC Berkeley 17 Gauss Way にある Mathematical Sciences Research Institute(MSRI) の建物正面で、建物番号の代わりに使われている作図が見られる

  • 「整数に加算、減算、乗算、除算、平方根を適用して表せる長さだけが正確に作図可能である」という点が興味深い。
    古代ギリシャの定規とコンパスが、現代代数の自然な演算である +, –, ×, /, √ とぴったり一致するのは、直線と円の方程式がこの5つの演算だけを使うからだ、という見方。関連: https://en.wikipedia.org/wiki/CORDIC

    • なぜ他の分数べきではなく平方根だけが特別な地位を持つのか気になる

  • コンパスと定規による作図をいくつか実際にやってみることを誰にでも勧めたい。かなり満足感があり、瞑想的な作業にもなりうる。
    Oliver Byrne は Euclid's Elements をとても美しいカラー版にしており、オンラインでも見られる。ペンと紙、円を描くためのひも、直線を引くための本の角を用意して、Proposition 1 から好きなだけやってみればよい: https://www.c82.net/euclid/book1/#prop1
    Byrne版 Elements の実物復刻版もある(ISBN:9783836577380)。自分の書棚に加えたものの中でも最高の一冊で、本当に美しい

  • ガウスの墓碑の裏側に実際に17角の星があるのか気になる。オンラインでは写真が見つからない

  • この結果が興味深いのは、何百年にもわたって発展してきた代数学が、再び戻ってユークリッド幾何学を改良する様子を示しているからだ。
    背景知識がなければ、なぜこの問題が面白いのかさえ分からなかったと思う。動機づけは Langlands program にかなり似ている

  • 数学に関する文章の多くだけを読んでいると、中世の数学者たちは何も貢献しなかったかのように感じられることがある。
    不思議なことに、書き手は Euclid のようなギリシャの数学者の貢献は欠かさず言及する一方で、この場合は主役である Gauss のようなルネサンス以後の数学者へとすぐ飛び、ほぼ1000年を都合よく無知なまま飛ばしてしまう

    • その現象は、少なくとも部分的には西ローマ帝国の崩壊と、その後の中西部ヨーロッパの相対的な混乱で説明できる。
      その約1000年のあいだはインドと中東の数学者たちが主導しており、Āryabhaṭa、Brahmagupta、Al-Khwarizmi のような人物が現代数学の理解に重要な貢献をした

  • 本当に興味深くて、ガウスの証明をもっとよく知っている人に聞いてみたい。なぜ正五角形は定規とコンパスで作図可能なのに、7角形や11角形はだめなのだろうか。ある素数は可能で、別の素数は不可能なのはなぜなのだろう?

  • 17 の場合、Gauss は cos(360°/17) を基本演算だけで表せることを見出した: https://www.heise.de/imgs/18/2/1/2/3/3/6/4/siebzehneck-b95b5...
    その後彼は、$n=2^k*p_1…*p_r$ であり、各 p_i がフェルマー素数（2^(2^m)+1 の形の素数で、現在知られているのは 3, 5, 17, 257, 65537 だけ）であるすべての正 n 角形が作図可能であることを証明した。その逆、つまりそれ以外のすべての n は作図不可能であることが証明されたのは数年後だった。「Gauss-Wantzel の定理」を調べればよい。証明はざっと見ただけだが、角の cos を作図するという概念を ガロア理論 で一般化しているように見える。編集: または https://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon も参照

    • とても速くて不完全な説明ならできるが、信じてついてきてもらう必要がある
      複素数では五角形の頂点は z^5-1=0 である。これは (z^4+z^3+z^2+z+1)*(z-1)=0 と因数分解でき、難しい部分は z^4+z^3+z^2+z+1=0 を解くことだ
      この方程式はこれ以上因数分解できず、次数は 4 である。解は方程式の次数に関係するある性質を持っており、その性質が 4 であることが重要になる
      コンパスと定規では 2 次方程式、つまり平方根を取るのと同等のことしか解けない。これを繰り返すことで、4 次方程式の一部は解ける。だからいくつかの工夫を経れば方程式を解いて五角形を描ける
      17 の場合、方程式は z^16+z^15+...+z+1=0 である。したがってその性質は 16 で、平方根を何度も使わなければならない。毎回、解の性質が 2 倍になって 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 と進む。記事下部の式に入れ子で繰り返される平方根がたくさん見える
      7 の場合、方程式は z^6+z^5+...+z+1=0 である。解の性質は 6 だ。平方根では性質を 2 倍にしかできないので 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> 16 -> 32 ... とは進めても、性質が 6 の解には決して到達できない
      技術的な詳細はさらにある。たとえば 17 角形を描くために 16 次方程式の一部は解けるが、すべての 16 次方程式を解けるわけではない
    • フェルマー素数 と関係がある
    • 興味と時間があるなら、YouTube チャンネル Another Roof[1] の関連動画 2 本を見るとよい
      一般の視聴者でも基礎を比較的理解できるよう、やさしい内容にも時間を割いているので、かなり長い動画でも驚かないでほしい
      [1]: https://youtube.com/@anotherroof
    • 私が別のコメントに貼った動画でも、かなりとっつきやすく説明している: https://www.youtube.com/watch?v=EX7U0DGBmbM

  • 七角形 がそんなに問題だと感じたことはなかった
    正確にはできないが、望む精度まではできる。少なくともコンパスと定規の精度限界にぶつかるまでは可能だ
    1/7 = 1/8 + 1/64 + 1/512 + 1/4096 + 1/32768... なので、すぐに人間の精度の限界に達する
    一般に 1/(2^n - 1) は無限和、あるいは無限に近づく級数として表せる。1/(2^n - 1) = x は、x が 1 から無限大までのときの 1/(2 ^ (x * n)) の総和である。そして弧の長さを 2 の冪の分数に分ける方法はみんな知っている
    完全な円から始めて最初の部分を取り、次に 2 番目の部分をさらに分けて最初の部分を取り出す、ということを繰り返して小さな部分を足していけば、1/7 に十分近づく。その長さをコンパスで測って残りをまた分ければよく、6 個追加で印を付けたときに最初の点とほぼ一致するまで十分に再帰すれば、あまり心配はいらない
    それでも、コンパスと定規で 1/4096 の精度に達するだけでも驚くべきことで、1/32768 など誰にも絶対無理だと思う

    • これは、逆の理由で間違っていると思う別の主張も思い出させる
      ヒルベルト曲線 が正方形全体を覆うという主張だが、正方形には [実数, 実数] の形のすべての有界点が含まれる。ところが再帰的な頂点生成器の有理数による構成では、各座標対の 2 つの値のうち一方は必ず有理数でなければならない。ただし分母が 2 の無限整数冪という形になるだけだ
      たとえ [実数, 有理数] + [有理数, 実数] 全体を覆うのだとしても、実際にはそうですらないが、それでもなお [実数, 実数] 全体には到達できない
      実質的には平面の 100% は曲線上にない一方で、同時に平面の 100% は曲線から無限小距離の範囲内にある
      全体がその中に入っていると言うより、こちらのほうが面白いと思う。実際には入っていないのだから
    • そうすることはできるが、ここで求められているのは 正確な作図 だ
      無限級数を許せば、Taylor 級数で何でも近似できる
    • 七角形は「作図可能」ではないが、描くのは簡単だ。大学のときにこれで遊んだことがある
      半径の 2*sin(π/7) の長さの線分を見つければよい。値は 0.86777 で、二乗すると 0.7530 となり、0.75、つまり 1 - (1/2)^2 にかなり近い
      だから高さが半径の半分、斜辺が半径の三角形を作れば、もう一辺は 0.8660 になる。実際の値との差は 0.001 未満なので、私が定規とコンパスで描けるものよりはるかに正確だ