圏論イラスト解説：論理 (2021)

論理

論理とは何か

• 論理は可能なものの科学であり、あらゆる他の科学の基礎である。
• 科学が宇宙がどのように動作するかを説明するなら、論理はどのような宇宙にも適用できる説明の一部である。
• 論理は、ある事実を知ったときに別の事実が真であると結論づける規則を研究する。

論理と数学

• 論理は集合論および圏論と似ており、数学理論は論理に追加の定義を加えたものである。
• 集合論は、論理の標準的な公理に1つの原始関係を追加することで定義できる。

基本命題

• 論理は可能なものの科学であるため、真または偽として受け入れられる初期命題の集合が必要である。
• これらの命題は「前提」「基本命題」または「原子命題」と呼ばれる。

命題の構成

• 論理の中核は構成という概念であり、複数の命題を論理演算子を使って結合できる。
• 論理演算子には「そして」「または」「したがって」などが含まれる。

基本命題と複合命題の同等性

• 複数の前提から構成された命題は基本命題と異なるものではなく、同じ方法で構成される。

モーダス・ポネンス

• モーダス・ポネンスは最も古い論理命題の1つであり、Aが真でAがBを含意するならBも真であることを示す。

自明な真理

• 自明な真理は常に真である命題であり、その反対は常に偽である矛盾である。
• 自明な真理は公理スキーマ/推論規則の基礎として使われる。

論理体系

• 公理スキーマ/推論規則を使って新しい命題を生成できる。
• 論理体系は、こうしたスキーマ/規則の小さなコレクションから構成される。

結論

• 論理の主要な構成要素（公理、推論規則）を理解するためには、特定の解釈を通じて証明しなければならない。

古典論理：真理関数的解釈

• 古典論理はプラトンのイデア論に基づいており、すべての命題は真または偽である。
• 論理演算子は、ブール値を入力として受け取り別のブール値を返す関数として表現される。

直観主義論理：BHK解釈

• 直観主義論理は証明を構成するものと見なし、すべての命題が真または偽であるという二分法を拒否する。
• BHK解釈では、命題が真であるとはそれに対する証明が存在することを意味する。

論理を圏として解釈する

• BHK解釈は、論理を圏論に基づいて解釈できる高次の視点を提供する。
• Curry-Howard同型は、論理とプログラミング言語の間の類似性を説明する。

GN⁺のまとめ

• 論理は数学と科学の根本的な一部であり、さまざまな分野で重要な役割を果たす。
• 古典論理と直観主義論理は異なる哲学的背景を持ち、それぞれの解釈に応じて異なる結果をもたらしうる。
• 論理体系は、公理と推論規則を通じて新しい命題を生成できる強力な道具である。
• 論理の解釈は圏論と結びつけることができ、これはプログラミング言語との類似性を通じてさらに興味深い。