有限要素法80周年（2022年）

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1 ポイント 投稿者 GN⁺ 2024-11-04 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • 有限要素法（FEM） は、1940年代初頭の格子・三角形部分領域・変分法に基づく離散化に始まり、2021年に発明80周年を迎えた計算工学の中核的手法として定着した
  • FEMは材料・構造力学を超えて、流体流れ、熱伝導、電磁気学、半導体回路・チップ設計、積層造形、医療診断と手術計画など、PDEで記述可能な問題 全般の計算基盤へと拡張された
  • Hrennikof、Courant、Argyris、Turner、Clough、Zienkiewicz、Kang Feng らの貢献が続き、1960年に Clough が Finite Element Method という名称を与えたことで用語が定着した
  • 1966–1991年には、収束理論、混合変分原理、時間積分、Navier–Stokes 解法、メッシュ生成、非線形構造力学、流体-構造連成、確率的FEM、接触解析が発展し、産業シミュレーションツール へと広がった
  • 1992年以降は、誤差推定、hp FEM、X-FEM、phase-field fracture、isogeometric analysis、multiscale FEM、VEM、商用・オープンソースソフトウェア、機械学習・低次元化モデルが結び付き、リアルタイム・データ駆動計算 へと焦点が移った

FEMの範囲と80年の発展区分

  • 2021年は finite element method（FEM） 発明80周年に当たる
  • FEMは次の分野の計算基盤として定着している
    • 材料・構造力学
    • 流体流れと熱伝導
    • 医療診断と手術計画のための生物学的過程
    • 電磁気学
    • 半導体回路・チップの設計・解析
    • 積層造形
    • 偏微分方程式（PDE） で記述可能な問題全般
  • FEMは、自動車、航空機、海洋構造物、橋梁、高速道路、高層建築などにおける科学モデリングと工学設計の方法を大きく変えた
  • FEMの発展とともに、computational mechanics または computational science and engineering と呼ばれる工学・科学分野も成長した
  • 発展史は4期に分けられる
    • 1941–1965年: 初期
    • 1966–1991年: 黄金期
    • 1992–2017年: 大規模産業応用と材料モデリングの発展
    • 2018年以降: 現在と未来の最新FEM技術
  • 焦点は主に 固体・構造力学 応用とその関連発展にあり、流体力学・熱伝達・流体-構造連成は限定的に扱われる
  • FEMの発展は複数の時期にまたがって絡み合っており、厳密な年代順だけで整理するのは難しい

1941–1965年: 格子、変分法、三角要素の登場

  • FEMの数値モデリング・パラダイムの起源は 1940年代初頭 にさかのぼる
  • 1941年、University of British Columbia の A. Hrennikof は membrane and plate model を lattice framework で扱った論文を発表した
    • 解析領域を lattice structure の mesh に離散化した
    • この作業は mesh discretization の初期形態である
  • 同年、R. Courant は Saint–Venant 円柱ねじり問題から導かれる2階PDEを変分法で数値的に処理する方法を発表した
    • finite triangle subdomains 上の trial function と Rayleigh–Ritz method を体系的に用いた
    • この発表は1943年に論文として出版された
  • McHenry、Prager and Synge、Synge and Rheinboldt の文献にも、同様の離散化と変分定式化の作業が残されている
  • 1950年代初頭には、多くのエンジニアと研究者が初期アプローチを発展させ、航空・土木工学の実問題を解き始めた
  • J.H. Argyris と M.J. Turner は異なる重点で並行開発を進め、Turner には R.W. Clough と H.C. Martin が加わった
    • 彼らが開発した手法は、今日ではFEMの初期形態として知られている
    • 当時は Matrix Stiffness Method と呼ばれていた
  • R.W. Clough は1960年の発表論文で Finite Element Method という表現を生み出し、この名称は急速に受け入れられた
  • Turner、Clough、Martin、Topp は、任意形状の構造部材に適した triangular elements 用のFEM補間関数を開発した
    • triangle element の発明は、ある見方では「quantum leap」と呼ばれる
    • 多くの工学コミュニティでは、Turner らの1956年論文をFEMの出発点とみなしている

Berkeley、Boeing、Norfork Dam と初期の普及

  • Boeing の M. Jon Turner は、航空機設計が実際の応力に耐えられるかを事前に判断できる信頼性の高い方法を必要としており、Ray Clough と Harold Martin を Boeing の夏季 faculty internships として招いた
  • Turner、Clough、Martin の協業は、コンピュータで大量の計算を行って実際の性能を予測する構造解析手法へとつながった
  • Clough は UC Berkeley にFEM研究グループを作り、さまざまな解析・実験にFEMを用いた
    • 建物・構造物の核爆発または地震への耐性設計
    • 宇宙船構造の要求事項分析
    • 深海海洋掘削構造の解析
  • 1957年秋、Clough は membrane、plate、shell、solid structures の解析のための finite element research に関心のある学生を募集する告知を掲示した
    • 当時は研究資金がなかったが、別の資金源を持つ大学院生たちが応じた
  • Berkeley の初期デジタルコンピュータは、1951年に製造された真空管ベースの IBM 701 で、解ける linear equations の最大数は40だった
  • 1959年には Berkeley Campus に IBM 704 が設置された
    • 32K 32-bit memory と、IBM 701 より約100倍高速な floating-point arithmetic unit を備えていた
    • fine meshes を用いて practical structures を解けるようになった
  • Clough の1962年の Norfork Dam 解析は、FEMの初期実用性を示した
    • Arkansas の高さ250フィートの Norfork Dam は、1942年の建設中に vertical crack が生じた
    • FEM解析は、温度変化による亀裂の位置と大きさを正しく予測した
    • gravity と複数の hydrostatic load 条件の下で、dam と foundation 内部の realistic displacements and stresses を算出した
  • Clough は、2次元 plane structures の変位と応力を評価する finite element analysis computer program の FORTRAN listing を無償提供した
    • 異なる幾何形状、材料、荷重条件の2D plane structures に使用できた
    • 専門技術者が構造工学の問題で stress distributions を求めるためにFEMを容易に活用できるようになった
  • R.W. Clough は、FEMの考案と発展への貢献により、1994年に当時の米国副大統領 Al Gore から National Medal of Science を授与された

初期の人物と理論的基盤

  • 今日の一般的な見解では、R. Courantの数学的基盤への貢献に続き、J.H. Argyris、R.W. Clough、O.C. ZienkiewiczがFEMの誕生と初期発展に中核的な役割を果たした
  • 1960年代初頭、Chinese Academy of ScienceのKang Fengは、楕円型PDEを解くための変分原理に基づく離散化数値手法を独立に提案した
    • Peter Laxは、Kang Fengが西側の並行した発展とは独立にFEM理論を作り上げたと評価した
    • Kang Fengの研究は、FEM初期のconvergence studiesの一つに数えられる
  • E.L. Wilsonは、finite element open-source softwareを最初に開発した人物として言及されている
    • 1958年、Cloughの指導の下でBoeingにおいて開発されたrectangular plane stress finite elementを基に、自動化されたfinite element programの開発を開始した
  • J.T. OdenとG.C. Bestは、初期のgeneral purpose FEM computer codesの一つを作成した
    • 3D elasticity、2D plane elasticity、3D beam and rod elements、composite layered plate and shell elements、general composite materials向けelementsを含む
    • 航空宇宙・防衛産業におけるaircraft analysis and designに長年使用された
  • 1965年までに、FEM研究は世界的に非常に活発な分野となり、文献で発表された論文数は1000本を超えた
  • Hellinger–Reissner variational principleとHu-Washizu variational principleは、その後の混合FEM発展の基盤となった
  • 1964年、Pianはmixed variational principlesをGalerkin weak formに基づくFE formulationsへ適用できる可能性を認識し、assumed stress FEMを提案した

1966–1991: 収束理論、動力学、流体、非線形解析

  • 1960年代後半から、FEMを支える厳密な近似理論が発展した
    • Cea lemmaとBramble-Hubert lemmaは、FEMの収束証明における重要な結果として挙げられる
    • 一般線形楕円問題に対するNitscheのL∞推定研究は、1970年代におけるFEM数学的基礎への重要な貢献である
  • 実務のエンジニアたちは、非適合FEM補間子や標準的な変分形式に反する数値積分を用いていた
    • G. Strangは、このような数値手法をvariational crimesと呼んだ
    • B. IronとR. Meloshは初期のFEM patch testを作成し、正しい解への収束を保証するうえで重要な役割を果たした
  • 混合変分原理に基づくFEMでは、Babuska-Brezzi conditionまたはLBB conditionが重要な結果として登場する
    • 鞍点問題が入力データに連続的に依存する一意解を持つための十分条件を与える
    • 混合変分原理に基づくFEMの形状関数を構成するための指針となる
  • 1970年代のFEM開発は、自動車産業におけるcrashworthinessを含む構造物の動的挙動シミュレーションへと焦点が移った
    • Newmark-beta method、Wilson-theta method、Hilbert-Hughes-Taylor alpha method、Houbolt integration algorithm、explicit time integration algorithmなどが開発された
  • explicit time integrationは自動車産業におけるgame changerとなり、FEMを乗用車設計と衝突安全性解析の主要ツールとして定着させた
    • 1980年代末までに、米国のビッグスリー自動車メーカーには、explicit time integrationベースのFEMコードを実行するワークステーションが数千台存在した
  • 1980年代におけるFEMの主要研究テーマの一つは、Navier–Stokes方程式をFEMで解くことだった
    • Hughesと共同研究者たちは、streamline upwind/Petrov Galerkin method、Stabilized Galerkin FEM、space–time FEM、variational multiscale FEMを開発した
    • 1986〜1991年にかけて、HughesとL.P. Francaらは、計算流体力学のためのFEM formulationに関する10部作の論文を執筆した
  • 1980年代半ばには、interactive computer graphics、adaptive mesh generator、solid modeling技法が組み合わされ、高度なFEM mesh generationが発展した
  • J. Simoの貢献は、1980年代のFEM技術発展における主要なハイライトの一つである
    • computational plasticityのためのconsistent tangent operator
    • geometrically exact beam and shell theories
    • assumed strainまたはenhanced strain methods

流体-構造連成、確率的FEM、接触解析

  • 1970年代半ばから1990年代初頭まで、航空宇宙・土木工学産業では大規模な**fluid–structure interaction(FSI)**問題を解く技術需要が大きかった
  • Hughes-Liu-Zimmermann Arbitrary Lagrangian–Eulerian(ALE) fluid–structure FEM formulationは、移動境界問題を扱う
    • ALEでは、領域内部の計算meshを要素形状の最適化のために任意に移動させることができる
    • 領域境界とinterfaceのmeshは材料とともに移動し、multi-material systemの境界とinterfaceを高精度に追跡できる
  • C. Farhatは、large-scale parallel ALE-FEM solverを用いてFSI問題を計算した最初の人物として言及されている
    • Farhatのグループは、大規模方程式系をスケーラブルに解くためのfinite element tearing and interconnecting methodを開発した
  • FEMによるFSI研究は、1990年代半ばに血管疾患の患者別モデリングとFEMベースのpredictive medicineの基礎を提供した
  • W.K. LiuとT. Belytschkoは、1980年代末にprobabilistic FEMまたはrandom field FEMを初めて開発した
    • 荷重条件、材料挙動、幾何学的構成、支持条件または境界条件の不確実性を考慮する
    • 構造信頼性解析に適用できる
  • 1980年代初頭、General Motors Research LabのM.E. BotkinとUniversity of MichiganのN. Kikuchiグループは、自動車産業向けのstructural shape optimization FEMを開発した
  • 1976年のHughes、Taylor、Sackman、Curnier、Kanoknukulchaiによる論文は、computational contact mechanicsにおける最も初期のFEM解析の一つである
    • dynamic contact and impact problemsのFEMモデリングに関する最初期の研究に数えられる
    • sheet metal forming、target impact and penetration、pavementとtireの相互作用などが例として挙げられている
  • 接触アルゴリズム研究は、1990年代末まで活発な研究テーマとして残った

1992–2017年: 誤差推定、き裂、メッシュレス手法

  • 1992～2017年のFEM発展における最初の主要な出来事は、Zienkiewicz-Zhu事後誤差推定器の定式化である
    • 適応的メッシュ細分化を通じて、計算資源を最適に使いながらFEM解の品質管理を提供する
    • 今日では、事後誤差推定による品質改善はBayesian inferenceやBayesian updateのレベルにまで拡張されている
    • このテーマはvalidation and verificationと密接に結び付いている
  • SzaboとBabuskaは、hとpを併用するhp FEMを開発した
    • 適切なh-refinementとp-refinementを組み合わせてメッシュを細分化すると、指数収束を示す
    • これは、ほとんどの他のFEMが代数的速度で収束するのと対照的である
  • 1994年、XuとNeedlemanは、再メッシュ化なしでき裂進展をシミュレーションできるFEM cohesive zone model(CZM) を開発した
  • BelytschkoとW.K. Liuは、材料破壊と損傷モデリングにおけるメッシュ依存性の問題を緩和するため、meshfree particle methodを開発した
    • 代表例としてelement-free Galerkin methodとreproducing kernel particle methodがある
    • RKPMはSPH methodと比べてconsistencyを提供し、収束性を改善する
  • 2001年、J.S. Chenと共同研究者らは、meshfree RKPMのためのstabilized conforming nodal integration methodを提案した
    • 単純で安定しており、Galerkin弱形式定式化と変分的にconsistentである
  • partition of unity finite element methodは、その後generalized finite element methodと呼ばれるようになった
    • h、p、hp版FEMの一般化である
    • 解析解をFEM離散化に埋め込むことができる
  • 1990年代後半、Belytschko、Black、Moes、DolbowらはX-FEMを開発した
    • enriched discontinuous shape functionを用いて、再メッシュ化なしでき裂体形状を捉える
    • 計算破壊力学とFEM refinement技術における重要なブレークスルーとなった
  • 2000年ごろ、Bourdin、Francfort、Marigoは、材料破壊モデリングのためのphase-field approachを開発した
    • Galerkin FEMで連続体の運動方程式とphase equationを同時に解くことで、応力特異点や再メッシュ化なしにき裂解を求められる

CAD統合、マルチスケール、仮想要素

  • FEMが大きな成功を収めた理由は、科学分野全般にわたる工学解析と設計に幅広く適用できる点にある
  • T.J.R. Hughes、J.A. Cottrell、Y. Bazilevsらは、isogeometric analysis(IGA) FEMを開発した
    • NURBS関数をFEM shape functionとして用いる
    • CADとFEAパッケージの間でデータ変換を行うことなく、既存のNURBSベースCADツールにFEMを統合する
  • ナノテクノロジーの登場により、原子論的手法と連続体スケールのFEMを組み合わせるmultiscale methodが開発された
    • molecular dynamics、density functional theory、ab initio methodなどが言及される
    • hand-shake method、quasi-continuum FEM、bridging scale methodが主要な貢献である
  • 2007年、Gavini、Bhattacharya、Ortizは、数百万原子規模のDFT計算のためのquasi-continuum orbital-free DFT FEMを開発した
  • 1990年代後半以降、computational homogenization methodは急速に発展した
    • 周期的微細構造を持つ複合材料のためのmultiscale computational homogenization
    • 主にランダム微細構造を持つ複合材料を対象とするcomputational micromechanics methodに分けられる
  • 2013年、L. Beirão da VeigaとF. Brezziが率いるイタリアの研究チームは、virtual element method(VEM) を提案した
    • 任意の要素形状に対する既存FEMの拡張である
    • 2D polygonや3D polyhedronのようなpolytopal discretizationを許容する
    • 局所shape function basisを明示的に計算する必要がないことから、virtualという名前が付けられた
    • 良質なメッシュの取得が難しい複雑形状問題や、局所refinementが必要な問題で、既存FEMより有利な特性を持つ

教育とソフトウェア産業

  • 1957年、R. CloughはUC Berkeleyで最初の大学院FEM科目を導入した
  • その後、世界中の主要な工学系大学・学校の工学カリキュラムに、大学院・学部レベルのFEM科目が追加された
  • 2015年末までに、世界中で数十言語にわたり、FEMの単行本と教科書が数百冊以上出版された
  • Zienkiewicz and TaylorまたはZienkiewicz et al.によるFEM教科書は、FEM技術の普及に大きな影響を与えた可能性がある
    • Taylorが作成したFEM研究用コンピュータプログラムコードFEAPが書籍の付録に収録された
    • コンピュータでFEMを実装するための直接的な指針を提供した
  • FEMソフトウェア技術の開発は1960年代初頭に始まった
    • 1963年、E.L. WilsonとR. CloughがSymbolic Matrix Interpretive System(SMIS)を開発した
    • WilsonはSMISを基にStructural Analysis Program(SAP)を立ち上げ、開発した
    • K.J. BatheはSAP IVとNONSAPを基に、非線形FEMコードADINAを開発した
  • NASAは独自のFEMコードNASTRANを開発した
    • 最初のバージョンであるCOSMIC Nastranは1969年に登場した
    • 1971年、MSC SoftwareはNastranの商用版であるMSC Nastranを発売した
  • J.A. Swansonは初期のANSYS FEMコードを開発した
    • ANSYSは現在、世界の主要な商用FEMソフトウェアの一つとなっている
  • DYNA3DはLawrence Livermore National LaboratoryのJ.O. Hallquistが開発した
    • 構造物の衝撃、動的接触、破損解析に広く用いられている
    • その後LS-DYNAへと発展した
    • 2018年にLivermore Software TechnologyがANSYSに買収されたことで、LS-DYNAはANSYS LS-DYNAとしてANSYSの一部となった
  • ABAQUSは、Hibbitt、Karlsson、Sorensonが設立したHKSが発売した大規模商用FEMソフトウェアである
    • ユーザー定義サブルーチンを許可し、研究者が標準FEMソルバーを研究に活用しやすくしている
  • 1990年代末から2000年代初頭にかけて、FEMソフトウェア産業は数十億ドル規模のビジネスとなった
  • ANSYS、ABAQUS、ADINA、LS-DYNA、NASTRAN、COMSOL Multiphysics、CSIなどが著名なFEMソフトウェアとして挙げられる
  • FreeFEM、OpenSees、Elmer、FEBio、FEniCS Project、DUNEなどのオープンソースFEMソフトウェアも存在する

2018年以降: 機械学習、データ駆動FEM、低次元モデル

  • 現代のFEMは大規模で複雑な産業上の問題を日常的に解くことができ、製品設計のための予測分析と本質的な理解を可能にする
  • 新しい発明において、空間・時間・設計パラメータ空間全体にわたるデータが大量に生成されるようになり、科学原理の開発が発明の速度に追いつかない場合がある
  • FEM研究者はこのため、machine learningとdeep learningベースのFEMを研究している
  • Mechanistic Data Science（MDS）FEMは、既知の科学原理と新たに収集されたデータを組み合わせるものであり、新しい発明のための重要な研究方向である
    • active deep learningやhierarchical neural networkのような手法を使用する
    • 入力データ処理、機構論的特徴抽出、次元削減、回帰・分類、知識データベースの提供を行う
  • 近年のmachine learningとdeep learningの発展により、deep neural networkを構成してFEMを解く方式が最先端技術として定着している
  • Physics-Informed Neural Networksは、strong formの高次元PDEを解き、自然境界条件と必須境界条件を受け入れる制約を用いる
  • Deep Ritz Method、Deep Galerkin Method、physics-constrained deep learning、partition of unity networkなど、FEM構造とニューラルネットワークを結合する方法が研究されている
  • Zhang et al.は、DNNの階層的特性に基づくFEM shape function構成に関する論文を発表し、これをHiDeNNと呼んだ
    • RKPM、NURBS、IGAなど、さまざまなdeep learning interpolation functionの構成を示している
  • HiDeNN-AIは複数のdata-driven toolを統合でき、物理知識がほとんどない、またはまったくなく、計算需要の大きい科学・工学問題を解くための一般的なアプローチを提供する
  • FEMの計算コストを下げるため、offline stageでFEM databaseを構築し、online stageで最終解を計算するtwo-stage data-driven methodが提案されている
  • FE-SCAは、unsupervised machine learningによってmaterial pointをグループ化し、reduced-order Lippmann–Schwinger micromechanics equationを解くことで、multiscale analysisの計算コストを削減する
  • Reduced order modelingは、高速でほぼリアルタイムなシミュレーションに対する産業需要と結び付いている
    • online dynamic system control
    • structural health monitoring
    • vehicle health monitoring
    • online advanced manufacturing feedback control
    • automated driving control and decision
  • 実用的なoptimal controlでは、milli-secondまたはsub-milli-secondの範囲内で信頼できる予測が求められることがある
  • reduced order machine learning methodは、model reductionと純粋なdata-driven machine learningアプローチのボトルネックを乗り越えるためのphysics-data combined modelを可能にしうる

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1件のコメント

 
GN⁺ 2024-11-04
Hacker Newsのコメント

  • FEM解析者として15年間フルタイムで働いてきたが、記事自体は悪くないものの、この20年を実際よりもかなりバラ色に描いている印象が強い
    実務におけるFEMの活用は、かなり長い間停滞していた。高い非線形性を持つ問題を少し扱いやすくする数値アルゴリズムの安定性改善、より最適化されたソルバー、はるかに良くなったハードウェアはあったし、特にフラッシュストレージは大きな助けになった
    しかし、記事が掲げる高度・次世代技術は、実際の問題に適用するとほとんどすべて失敗していた。ごく単純な実験室レベルの問題では良い結果が出ても、現実の問題では精度がひどいことが多い。たとえば単純引張状態の円筒ではうまく合っても、曲げを加えると大きく破綻する
    いまだにFEMより良いものはないが、振り返るとEngineer 1の頃とほとんど同じやり方で仕事をしているのは驚きだ。試みがなかったわけでもなく、有望に見えながら現実の検証を通過できなかった開発プロジェクトを数え切れないほど経験してきた
    産業界の焦点はむしろ 検証と妥当性確認（ASME V&V 10/20/40）にずっと強く向けられるようになり、そのおかげで多くの落とし穴や限界が明らかになった。学術研究やソフトウェアベンダーは、私たちが見つける、いわば「解決済み」と見なされていた問題を改めて見直すことにはあまり積極的ではなかった

    • 機械工学の人間だが、毎日使っている道具の 計算科学的側面 をもっとよく理解したい。コンピュータサイエンスの観点からFEAを「学び直す」なら、おすすめの学習資料はあるだろうか？
    • 記事が挙げる高度・次世代技術が実問題ではほとんど失敗したという話なら、Arnoldの研究も含まれるのか気になる
      FEECは最後に読んだときかなり有望に見えたが、より広いFEMの世界ではあまり普及していないようだった
    • 最近の気象モデリングや布のモデリングの仕事を見て、ニューラル演算子がFEMが使われていた一部の問題領域に入りつつあり、FEMからニューラル演算子へつながる系譜があるのだと思っていた。完全に誤解しているだろうか？
    • この15年が停滞だったという見方には疑問がある
      接触要素、ボルト予圧、個別複合材繊維のモデリング、剥離と漸進積層破壊、1000分の1インチ厚の材料層のモデリング、設計最適化まで進歩があった
      ANSYS Workbenchは初心者向けのFEAに近いし、例はもっとたくさんある
    • Physics-Informed Neural Networksについて聞いたことがあるだろうか
      今後より良い結果を出せる可能性のある有力候補に見える

  • キャリア初期にANSYSとNASTRANで有限要素モデリングと解析をしていて、ときどきあの頃が懐かしくなる
    現実の問題を利用可能な計算資源で解ける程度まで単純化する過程を考えるのは、いつも面白かった。また、メッシュが良くなるまで四角形要素を何時間も押したり引いたりする作業には、ほとんど瞑想のような効果があった。ただ、新しいソフトウェアや言語を学ぶ意欲があふれているわけではない
    驚くべきことに、その分野には大きな変化があまりないように見える。ANSYSは今でも汎用シミュレーションとマルチフィジックス分野の先頭にいるように見え、NASTRANも依然として広く使われている。実用的なオープンソース代替もまだない
    新しいプレイヤーといえばCOMSOLくらいのようだが、使ったことがある人はいるだろうか。ANSYSとNASTRANをよく知っている人にとって試す価値はあるだろうか？

    • ANSYSを10年以上毎日使ってきたが、変わったのは ライセンス階層の名前 だけだ。遅くて粘つく死への行進のようだ
      年々ソフトウェアと格闘することが増えていて、営業部門がハンドルを握っているのは明らかだ
      「垂直統合」ソフトウェアを買収して統合したあと、ゆっくり死なせる。10年前に買収した製品の1つを来年終了すると発表したが、その機能が20%しかない競合製品を押し出すためだ
      NASTRANもその半分くらいの期間使ったが、大してましではない。全部営業主導だ
      Abaqusを少し触ったことがあるが、悪くなさそうだった。たぶん少ししか使っていないからかもしれない
      私はただ仕事がしたいだけなのに、こうした会社は機能をライセンス階層の間で移し替え、許される限り速く じわじわ締め付ける だけだ
    • もっと低レベルの作業向けには FEniCSプロジェクト[1] がある。こういう比較的直感的なPythonコード[2]で偏微分方程式を解くためのツールだ
      ここでいう直感的とは、数学にかなり近いという意味であって、高校生レベルという意味ではない
      [1]: https://fenicsproject.org/
      [2]: https://jsdokken.com/dolfinx-tutorial/chapter2/linearelastic...
    • COMSOLの大きな利点は、複数の 物理領域 をまとめて扱い、相互に結合しやすくしてくれる点にある
      構造-流体連成や電磁-機械連成をやりたいなら、おそらく最も使いやすい部類に入る
      個々の物理領域だけを見れば特別に優れているわけではない。機械、CFD、電磁解析のソルバーにはもっと良いものがあるが、全部別会社の製品で互いにうまくかみ合わない
    • COMSOLを「新規参入」と見るのはちょっとつらい。15年前に工学部ですでにComsolを学んでいたので、今でも新規参入に分類されるなら、この分野がどれほど遅く動いているかをよく示している
    • このオープンソースFEMライブラリが定着してほしいと思っている: https://www.dealii.org/
      deal.IIのdealはDifferential Equation Analysis Libraryの略だ
      C++で書かれていてテンプレートを多用し、2000年から開発されてきた。特定の固体力学や流体力学向けというより、一般的な偏微分方程式のFEM解のためのライブラリだ
      ドキュメントは膨大で、例も多く、PetscやTrilinosのような他のライブラリとも連携できる。結果もさまざまな形式で出力できる
      三角形要素と四面体要素のサポートは比較的最近追加されたものだと理解している。それなのにこのライブラリの変わった点の1つは、メッシュを「triangulations」と呼ぶことだ

  • 産業博士課程の在学中に、大規模大気汚染（LSAP）シミュレーションのためのオブジェクト指向プログラミング・フレームワークを作った。
    このフレームワークは Petrov-Galerkin FEM ベースで、きちんとした 2D と「層状」3D の両方を扱えた。
    博士課程に入る前は、一緒に働いていた人たちはスペクトル法と交代方向 FEM、つまり 1D で 2D を近似する方式を使っていた。
    いくつかの学会やインタビューで、ある科学者たちは LSAP 向けの FEM プログラミングは簡単だと言っていた。私もだいたい同意したうえで、それを何度やったことがあるのかと尋ねた。LSAP であれ他のものであれ、答えは返ってこなかった。
    FEM を現実の問題に適用するには、小さく実用的でありながら理論的な落とし穴やバグをかなり多く解決しなければならないことがある。

    • FEM の核心は、結局のところ 偏微分方程式 で表された問題の近似解を見つける手法だ。
      境界条件と領域の両方を満たす実用的な問題の解を解析的手法で求めるのは、事実上不可能だ。FEM は厳密さを近似と引き換えにするもので、指定された境界条件では正確でありうるが、領域表現と解の両方において近似である。
      その代わり、近似を精緻化すると近似誤差が正確な解へ収束するという良い性質がある。その代償として、計算コストは幾何級数的に増大する。

  • 学部と大学院で FEM を学んだ。解くのが難しい現実の問題を、有限個の単位からなる単純化されたシミュレーション上の現実へと分割し、明示的に不完全ではあるが有用な答えを引き出す過程には、かなりの満足感がある。
    このアプローチをよく思い出す。

  • 当時、45 件のコメントが付いたスレッドがあった: https://news.ycombinator.com/item?id=33480799

  • 物事が 時空間の中でどのように進化するかを予測することは、根本的な必要性だ。
    有限要素法は HN のトップに載るに値する栄誉を受ける資格がある。以前、私のモデルでは「直交配置法」を選んだ。より高速で、当時の問題により適していたからだ。同僚研究者の何人かは FEM を使っており、90 年代には確かに大きな流行だった。

  • “Chaos researchers can now predict perilous points of no return” (2022) https://news.ycombinator.com/item?id=32862414 に出てきたまとめだ。
    FEM: Finite Element Method: https://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method
    FEM は結合した偏微分方程式を解く 有限要素法 で、FEA は FEM を適用した 有限要素解析 だ。
    awesome-mecheng の Finite Element Analysis: https://github.com/m2n037/awesome-mecheng#fea
    また、“Learning quantum Hamiltonians at any temperature in polynomial time” (2024) https://arxiv.org/abs/2310.02243 の「relaxation technique」関連スレッドもある: https://news.ycombinator.com/item?id=40396171

  • 興味深い観点だ。ちょうどこの文章でも短く触れられている 等幾何解析（IGA）の学会に行ってきたところだ。
    何度も言及されている Tom Hughes は、いまや IGA 研究コミュニティの事実上のリーダーだ。IGA には FEM の多くのつらいポイントを解決する大きな可能性がある。一般に収束率がより良く、陽解法ソルバーでより大きな時間刻みを許し、非圧縮性固体のような問題で安定性を保証するより良い方法を提供する。
    特に興味深いのは、埋め込みアプローチを可能にし、形状をメッシュ化しやすい背景格子の中に置くだけでよいので、メッシュ生成の問題がほぼ消えることだ。産業界での採用までにはまだやるべきことが多いが、FEM の未来である可能性は高い。

    • IGA の核心は、古典的な形状関数を、形状の指定に使う スプライン に置き換えることではないのか。
      記憶が正しければ、収束率はまったく同じで、このアプローチは境界を除けば形状と関心のある物理量の場が同じ空間分布を持たないという点を適切に反映できていない。
      IGA はずっと以前からあったが、「CAD 関数を再利用しよう」という小技を超えて具体化できなかった。結局のところ、普通の P-細分化と比べて実質的な利点がないまま問題だけを複雑にする。だとすれば、残っている潜在力とは何なのか気になる。
      Tom Hughes という名前には覚えがある。彼の FEM の本も持っているし、彼は長い間、おそらく何十年にもわたってその概念を推し進めてきたほぼ唯一の人物だった。理由は、計算力学コミュニティ全体がそれを見て興味深いとは感じつつも、結局は手間に見合わないと判断したからだ。要素を作るためにスプラインを使うことより、FEM にははるかに面白く有望なアイデアがたくさんある。

  • 学部時代に 1 科目履修し、大学院でもまた触れたが、いまだに Galerkin 導出や変分導出がどうしても理解できない。

    • 構造工学の観点から学んだ。どこでつまずくのか気になる。
      私の頭の中での流れはこうだ: 1. 強形式の偏微分方程式、2. 弱形式、3. 離散化された弱形式、4. 各要素で積分を数値的に計算、5. 線形システムの組み立て、6. 線形システムを解く

  • 現代的な実装に興味があるなら、SELF はオブジェクト指向 Fortran で作られたスペクトル要素ライブラリだ[1]。
    Fluid Numerics の開発者たちは、MI300A システムやその他の興味深いハードウェアでのベンチマークを近く公開する予定だ。
    [1] https://github.com/FluidNumerics/SELF