a^2 – b^2 = (a + b)(a – b) の視覚的証明
(futilitycloset.com)- 平方差の公式
a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)を図式で確認する短い数学ノート - 核心は、2つの平方の差を 和と差の積 に変える因数分解の恒等式であること
- 図式は
a^2 – b^2の面積が(a + b)(a – b)と等しくなる対応を示している - Sophie Germain の言葉のように、代数と幾何 が同じ関係を異なる形で表せることを強調している
- 公式を式だけで暗記するのではなく、面積の組み替えによって恒等式を直感的に確認できる
平方差を図式で見る
- 視覚資料 には
a^2 – b^2 = (a + b)(a – b)の 視覚的証明 が示されている - 証明の対象は、平方差を2項の和と差の積で表す恒等式である
代数と幾何のつながり
- Sophie Germain は「代数は書かれた幾何にすぎず、幾何は図式化された代数にすぎないと言われてきた」と述べている
- この引用は、数式と図式が同じ関係を異なる方法で表せることを示す文脈で添えられている
1件のコメント
Hacker Newsのコメント
こういうものが好きなら、視覚的証明だけを集めた本があり、https://www.amazon.com/Proofs-without-Words-Exercises-Classr...、Wikipediaにも関連項目があります https://en.m.wikipedia.org/wiki/Proof_without_words
数年前、博士課程の指導教員と同僚1人と一緒に、このうちいくつかをLaTeXで描き直し、https://www.antonellaperucca.net/didactics/proof-without-wor...、Pi Dayのイベントでポスターとして印刷して掲示する予定でしたが、パンデミックのためイベントは開催されませんでした
人々がファイルをダウンロードしたあと、どこで手に入れたのか忘れてしまっても、しかるべきところに功績を帰せるようにできるとよいです
視覚的証明を見るときに注意が必要な理由を扱ったこの動画を思い出します: https://www.youtube.com/watch?v=VYQVlVoWoPY
ここには、πが正確に4だという“証明”も入っています。この場合も、下で誰かが指摘しているように正当化されていない仮定があり、少なくとも b < a を仮定しています
特に、図形が縮尺どおりに描かれていると思ってはいけないと言っていて、四角形が正方形のように見えても、正方形だと書かれているか、そう判断できる十分な情報がなければ、未知の四角形として扱うべきでした。試験でそうしなければ「問題の配点以上に減点する」と言い、実際、凧形に見える図形を出しながら、角度条件は凧形ではなく平行四辺形でしか成り立たないようにして、凧形だと思い込んだ生徒に追加で減点していました
pi(n) を N ∪ {inf} 上で定義された関数として、過程の n 番目の段階で “pi” が取る値を与え、pi(inf) は実際の円での値だと定義すれば、これは単に lim n→inf pi(n) ≠ pi(lim n→inf) となる関数です。有限の n ではすべて 4 で、無限大では 3.1415... になります
「無限大」を使わないように言い換えることもできますが、こう考えるのが最も明快です。t=0 で 1、それ以外では 0 である クロネッカーのデルタ関数 delta(t) と大きくは違いません。lim t→0 delta(t) ≠ delta(lim t→0 t) です
b < aを仮定できますピタゴラスの定理の視覚的証明はこちらです: https://www.dbai.tuwien.ac.at/proj/pf2html/proofs/pythagoras...
ピタゴラスの定理は私にはすぐには直感的でないので、こちらのほうがずっと「有用」に感じられます。元記事の証明は a(b+c)=ab+ac からそのまま従うので、かなり重複的に見えます。乗法の 分配法則 についての直感を作ることは数学教育でとても重要ですが、なぜそれが真なのかという直感は、幾何に頼らないほうがよりうまく作れるように思います
注意が必要です。視覚的な「証明」を信じていると、こんなものまで信じてしまうかもしれません: https://en.wikipedia.org/wiki/Missing_square_puzzle
問題を考えながら図を描く人なら、あの図では2つの角度を同じにする意図があったか、あるいは一方の三角形は 8/3、もう一方は 5/2 なので傾きが明らかに違うことを示していたはずです
良い視覚的証明は、記号の代わりに線や図形で実際の代数を語っているだけで、結果はある意味では依然として 代数的 であるべきです。リンク先の例や有名なピタゴラスの証明も同じです。定規を取り出して測り始めたら、その時点でもう道を見失っています。あらゆる結果は視覚的ではなく代数的であるべきですが、その代数を文字の代わりに図で表すのは構いません
見る側として最初は混乱するかもしれません。3/8 と 2/5 の違いを見分けにくく、2つの三角形の傾きが同じだと仮定してしまうからです。しかし、その 視覚的証明 は実際には両者が等しくないことを正直に示しています
似たようなやり方は、平方に関する 暗算 にも役立ちます。たとえば 1005² は、1000² に 5×1000 のブロックを2つ加え、小さな 5² のブロックを足せばよいので、1,010,025 になります
逆に 995² は、1000² から同じ 5×1000 のブロックを2つ引き、5² を足すので 990,025 になります
幾何は苦手で代数は得意な人間として、これは本当に驚きだ。この図がどうやって、しかもこの特定の箱についてさえ、式が成り立つことを示しているのか、理解の糸口すらつかめない。
でも、代数を成り立たせている掛け算の関係性はとてもはっきり感じられる。例が悪いとか良いとかいう意味ではなく、人によって考え方がこんなに違うのが驚きだという意味
その中の小さな正方形は縦と横が b なので、面積は b²。本質的には小さな正方形を大きな正方形から取り除いているので、a² - b² になる。右の最後の図では、一辺の長さが (a-b)、上の辺が (a+b) なので、面積は (a-b)(a+b) だ。したがって a² - b² = (a + b)(a - b) となり、中間の段階は面積を視覚的に移し替える過程を示している
あれは、この等式が成り立つ ある a と b が存在することを示しているだけのように見える。すべての a と b について成り立つことは示していない
Futility Closet には魅力的で興味深い ポッドキャストがあった。懐かしい。それでもまだブログを書いてくれているのはうれしい
Mathologer の YouTube 動画をいくつかよく見ているが、すばらしい 視覚的証明がよく出てくる。
https://www.youtube.com/watch?v=DjI1NICfjOk (フェルマーの二平方和)
https://www.youtube.com/watch?v=rr1fzjvqztY (プトレマイオスの定理)
https://www.youtube.com/watch?v=yk6wbvNPZW0 (無理数)
https://www.matematicasvisuales.com/english/index.html も見る価値がある。
すばらしい視覚化がたくさんあり、その中には私のいちばん好きな ピタゴラスの定理の証明もある。
https://www.matematicasvisuales.com/english/html/geometry/tr...