3Blue1Brown 微積分ブログシリーズ

微積分の本質

• 微積分とは何かの概要を提供
• 学生が自分で発見できそうな形で説明
• 円の面積の公式を再発見することを中心的な例として用い、これが微積分の基本定理の一例であることを強調

導関数のパラドックス

• 導関数とは何かを紹介
• 導関数がどのように矛盾しているように見えるアイデアを形式化するのかを説明

幾何学によるべき乗則

• 多項式の各項の導関数について、幾何学的かつ直感的に紹介
• これらの公式が暗記の対象ではなく、学生が自分で発見できるものだと感じられることを目標とする

幾何学による三角関数の導関数

• 三角関数の導関数について、幾何学的かつ直感的に紹介

連鎖律と積の法則の可視化

• 微積分では、連鎖律と積の法則がまるで空中から引っ張り出されたように感じられることがある
• それらに対する直感的な考え方を探る

オイラー数 e の特別さ

• a^x の導関数は何か？
• なぜ e^x は自分自身が導関数なのか？
• 指数関数の微分則についての考え方を紹介

陰関数微分、ここでは何が起きているのか？

• 複数の入力を持つ関数と、その入力に対する微小な変化という観点から、陰関数微分の考え方を説明

極限と導関数の定義

• 極限とは何か、どのように定義されるのか
• 極限が導関数を定義するためにどのように使われるのかを説明

(ε, δ) 「イプシロン・デルタ」による極限の定義

• 「イプシロン・デルタ」が、ある値が別の値に近づくとはどういうことかを形式化するのにどう役立つかを説明

ロピタルの定理

• ロピタルの定理とは何か、そして極限を評価するのにどう役立つのかを紹介

積分と微積分の基本定理

• 積分とは何か、そしてなぜ微分の逆として計算されるのか
• 微積分の基本定理とは何かを説明

面積と傾きの関係

• 導関数は傾きに関するものであり、積分は面積に関するものである
• この2つのアイデアはまったく異なって見えるのに、なぜ逆関係にあるのかを説明

高階導関数

• 2階、3階の導関数とは何か
• それらをどのように考えるべきかを説明

テイラー級数

• テイラー級数は数学や工学で非常に有用だが、それが何なのか
• テイラー級数が有用な理由と、公式を理解する方法を紹介

テイラー級数の幾何学的観点

• 微積分の基本定理と関連づけた、テイラー級数の別の見方を紹介

導関数を可視化する別の方法

• 微積分を超えた話題にもよりよく一般化できる、導関数の可視化
• 関数を変換として捉え、導関数が与えられた領域をどれだけ引き伸ばしたり圧縮したりするかを測る方法を説明

GN⁺の意見:

• この記事は、微積分の中核概念を視覚的に理解することに焦点を当てた教育資料である。
• 導関数、積分、極限などの複雑な数学概念を、直感的で学生が自分で発見できる形で説明することが重要である。
• 特に、オイラー数 e の独特な性質とテイラー級数の幾何学的観点は、数学を学ぶ学生にとって非常に興味深いテーマになり得る。

[GN⁺]

Hacker News のコメント

• アニメーションに使われたコードが気になるなら、リポジトリはここ: https://github.com/3b1b/videos
  かなり印象的で、動画1本1本に本当に多くの作業が注ぎ込まれている
  もう一つ好きな YouTube の数学チャンネルは eigenchris で、テンソル微積分シリーズ は伝説的: https://www.youtube.com/playlist?list=PLJHszsWbB6hpk5h8lSfBk...
  3b1b とまったく対照的に、eigenchris は動画をすべて PowerPoint で作っていて、それもまた面白い

  • もう一人素晴らしい YouTube の数学講師として Eddie Woo がいる。高校の数学授業の録画だが、授業の生徒と視聴者の両方を引き込む力が本当にすごい
  • 3b1b はそうした動画を作るために Python ライブラリ を使っている
    https://github.com/3b1b/manim
    数学教育者・伝達者として特に好きな動画の一つは モンスター群 の動画
    https://www.youtube.com/watch?v=mH0oCDa74tE
    PowerPoint の話が出たついでに、Excel を本来使うべきではないやり方で使う Matt Parker の動画も見る価値がある
    https://www.youtube.com/watch?v=UBX2QQHlQ_I
  • PowerPoint は軽いアニメーションを作るにはかなり良いツール
    モーフィング遷移のような機能をうまく使えば、概念説明用としてかなりそれらしく、あるいはプロっぽく見えるアニメーションも作れる
    Web アプリケーションのワイヤーフレーム、デザインコンセプト、ロゴや Web グラフィック、アイコン、反復塗りつぶしパターン、任意のベクターグラフィックなどを作るときにも PowerPoint を使ったことがある
    強みは、このツールが非常に簡単に、広く入手できることだと思う。同じデザインツールが入ったマシンがなくても、あるいはインストーラー権限がなくても、後で成果物を簡単に編集できる

• この動画群で最も重要なのは、題材を 第一原理的思考 の観点から説明しようと努めている点
  彼の YouTube チャンネルのように線形代数を説明してくれる人がいたなら、授業のときよりずっと楽しめたし、よく理解できたと思う
  教授たちも線形代数とさまざまな分野での有用性はそこそこ説明していたが、なぜそうした題材を 線形代数の観点 で考えるのが自然なのかは、きちんと説明できていなかった
  興味がある人向けのリンク: https://www.3blue1brown.com/topics/linear-algebra

  • 今の学生は複雑なトピックを学ぶためにこんなに素晴らしい資料を使えるのかと驚く。まだそんなに年を取ったわけでもないのに、30代後半の自分が学校に通っていたころは、実質的な資料といえば教科書くらいしかなかった
    数学ブログもあったが、主にもっと高いレベルの数学に焦点を当てていた

• Grant は本当に素晴らしいコンテンツを作っている
  彼の フーリエ変換 の可視化[1]のおかげで、コンピューティングで最もよく使われるアルゴリズムの一つが、何をしているのかだけでなく、どう起きているのかまで理解できた
  [1] https://m.youtube.com/watch?v=spUNpyF58BY

  • 簡単に言うと、平たい LED ライトストリップ を置いて、Battlestar Galactica の Cylon の目を思い浮かべ、それを中央に釘を打ってぐるぐる回しているようなものだと考えてきた
    どれくらい速く回すかによって、結果としてできる光の塊の形が変わる
    単純な振動でちょうど正しい速度で回せば再び直線になり、純粋なカオスは常に丸い塊を作る、といった感じ

• 動画を見るより文章で学ぶほうがずっと効率的な人間として、文章版 まで別途作って公開してくれる制作者には本当に感謝している

• Dwarkesh Patel が以前彼にインタビューしていて、おすすめ
  https://www.youtube.com/watch?v=oDyviiN4NVo

• 数学のおすすめをもう一つ挙げるなら、YouTube の Michael Penn の数学チャンネル群が素晴らしい。より高度なトピックを学ぶのに役立っている

  • Penn の動画はかなりたくさん見ていて、たいてい楽しんでいるが、対象は明らかに 数学専攻 寄りに見える。電気工学の学士と修士を取っていて高度な数学もある程度必要だったが、それでも彼が見せる内容を完全に理解できるほどではなかった
    それが悪いという意味ではないが、大学レベルの数学の学習経験がない人はたいてい圧倒される可能性が高い

• もう一つの素晴らしい数学系 YouTube チャンネルとして Mathologer がある。ユーモア、良いグラフィック、明快な説明を備え、難しいトピックもうまく解きほぐしてくれる
  代表例はここ
  https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI

• 彼のトピック解説は一部の教授の講義をはるかに上回る水準で、教材として提供されれば多くの学生の助けになり得る。学界が自分たちの外の人々をそれほど不信視しなければの話だが

  • でも彼は学界の外の人ではないのでは? 3b1b って 博士号 を持っていなかったっけ? 少なくとも去年、自分の大学の学部数学の授業では 3b1b の動画をいくつか見た

• うちの息子は A-level 数学 を勉強中だが、別の視点とより深い理解を得るのにこれらの動画が役立った

• 3Blue1Brown は素晴らしい動画を作っている。難しいトピックを紹介したあと、各段階を明快で親しみやすいものにするのが非常にうまい