Lemniscate Constant（ϖ）: πのダークツイン

 (mathstodon.xyz)
1 ポイント 投稿者 GN⁺ 2024-12-25 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • ϖ(varpi) は、πが円と三角関数に結びつくのと同じように、∞の形をした lemniscate と変形三角関数 sl、cl に結びつく定数である
  • lemniscate は、2点までの距離の積が一定となる Cassini oval の特別な場合であり、極座標式 r² = cos2θ で表される
  • 単位円の周長が 2π であるように、この lemniscate の周長は 2ϖ で、ϖ ≈ 2.62205755... として1兆桁以上まで計算されたことがある
  • sl と cl は sin、cos に対応する lemniscatic elliptic functions であり、sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1 のような変形恒等式を持つ
  • ϖ は Gaussian elliptic curve や算術幾何平均にもつながっており、AGM(1, √2) = π/ϖ という比はガウス定数と呼ばれる

πに似た定数 ϖ

  • ϖ は π の「evil twin」のように、πとよく似た性質や公式を多く持つ数である
  • πが円と三角関数 sin、cos に結びつくように、ϖ は ∞ 形の曲線である lemniscate と関数 sl、cl に結びつく
  • ϖ は lemniscate constant と呼ばれる
  • Unicode の ϖ 記号はギリシャ文字 pi の筆記体形で、varpi または pomega とも呼ばれる

積分式と似た積の公式

  • πとϖは積分式でも似た形で比較される
    • π = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x²) ≈ 3.14159
    • ϖ = ∫_{-1}^1 dx / √(1 - x⁴) ≈ 2.622057
  • 両方の定数は、入れ子になった平方根の形を持つ積の公式とも結びついている
    • π側の公式は 2/π を表す
    • ϖ側の公式は似た構造を保ちながら、一部の項が 除算の形 に変わる

lemniscate と周長

  • 2点までの距離の積が一定となる曲線群は Cassini oval である
  • その中で ∞ の形になる特別な曲線が lemniscate であり、ϖと直接結びついている
  • この lemniscate の極座標式は次のとおりである
    • r² = cos2θ
  • 単位円の周長が 2π であるように、この曲線の周長は 2ϖ である
    • ϖ ≈ 2.62205755...
    • この数は 1兆桁以上 まで計算されたことがある

sl、cl 関数と変形三角関数

  • 円で sin と cos を定義できるように、lemniscate では sl と cl という関数を定義できる
  • 一般的な三角関数の恒等式の多くには、sl と cl に対応する変形版がある
  • 代表的な対応関係は次のとおりである
    • 一般三角関数: sin²θ + cos²θ = 1
    • lemniscate 関数: sl²θ + cl²θ + sl²θ cl²θ = 1
  • sl と cl のグラフは Lemniscate elliptic functions で見ることができる

楕円曲線とガウス定数

  • ϖとその変形三角関数は Gaussian elliptic curve と結びついている
  • 複素平面を正方格子に分けると、この楕円曲線を得ることができる
    • 複素平面の任意の格子は楕円曲線と楕円関数を作る
    • 正方形は他の平行四辺形より対称性が高く、この場合は特に良い例になる
  • ガウスは、この楕円曲線が 算術幾何平均 と結びついていることを発見した
  • 1 と √2 の算術幾何平均は π/ϖ であり、この数は ガウス定数 と呼ばれる
  • 関連する説明は Lemniscate constant にある
  • より一般化された数列 ϖₙ もある
    • π は ϖ₂
    • ϖ は ϖ₄
    • ϖₙ は特定の対称的な hyperelliptic functions と関連しているとみられる
    • 関連記事は June 2022 diary entry にある

関連記事

1件のコメント

 
GN⁺ 2024-12-25
Hacker Newsのコメント

  • この議論のおかげで、新しくお気に入りの地図を見つけた: Peirce quincuncial projection
    [https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projec...](https://en.wikipedia.org/wiki/File:Peirce_Quincuncial_Projection_1879.jpg)

    • もっと多くの図法は親切なPDF「An Album of Map Projections」にあり、この図法は190ページに載っている
      もっとお祭りっぽい例なら156ページのBerghaus star projectionを見るとよい
      [1]: https://pubs.usgs.gov/pp/1453/report.pdf (1989)
    • これは最大限に拡張されたPenrose diagramとかなり似て見える
    • Quake 3のMODで、同じ図法が視野角を劇的に広げる用途に使われているのを見た気がする

  • それを防いでくれる幸運の四つ葉のクローバーのお守りも使える。極座標グラフ r=cos(2theta) だ
    https://www.wolframalpha.com/input?i=+plot+r%3Dcos%282theta%...
    その周長は定数 4*E(-3) ≈ 4 * 2.4221 でも定義できる
    [https://www.wolframalpha.com/input?i=plot+r%3Dcos%282theta%29+from+theta+%3D+-pi%2F4+to+pi%2F4\)" class="ud link">https://wolframalpha.com/input/…

  • 「この∞型の曲線は『leminscate』といい、ϖは『lemniscate constant』と呼ぶ。次の文章で leminiscate を示す」という一文が紛らわしかったので確認してみたが、正しい綴りは lemniscate で合っている

  • πは1点からの距離で定義される円から出てきて、ϖは2点からの距離で定義されるベルヌーイのレムニスケートから出てくる
    では、3点からの距離で定義される図形から出てくる似た定数もあるのだろうか?

    • ある。πは円周で、ϖはレムニスケートの周長だ。3点を使うとしずく形が3つできて、その周長を計算できる
      とりあえず trilemniscate と呼ぼう ;)
      ここに3Dグラフがある。+Zから真下に見ると、XY平面と立体が交わるところに trilemniscate が見える。平面との交差を可視化するために積から1を引いてあり、3点版をオフにして2点版をオンにすると比較もできる
      https://www.desmos.com/3d/dl9v2vqbqb
      興味深いことに、2点でも3点でもレムニスケートと trilemniscate の内部面積は同じだ。点が円周上に等間隔に配置されていれば、さらに多くの点でも成り立つ。もちろん周長は点を増やすほど無限大に向かう
    • 3点からの距離という考え方は、距離関数やさらには測度論まで絡んできて複雑になる
      2点なら常にそれらを結ぶ最短経路があるので、定数はその事実に関するものだが、3点からは可能な三角形の形全体を扱わなければならない

  • 「∞型を◯型より重要だと考える文明があると信じるほど文化相対主義者ではない」という部分について言えば、そういう存在は我々のような「線形」存在ではなく、対数的存在なのかもしれない
    レムニスケートは幾何平均に基づいており、これは実質的に乗法平均、あるいは対数空間での平均だ。線形空間の加法平均とは対照的である
    もし我々が直感的な加算には強いが直感的な乗算には弱い線形存在なら、対数空間に住み、思考が乗算に基づく存在もありうる。彼らにとって円はレムニスケートなのだろう

    • 人間は実際には直感的に対数尺度で考える傾向がある。西洋式の初等算術教育を受けていない人々は、差よりも比率を中心に考える傾向があり、進化的にもそのほうが適応的だという理論もある
      https://www.scientificamerican.com/article/a-natural-log/
    • 人間には、光の明るさ、音の大きさ、音楽のオクターブや相対的な音高のように、対数的反応がかなり多い

  • 教授が指摘したように、πとその邪悪な双子の比は約1.198で、これは sqrt(2) と 1 の算術幾何平均である
    幾何のほうには平方根が入っていて、平方根は高コストだ。だから算術平均が幾何平均へ収束するなら、算術-幾何-調和平均不等式により調和平均にも収束するはずで、調和平均には高価な平方根が要らないのではと考えた
    https://imgur.com/a/UkxkPzW
    算術平均-幾何平均の収束はほとんど即座で2ステップで済むのに、調和平均でGauss定数に使える収束を得るには15ステップほど必要だというのがなかなか面白い。平方根のような高価な演算子は排除できるが、その代わり反復回数でコストを払うことになる

    • 計算した c の値は b の値の計算に依存しているので、平方根を避ける再帰として実行されているわけではない
      同じ算術幾何平均の数列を計算したあと、その数列の上で特定の重み付き調和平均を取っているだけで、元の数列が収束するのでそれも収束するということだ
      ちなみに意図している算術-調和平均は単なる幾何平均だ。算術幾何平均ではなく純粋な幾何平均である: https://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-HarmonicMean.html

  • 他の注目すべき定数とその現れ方: Euler–Mascheroni定数は調和級数・ガンマ関数が絡む積分と和、Catalan定数は特定の三角級数と格子Green関数、Feigenbaum定数はロジスティック写像と力学系のカオス、Khinchin定数は単純連分数の部分商、Glaisher–Kinkelin定数はBarnes G-関数の漸近展開・組合せ論的極限・特定の積展開、Ramanujan定数は楕円曲線の複素乗法、Omega定数は Ωe^Ω=1・Lambert W 関数・x^x^x^...=2 に現れる

    • x^x^x^... = 2 というのがどういう意味なのかわからない。その解は sqrt(2) ではないのか?
    • Ramanujan定数 が楕円曲線演算とどう関係するのか説明が必要だ

  • これらは双子ではないのが明らかに見える。πとϖは、無限に多くいる兄弟 ϖₙ のうちの2つだと言うべきだろう

  • なぜ2つだけなのか? なぜ3点ではだめなのか? N個の点からの距離の積が一定となる曲線に、面白い図形は見つかるだろうか?
    より高次元でも、1点なら球になるが、2点のときはどんな形になるのだろう? 砂時計のような二重のしずくに近いのだろうか?

    • 一般化はある。Twitterがナチの酒場になる前、piのような数をそれぞれ固有の公式の束とともに探してみろというチャレンジが投稿され、@duetosymmetry がそれを受けて ϖₙ たちを作った
    • 3点について言えば、1点と2点は特別だ。これらの場合、平行移動と一様な拡大縮小を除けば配置は1つしかない
      しかし3点からは、相似な三角形の数だけ配置がある。各三角形の相似類ごとに数を得ることはできるだろうが、すべての相似類にまたがって同じ定数が出ると期待すべきではない

  • 「この∞型の曲線は『leminscate』といい、ϖは『lemniscate constant』と呼ぶ。次の文章で leminiscate を示す」で、3つの綴りのうち2つは間違っているように見える