レムニスケート定数 (ϖ)：πの闇の双子（Evil Twin）

 (mathstodon.xyz)
1 ポイント 投稿者 GN⁺ 2024-12-25 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • π（パイ）と同様に、ϖは重要な数学定数
    • πは円と三角関数（sin, cos）に関連する
    • ϖは、無限大（∞）形状のレムニスケート（lemniscate）と新しい三角関数（sl, cl）に関連する
  • レムニスケートは、2点からの距離の積が一定になる曲線（カッシーニの卵形線）の特殊な場合であり、∞形状を持つ
  • ϖは「レムニスケート定数」と呼ばれ、概ね2.62205755に対応する

レムニスケートとϖ

レムニスケートの定義

  • 極座標でレムニスケートは「半径の2乗は角度の2倍に対するコサイン値」と表される
  • 円の周長が (2π) に対応するように、レムニスケートの周長は (2ϖ) に対応する

ϖの三角関数：slとcl

  • 円の三角関数（sin, cos）と同様に、レムニスケートでは sl と cl という関数が存在する
  • たとえば、三角関数の「sinの2乗＋cosの2乗は1」という公式は、レムニスケートでは次の形に類似して変換される：
    • slの2乗＋clの2乗＋slの2乗とclの2乗の積が1

πとϖのつながり

  • πとϖは類似した公式とパターンを共有し、πはϖ系列定数の1つ
  • πはϖ₂で、ϖはϖ₄として表され、πとϖの間には別の定数ϖ₃が存在する
  • この系列定数は独自の数学的構造を示し、より複雑な曲線と関数と関連している

ϖとガウスの発見

  • ガウスは、レムニスケート定数が算術・幾何平均（Arithmetic-Geometric Mean）と関連していることを発見した
    • 算術・幾何平均は2つの値の算術平均と幾何平均を反復的に計算して収束値に到達するプロセス
    • たとえば、1と√2の算術・幾何平均はπとϖの比として表され、これは「ガウス定数」として知られている

高次定数 ϖₙ

  • ϖₙはハイパー楕円関数と曲線に関連する
    • ハイパー楕円曲線はリーマン球面の2重被覆で定義され、(n)次対称点（1の(n)乗根）に分岐点が生じる
    • これらの定数は高次曲線の対称性と独特な特性を反映する

参考資料とリンク

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1件のコメント

 
GN⁺ 2024-12-25
Hacker Newsのコメント
  • "lemniscate"という綴りが紛らわしいので確認してみた。議論のおかげで新しいお気に入りの地図を見つけた
    • Peirce Quincuncial Projectionという地図
  • 保護のために幸運のクローバーのお守りを使うことができる
    • 極座標では r=cos(2θ) で表される
    • 周長は定数 4*E(-3) ≒ 4 * 2.4221 として定義される
  • πは円から生まれ、1点からの距離として定義される
  • ϖはベルヌーイのレムニスケートから生まれ、2点からの距離として定義される
  • 3点で定義される形から同様の定数があるのか気になる
  • πとそのツインの比率はおよそ1.198で、これはsqrt(2)と1の算術・幾何平均
    • AMがGMへ収束するなら、AM-GM-HM不等式によりHMにも収束するはず
    • HMは高価な平方根計算を必要としない
  • AMとGMの収束はほぼ即時
    • Gauss定数のHMへの収束には約15ステップ必要
    • 高価な演算を回避できるが、反復回数は多くなる
  • 他にも注目に値する定数:
    • Euler–Mascheroni定数: 調和級数、ガンマ関数に関連する積分と和
    • Catalan定数: 特定の三角級数、格子グリーン関数
    • Feigenbaum定数: ロジスティック写像、動的システムのカオス
    • Khinchin定数: 単純連分数の部分商
    • Glaisher–Kinkelin定数: Barnes G-関数の漸近展開、組合せ的極限および特定の積展開
    • Ramanujan定数: 楕円曲線の複素数乗算
    • Omega定数: Omega * e^Omega = 1, Lambert W関数, x^x^x^... = 2
  • 文化相対主義者ではないが、∞の形が◯の形よりも重要だと考える文明があるとは信じていない
    • 対数空間で生きる存在がいるかもしれない
    • 彼らの円はレムニスケートかもしれない
  • πとϖは無限の兄弟たちの中の2つにすぎない
  • なぜ2点だけ？なぜ3点じゃない？
    • N点での距離の一定積で作られる、面白い曲線を見つけることはできるか？
    • 高次元では1点に対して球がある
    • 2点に対する形とは何か？砂時計のような二重水滴なのか？
  • この形が円より文明にとってより重要になる、というのは面白いSFの設定になりうる