スクエア理論

 (aaronson.org)
2 ポイント 投稿者 GN⁺ 2025-05-28 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • 言葉遊びやクロスワードでは、4つの頂点と4つの関係が閉じた四角形の構造を作ると、偶然の発見のように堅固で満足感がある、というアイデア
  • 出発点はCrosscordの #etuiposting で生まれたdouble doublesで、PUB/BAR と QUIZ/EXAM のように2組の同義語が、PUB QUIZ と BAR EXAM という別々の句へとつながる構造
  • このパターンは同義語の組み合わせを超えて、クエスチョンマーク付きクロスワードの手がかり、論文タイトル、ブランド名、言葉遊びのジョークにまで広がり、4辺の関係が強いほど説得力も増す
  • 四角形は三角形と違って、互いに接していない向かい合う辺があり、その間のつながりがより意外で優雅に感じられる
  • クロスワードは手がかり、テーマ、グリッドのすべてが四角形の構造を共有しており、すべての文字が Across と Down の単語に同時に属する再帰的な構造が満足感を生む

Crosscordから始まった double doubles

  • 話は、5,000人以上が集まるクロスワード Discord サーバー Crosscord で始まった
  • #etuiposting は ETUI というクロスワード風の語から名付けられた雑談・言葉遊びチャンネルで、2022年1月に Alex Boisvert がちょっとした観察を投稿した
  • Will Nediger は MULTITOOL と MULTIPLIERS を例に挙げ、Alex は続けて PUB QUIZ と BAR EXAM を持ち出した
    • PUB と BAR は互いに同義語
    • QUIZ と EXAM も互いに同義語
    • しかし PUB QUIZ と BAR EXAM は互いに同義語ではない
  • こうした「ペアのペア」はその後1年間にわたって投稿され続け、やがて #double-doubles という独立したスレッドに集められた
  • Alex の最初のプロンプトから3年が過ぎた時点でもスレッドは活発で、投稿数は3,000件以上にのぼる

スクエア理論の基本構造

  • double doubles は、4つの単語を頂点に、単語同士の関係を辺に置いた四角形として見ることができる
  • この閉じた構造が、例を単なる言葉遊びではなく「発見」のように感じさせる
  • Ricki Heicklen は2018年から、この種の double doubles を「Unparalleled Misalignments」という名前で大きな一覧にまとめてきた
  • 四角形を構成する関係は、必ずしも「同義語」や「句」である必要はない
    • 各辺は、頂点同士を結ぶどんな関係でもよい
    • 関係が強いほど、四角形も強くなる
    • 頂点もまた、単語ではなくエンティティや概念でありうる
  • この抽象性は数学の 圏論(category theory) を思わせ、何を頂点と辺にするにせよ、四角形の位相が満足感を生む

クエスチョンマークの手がかり、名前、ジョークに現れる四角形

  • クロスワードのクエスチョンマーク付きの手がかりは、表面的な意味と意図された解釈のあいだを行き来しながら答えを指し示す、四角形の構造をしばしば持つ
  • Will Shortz が最も好きな手がかりとして挙げた、1995年の Martin Ashwood-Smith のパズルにある “It turns into a different story” が代表例
    • 表面的には「別の状況へと発展する」のように読める
    • 意図された解釈は「別の階へ回転して上がる」に近い
    • 答えは SPIRAL STAIRCASE
  • 論文タイトルや会社名も、ただ「もっともらしい」名前であるより、四角形を完成させるときのほうが強く印象に残る
  • Brand New は企業リブランディングを扱うブログで、その名前自体が四角形を完成させる例になっている
  • Grubhub も、フードデリバリーのための中央アプリという概念と名前との関係が、四角形の構造として読める
  • 言葉遊びのジョークもまた四角形としてモデル化できる
    • 1辺は「XにYがあったら何と呼ぶ？」のような無理やりな設定
    • 向かい合う辺はオチ
    • 設定、オチ、その間のつながりがいずれも強いほど、うまく機能する

なぜよりによって四角形なのか

  • 閉じたループ自体は、辺の数に関係なく魅力的でありうる
    • 話が出発点へ戻ってくる構造も満足感がある
    • 互いに知り合いである3人の三角関係を見つけるのも興味深い
  • 四角形は、互いに隣接しない辺を持つ最も単純な多角形である
  • 三角形ではすべての辺が他の2辺と接しているが、四角形では向かい合う2辺に共通部分がない
  • そのため、向かい合う辺のあいだのつながりは、より偶然的で驚きに満ちたものとして感じられる
  • 五角形以上でも同じ性質はあるが、辺が増えるにつれて複雑さが増し、優雅さは薄れるかもしれない
  • Alex Boisvert の JET BLACK / JETBLUE の例は三角形のようにも見えるが、JET BLACK の jet は宝石の jet に由来し、JETBLUE の飛行機の jet とは語源的に無関係なので、四角形として見るほうが適切である

クロスワードテーマの堅牢さ

  • アメリカ式クロスワード、特に New York Times 風のパズルは、通常4〜6個の長い Across 項目からなるテーマを持ち、それらを束ねるrevealerが含まれることが多い
  • 現在のクロスワード作者のあいだでは、「有名なバスケットボール選手」や「シリアルのブランド」のような単純なまとまりより、言葉遊びベースのつながりがあるほうが、解き手が「aha」を感じやすいという認識が一般的である
  • 良いテーマには一貫性と「tightness」が重要だが、とりわけ強く印象に残るテーマは四角形を完成させることが多い

  • 2025年2月17日の New York Times パズル

    • Kate Hawkins と Erica Hsiung Wojcik の 2025年2月17日の New York Times クロスワード は、SCRAPBOOK、POPEYES、UNDER PRESSURE、GIDDY UP をテーマ項目として使っている
    • 各項目は末尾に肯定表現の OK、YES、SURE、YUP を含む
    • revealer は YEAH RIGHT で、手がかり “Uh-huh, I bet” とともに、各テーマ項目の右側に YEAH の同義語があることを文字通り説明する役割も果たす
    • YEAH RIGHT は単なる説明ではなく慣用句でもあるため、このテーマは四角形を完成させる

  • 2019年2月18日の New York Times パズル

    • Leslie Young と Andrea Carla Michaels の 2019年2月18日の New York Times クロスワード は、NIGHT NIGHT、WHITE WEDDING、MUSHROOM BALL をテーマ項目に据えている
    • revealer は CAP AND GOWN で、卒業式の服装という意味を持つと同時に、各複合回答が作る構造を説明している
    • 各テーマ項目の前半は CAP の前に置けて、後半は GOWN の前に置ける
    • MUSHROOM CAP
    • BALL GOWN
    • このテーマは、各項目につき1つ、合計3つの四角形としてモデル化できる

  • 2021年8月18日の New York Times パズル

    • Alina Abidi の 2021年8月18日の New York Times クロスワード は、PIN THE TAIL ON THE DONKEY と WHITE ELEPHANT を中核テーマ項目として使っている
    • revealer PARTY ANIMAL は、両項目が動物名を含むパーティーゲームである点をつなぐ
    • 2つ目の revealer THOMAS NAST は、Thomas Nast の政治風刺画を通じて、DONKEY と ELEPHANT がそれぞれ Democratic Party と Republican Party を象徴する動物であることを示す
    • 各テーマ項目は、四角形に追加の対角線が入った構造となり、動物と政党との関係がその対角線をなす
    • クロスワード全体をグラフに還元することには限界があるが、スクエア理論は多くのパズルにおけるテーマの複雑さと堅牢さを見るうえで、有用な代理指標になりうる

Scrabble とクロスワードグリッドの四角形構造

  • Scrabble や Bananagrams では、新しく置く単語はすでに盤上にある単語と交差しなければならない
  • あるプレーでは、1語ではなく2語と同時に交差して、単語の長方形を作ることがあり、そうした配置は特に満足感がある
  • このときの関係は「2文字を両方含む単語」なので、やや弱く見えるかもしれない
  • すべての文字がちょうど2語の一部になる、密な四角形ネットワークを作ることが可能で、それがアメリカ式クロスワードである
  • アメリカ式クロスワードでは、すべての文字が Across の単語と Down の単語の両方に同時に含まれなければならないため、すべての文字が四角形の頂点になる
  • クロスワード作者がグリッド埋めの最後の隅を合わせるときに感じる「カチッ」とはまる感覚は、四角形が閉じる感覚に似ている

創作フレームワークとしてのスクエア理論

  • クロスワードの手がかり、テーマ、グリッドはすべて、同じ抽象構造である四角形を共有している
  • 四角形が本質的に満足感を与えるなら、クロスワードは再帰的に四角形的な構造を持つ芸術形式のように見えてくる
  • 創作者は、論文タイトル、ブランド名、ジョーク、クロスワードテーマ、クエスチョンマーク付きの手がかりを作るとき、四角形が完成しているかを点検できる
  • 物語、ニュース、ブログ記事においても、出発点へ戻ってくる構造や「full square」構造が根本的な価値を持ちうる

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1件のコメント

 
GN⁺ 2025-05-28
Hacker Newsのコメント

  • 長距離運転中の暇つぶしにちょうどいい言葉遊びゲームが好き
    特に好きなのは、韻合わせとスクエア理論を混ぜたゲームで、1人が完全に韻を踏む2つの単語を選び、それぞれの単語について、たいていは同義語のようなヒント語を1つずつ決める。その2つのヒントを言うと、ほかの人が元の韻を踏んだペアを当てるというもの
    ヒントから元の韻を逆算する楽しさがあり、小さな論理パズルを解いている感じがする。新しい問題を作るのは簡単だが、当てるのは意外に難しく、それでも構造があるので、たいていは解けるようになっている
    似た説明は https://bestlifeonline.com/jeopardy-rhyme-time-opera-version... にあるが、すでに慣れ親しんでいる人が多いカテゴリの説明を探すのは意外に難しい

    • うちの家族は長距離運転中に Match Three をやる。1人が3つの単語を出し、その前か後ろに付いて3つのどれでも完成させられる単語を当てた人が次の出題者になる
      同音異義語や固有名詞も許可している。たとえば (Fox, Lone, Crossed) なら答えは Star
      Star Fox はSNESの有名なレールシューターで、Lone Starr はDark Helmetにラズベリーを食らわせる度胸のある唯一の男、Star Crossed は関係が悲劇に終わる運命にある2人を指すシェイクスピア風の表現
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Rhyming_slang を思い出した
      ライミング・スラングは、よくある単語を2語以上からなる句に置き換え、その最後の単語が元の単語と韻を踏むようにしたうえで、ほとんどの場合、末尾の韻を踏む単語を省いてほのめかしだけを残す形で作られる
    • 数年前、友人たちとのグループチャットで似たことをしていた。韻はなく、ビデオゲームのタイトルを大まかな同義語で言い換えるやり方だった
      例の答えをrot13で書くとこうなる: Strange, this reunion = Zntvp gur Tngurevat, Boat pork refuge = Nexunz Nflyhz, Donkeybutt taverns gospel = Nffnffvaf Perrq, Caring for the elderly = QBGN, Belongs to me create = Zvarpensg, Superclock = Birejngpu, Top Stories = Ncrk Yrtraqf, Skyline no morning = Ubevmba Mreb Qnja
    • 旅行向けではないが Codenames をおすすめする。面白い連想を無理やり作らせ、相棒を怒らせるという、優れたゲームであることを示す確かな印がある
      https://boardgamegeek.com/boardgame/178900/codenames
    • うちの家族はそのゲームを「pink mink」と呼んでいる

  • ダジャレのスクエア理論の話を見て、古典的なかかしジョークを思い出した。より高次元のスクエア理論の例のように感じる
    「なぜかかしは賞をもらったのか？」「自分の分野で卓越していたからだ」
    かかしの仕事は文字どおり畑に立っていること（out standing in his field）で、自分の仕事で卓越しているという表現も outstanding in his field になり得る、という点が驚くべき言語的偶然のように見える

    • 古典的な「なぜニワトリは道を渡ったのか」もこのジャンルに当てはまるが、「向こう側へ行くため」が生から死へ渡るという意味だということを、みんなあまり知らないようだ。これを説明するたびに、人々はその意味を知らなかったと言って驚く
    • 「友人が誤って透明インクを1瓶飲んでしまい、いま病院で診てもらうのを待っているところだ」というのもある
      Waiting to be seen が病院では診察を受けるのを待つという意味で、透明インクの文脈では見えるようになるのを待つという意味になるのが面白い
    • 関係はないが、この古い文を思い出した: Time flies like an arrow. Fruit flies like a banana.
    • 本当に偶然だろうか？ まず outstanding in his field という表現から始めて両義性に気づき、実際に畑に立っている職業があるか考えたのかもしれない。かかしはその一つにすぎない
    • 2つの意味はかなり近いように見える。偶然というより、ある領域で際立っているという意味だ

  • Leibnitzは「音楽とは、人間の精神が自分が数えていることに気づかないまま数えながら感じる喜びである」と言ったことがある。おそらくクロスワードを解くことは、精神が群論をしながら感じる喜びなのかもしれない

    • Oliver Sacksの『妻を帽子とまちがえた男』にも似た主張が出てくる章がある。算数はできないが、互いにだんだん大きな素数を言い合うゲームをしていた自閉症の双子の事例で音楽を説明している
      基本的に、音楽と和声は音の間の数的関係を生まれつき鑑賞することであり、素数を言うことは、数の間に数的関係がないことを鑑賞するのに似ている、という見方だ。周波数・数・この記事の場合は単語といった互いに異なるものの間の共鳴を経験することは、それらの対象を実際に操作する能力とは別に、非常に強く存在し得る。興味深い読み物だ
    • 古典的な論文 Explanation as Orgasm を思い出した
      https://link.springer.com/article/10.1023/A:1008290415597
    • 隠れた規則のもとですべてのピースがぴたりとはまるとき、深い満足感がある

  • クロスワードのグリッドをスクエア理論として見る説明がしっくりくるなら、私の単語ゲーム https://spaceword.org も気に入ると思う
    目標は 21個の文字を、できるだけ密な正方形の中に配置すること。まだ「完璧な」パターンを作った人はいないが、空きマス3つだけまで迫るケースは多く、かなり近いところまで来ている

    • 面白いゲーム。ただ、人々が完璧なパターンに かなり近いという表現には同意しにくい
      完璧なパターンを作るには、7文字の単語を3つ隣接する行に積み、各列に3文字の単語ができるようにする必要がある。たとえば operate / arrowed / resends のような配列は存在するが、非常にまれだ
      7文字単語3つの組み合わせのうち、有効な配列を作れる割合はおよそ0.002%程度だと見積もっている。標準的な ETAOIN の文字頻度を使うなら、通常21文字の束には7文字単語3つの組み合わせは数えるほどしか出てこないので、特定のパズルが完璧な解を持つ確率は0.1%を大きく下回る
      一方で、8x3のグリッド内で21個のタイルを並べ替える方法は12,000倍多く、単語の選択もより寛容だ。ETAOIN 分布から7文字を引いたとき、その順序が7文字単語1つになるより、3文字単語と4文字単語が続く形になるほうがはるかに多い。ほぼすべてのパズルは、8x3に収まる解を少なくともいくつか持つはずだ
      さらに、グリッドの幅が10マスしかないため、空きマス3つが不完全な配置の中では最善になる。空きマス1つは23文字の単語1つでしか可能でなく、空きマス2つは10文字の単語の隣に11文字の単語が必要だが、11文字の単語は10x10グリッドに入らない
    • 初めてこのゲームを見たときに思い浮かんだのは spaceword golf だった
      ゴルフのように、可能な限り小さい正方形から始めて、段階ごとにサイズを大きくしていく方式だ。正方形がどれだけ完璧かに応じて、スコアはより低くなる
    • 「daily」ではない spaceword バージョンもあるのか？ あるならやってみたい
    • Spaceword はスクエア理論とまさに同じ、脳のかゆいところを掻いてくれる

  • 引用文を画像で入れられると、切り貼りできないので嫌だ
    たとえば Jet black/Jet Blue、catnap/dognap のようなものだ
    好きな例は、前置詞が慣用句の意味を変える仕組みだ。down for と down with は似た意味だが、down on は反対の意味になる。そして going down to X は going down on X とまったく違う意味になる。最後の例は HN 的にも興味深く、前置詞が X の束縛に型制約を課すため、something ではなく X を使う必要があった

    • この場合、テキストは ALTタグに入っているので、ブラウザが表示してくれるなら助けになるはずだ
    • 昔ほどではない。どのデバイスを使っているのかは知らないが、iPhone ではその画像内のテキストを自然にコピーできる
    • Down for lunch? Down with lunch! 朝食のほうがおいしい
    • down for something は up for something とほぼ同義でもある

  • 非ネイティブの友人が本当に翻訳ミスで言った言葉の中で、いちばん好きな例は Hand job だ。言おうとしていたのは manual labor だった

    • 日本の vtuber にも似た有名な出来事があった: https://www.youtube.com/watch?v=UeQ5K5DQiDI
    • 中国語では 手工 は文字どおり手で作ったものに近いようだ。2文字目の 工 も仕事や職業を意味しうるようだが、性的表現としての慣用句はそこでは別の形らしい
    • バスケットボールの試合でシュートが外れたのを見ていた非ネイティブが「Another rim job!」と言うのを聞いたことがある
    • 映画 The Jerk にも、同じ意図的な誤解を使ったジョークがある
    • マニキュアを冗談で handjob と呼ぶのも聞いたことがある

  • この発想は賢くて、もう少し考えてみたくなる。ある意味では、標準的な SAT 風の類推問題、たとえば Lumen : Brightness = Inches : Length を正方形の中に入れられるし、ほとんどのクロスワードのヒントも奇妙な SAT類推問題として表現できる、という話に見える。もしかすると類推を広げすぎているのかもしれない
    ただし筆者が Donkey、Elephant、Party の間のつながりとして示した「対角線」は正確ではないと思う。要点は Donkey と Elephant がどちらも Party Animal であることだ。Animal の部分は無視できず、それが両者を説明している。それぞれ自分の政党を代表する動物、つまり party animal なのだ
    これをスクエア理論で正しく表現する方法はよくわからないが、単に Party をその動物に結びつけるだけではない

  • Algirdas Greimas の 記号論的四角形がゲームの第一原理から導かれるのを見るのは、かなりわくわくする
    https://en.m.wikipedia.org/wiki/Semiotic_square

  • いい記事だ
    Grubhub の四角形は、別の代案でもうまくはまる。Grubclub、Bitesite、あるいは Eatmeet も可能だが、最後のものはちょっと微妙だ

  • 文章の「気の利いた部分」のかなり多くは、もっと複雑な図形にも当てはめられそうだ。特に、文学古典を本当に好きな人だけが好みそうな古典ではそうだ
    たとえば5人の主人公がいて、5本の画鋲と1本の糸で 五芒星を作るように、ある1つのやり方ですべてが結びついているが、同じ画鋲の配置で作った五角形のように、まったく別の無関係なやり方でも結びついている物語のようなものだ