- すべての隣接ノードが抵抗 R で接続された無限正方格子では、隣接する2つのノード間の有効抵抗は、対称性と重ね合わせにより R/2 になる
- この計算では、あるノードに電流を流し込む場と隣接ノードで電流を吸い出す場を重ね、各ノードの電圧が周囲4ノードの平均に従う 離散ラプラス方程式 を用いる
- ただし「電流が無限遠へ流れ去る」という説明は厳密ではなく、あるノードから無限遠までの抵抗は 奇数調和級数 のように発散する
- したがって解を定めるには、大きな有限格子の極限のような 漸近境界条件 が必要であり、条件のない真の無限格子では解が任意になりうる
- 一般の2ノード間の抵抗は差分方程式とフーリエ級数の重ね合わせで計算され、単位抵抗を基準にすると対角隣接ノードの抵抗は 2/π になる
隣接ノード間の抵抗を求める対称計算
- 正方格子のすべての隣接ノード対の間に抵抗 R があり、格子は全方向に無限に続いていると仮定する
- 中心となる問いは、隣接する2つのノード、より一般には任意の2つの格子ノードの間の 有効抵抗 をどう求めるかである
- 隣接ノードの標準的な解法では、電流場を2つに分けて重ね合わせる
- あるノードに電流を注入する格子
- 隣接する別のノードから同じ電流を取り出す格子
- 各ノードの電圧は、周囲4ノードの電圧の平均を満たす 離散ラプラス方程式 に従い、線形性のため解を重ね合わせられる
- たとえば1つのノードに 4A を注入すると、対称性により4方向の抵抗へそれぞれ 1A ずつ流れるとみなせる
- これに隣接ノードで 4A を取り出す電流場を重ねると、2ノードを直接結ぶリンクには合計 2A が流れる
- 直接リンクを除く残りの格子経路も同じ電流を分担して運ぶため、直接リンクの抵抗と残りの格子の有効抵抗は等しくなる
- 直接リンクと残りの格子が並列を成すので、全体の有効抵抗は R/2 である
無限遠の境界条件が生む落とし穴
- 対称性による議論は直感的で、他の方法でも同じ答えになるが、1つのノードに入れた電流が無限格子でどこへ行くのかは明確に扱っていない
- 「無限遠で接地される」という説明だけでは十分ではない
- 中心ノードを囲む同心正方形の経路を考えると、外側へ行くほどリンク数は 4, 12, 20, 28, … のように増える
- それに対応する無限遠までの総抵抗はおおよそ 奇数調和級数 の形となり、発散する
- 1つのノードから無限遠へ電流を流すには、ノードと「無限遠」の間に 無限大の電圧 が必要になる
- より厳密なアプローチでは、まず大きな有限格子を置き、格子サイズを大きくする極限で求める結果に近づくかを確認する
- 正電流ノード中心の有限格子と負電流ノード中心の有限格子の極限が、互いに整合する境界条件へ収束しなければならず、このとき無限遠への正味電流は 0 でなければならない
- 関連する議論は 別のノート にあり、真の無限格子は漸近境界条件なしでは解が 不定 のままになる
物理的理想化と解の非決定性
- 無限格子の電流場が、すでに無限遠まで完全に形成されていると仮定するのは、現実の物理過程としては有限時間内に実現できない
- この問題の格子は理想的な抵抗だけを含み、静電容量やインダクタンスを持たないとみなすため、回路の動力学は考慮しない
- この理想化をそのまま押し進めると、電流場が無限遠まで瞬時に形成されうるという結論になり、現実の回路における 有限の伝播速度 と合わない
- すべての実際の回路には静電容量とインダクタンスがあるため、伝播速度が無限大になることはない
- 答えが一意に定まるように感じられるのは、大きな有限格子の極限のような、局所的な電流源から生じる物理的にもっともらしい 漸近的挙動 を暗黙に与えているからである
差分方程式による一般化
- より一般的な2ノード間の抵抗は、基本的な 差分方程式 の解を重ね合わせて求める
- 1次元の単位抵抗格子では、原点で 1A を取り出し、他のノードの正味電流を 0 とすると、電圧解は距離の絶対値に比例する
- その結果、1次元で k 個の抵抗だけ離れた2ノード間の有効抵抗は、予想どおり kR になる
- 2次元格子では、ノード
(m,n) の正味電流は4つの隣接ノードとの電圧差で表され、正味電流が 0 のノードは2次元差分方程式を満たす
- 解は
μ^m ν^n 形の成分を重ね合わせて作れ、μ と ν の間には特性方程式が存在する
μ = exp(iα), ν = exp(iβ) と置けば、フーリエ形の解を積分で重ね合わせられる- 原点で 1A を取り出す解を作るためにインデックスの絶対値を取ると、原点近傍で
V(1,0) = 1/4 となり、隣接ノード抵抗 1/2Ω と一致する
- 軸上の不要な電流をなくすため、複数の解を α について積分し、フーリエ級数で重み関数を定める
対角線方向と任意ノードの抵抗式
- 原点と
(m,n) の間の抵抗は、原点基準の電圧差の2倍として表され、積分式に整理できる
- 対角線に沿って1マス離れた
(1,1) ノードの抵抗は、単位抵抗基準で 2/π である
- この結果はフーリエ級数を使わず、純粋に代数的にも導出でき、関連内容は 別ノート にある
- 隣接ノード抵抗
1/2 と対角隣接ノード抵抗 2/π が分かれば、基本差分方程式だけで周辺のさまざまなノードの抵抗を計算できる
- 一般式は
cos(mα) を s = cos(α) の三角多項式として表す形に単純化できる
- 軸方向の
R(0,n) に注目すれば積分をさらに減らせ、置換によってさまざまな値を計算できる
- 別の置換法では
α = r+s, β = r-s と置き、cos(r)cos(s)=1 の関係を使って積分を再表現する
- 対角ノード
(m,m) の抵抗は、単位抵抗基準で 2/π に 1 + 1/3 + ... + 1/(2m-1) を掛けた値にまとめられる
- 残りのノードの抵抗は、基本的な再帰関係で計算できる
1件のコメント
Hacker News のコメント
数学者でもあり電気工学者でもある立場から見ると、電気工学者は電流を流さなければ測定できないと言い、電流を流した後でも分布したインダクタンスとキャパシタンス、場の伝搬速度のために「いつ測定するのか」を問うことになる。
数学者はそれを聞いてバーに行き、強い酒を飲むことになる。
十分遠くまで行くと、あるノードでは毎秒動く電子の数、つまり電流の流れが 0 個か 1 個になるからだ。
その後エンジニアは、研究費が尽きるか物理学者の論文締切が近づくまで、周辺部に抵抗を追加していけばよい。
本当に難しい問題は、各距離で格子のはんだ付けミスを何パーセントまで許容しても、中央の四角形の両端につないだ Fluke メーターが故障を検出できるのか、ということだ。
導電性構造物の遠隔の亀裂、たとえば炭素繊維製の潜水艦船体のような場所を、局所的な抵抗変化で検出するという話を聞いたことがあるので、実際に意味のある問題かもしれない。
1 つは、回路図上の部品が物理的な物体を表す場合で、抵抗には多少のインダクタンス、非線形性、グラウンド面に対するキャパシタンスなどがある。OrCad のようなツールを使うときの回路図は、たいていこの意味だ。
もう 1 つは、抵抗が理想的なオームの法則の素子であり、配線にはインダクタンスも伝搬遅延も抵抗もないと見る解釈だ。電圧源の両端を配線でつなぐのは、ゼロで割ることに近くなる。
ときには、1 つ目の解釈を 2 つ目の解釈へ移し替えながら、実際の配線の挙動をモデル化しようとして、抵抗やインダクタなどを明示的に追加する。自分でやらなければ、SPICE が代わりにやってくれることもある。
無限抵抗格子は 2 つ目の解釈でのみ存在する。
そうすれば格子は定常状態に入り、回路図どおりの本当の姿になる。
現実の問題とは関係ないと思いがちだが、実際には関係がある。ただし計算そのものがすべて有用というわけではない。
集積回路の局所点から見ると、シリコン基板抵抗は実質的に無限に大きい単位抵抗格子に近い。
シリコン基板はしばしば強くドープされた p 型で、ファウンドリから受け取る情報は通常は抵抗率だけであり、多くは 1〜100Ω·cm の間だ。最先端プロセスノードでは 10Ω·cm であることが多い。
基板を通じたノイズ結合の感覚をつかむには、A 点と B 点の間の抵抗だけを計算するより、格子として考える必要がある。ノイズ電流を集めるために基板コンタクト格子も分散配置する必要があるため、結局また格子が登場する。
教育的には、1Ω 抵抗で作った立方体の向かい合う頂点間の等価抵抗を問うほうが、はるかに有用だと思う。
回路の対称性やキルヒホッフの電流則のような直観を身につける助けになる。
無限格子は入門回路の授業で解けそうに見えるが、実際にはあまりにも難解な数学問題に近い。
電気工学の学位課程で嫌いだった問題がまさにこれだった。
教授たちが好んでいた思考実験だった。
授業では無限はしご抵抗網を扱ったが、当時はその知識をこの問題に適用するのはかなり大きな飛躍のように感じられた。
単純な対称性ベースの解法で理解できないのは、「正のノードと負のノードに対する電流場を別々に扱えると受け入れるなら」という前提だ。
なぜ 2 ノード解の電流、つまり対称でない解が、2 つの単一ノード解、つまり対称な解の単純な和になるのか気になる。
もちろん 2 ノード解にも一部の対称性はあるが、すべての方向の電流が同じだと推論させてくれた元の対称性ではない。
干渉や光学格子が機能する理由と同じ論理だ。
対称性と重ね合わせの原理の説明で、理解できない点が 1 つある。
隣接ノードがなぜ alpha-beta-alpha で、alpha-alpha-alpha ではないのか分からない。つまり、なぜ 1 方向だけを区別し、残り 2 方向は同じと見るのかが気になる。
ところが問題は縦軸について対称なので、図を反転でき、反転後の経路を通る電流は反転前と同じでなければならないため、どの i が互いに等しいかを書き留めておける。
横軸についても同じ作業をし、90 度回転対称についても同じ作業をすればよい。
結局、互いに等しい i がいくつも生じ、それらを 2 つの区別できるグループにまとめられる。そのグループを alpha と beta と呼べばよい。
別の見方をすると、与えられた対称操作だけでは、ある alpha から beta へ移ることはできない。alpha 同士や beta 同士では可能なのとは異なる。
物理学の学部時代、チームプロジェクトでパーコレーション理論を実験したことがある。
導電性インクでいくつかの格子を作ったが、一定数のリンク、つまりグラフの辺が欠けているようにした。
均一に流れる導電性インクを作るのが難しく、私は XY プロッタ用ソフトウェアをすべて書いて、長方形格子と三角形格子を描くように命令を出した。
その後、片側から反対側までの抵抗を測定した。
記事全体を追えるほど数学に強いわけではないが、電子工学の仕事をしている立場での直観は、量子化されたシステムが無限大と相互作用するとき、その無限大は量子化された要素の大きさによって制限されるというものだ。
電荷は量子化されている。1 つのノードを電子 1 個未満が通過することはできないので、無限抵抗格子はシステムに投入された電荷量に応じて大きさが変わる有限抵抗格子のように振る舞うように感じる。
電子は波でもあり、その波は格子全体に広がり得る。
さらに興味深いのは、無限格子ではどこかに常に自発的な高電圧が存在するということだ。おそらく非常に遠くにあるのだろうが、それでも奇妙だ。
多くの場合、ある時間と空間に対する平均だけを気にすればよい。たとえば水の巨視的な流れは、個々の分子速度とはかなり異なる振る舞いをする。
無限大についての直観を形成できる可能性が、少なくとも完全には低くない人間は数学者だけだ。
これはシート抵抗の離散的な場合だ。[1]
この場合、任意の 2 点、ここではノード間の抵抗は同じになる。
昔、電気工学の大学カリキュラムで扱ったが、もう解法の導出は覚えていない。
[1] https://en.m.wikipedia.org/wiki/Sheet_resistance
余談だが、Veritasium に光が通る経路に関連して、これと似たすばらしい動画があった。
私が見た中で最高の物理デモをしている部分をリンクする。
https://www.youtube.com/watch?v=qJZ1Ez28C-A&t=1500
もちろん、同じ基礎理論は、有限の境界では常に回折が生じ、その結果、光が実際にあらゆる可能な経路を通る世界と区別できない現実になることも説明する。
しかし、光が実際にそうしていると主張するのは、物理学というより形而上学に近いとも言える。
さらに、レーザーの回折性能も物理的限界からはほど遠い可能性が高く、デモの説得力はさらに弱まる。
冷笑的な観察者なら「単にレーザーから出た光の一部が軸から外れただけでは？」と言うだろうが、実際その通りだ。物理法則上、一部の光は常に軸から外れるが、そのデモはその事実を証明してはいない。