関数はベクトルです。

• 関数は無限次元ベクトルとして考えることができ、線形代数の道具をさまざまな問題に適用できます。
• この概念を理解するには、初歩的な線形代数、微積分学、微分方程式の知識が必要です。
• 関数はベクトル空間におけるベクトルとして表現でき、可算無限または非可算無限のインデックスを持つことがあります。
• 線形作用素は、関数を変換する無限次元行列として見ることができます。
• 微分は、関数に対する線形作用素の一例です。
• 対角化は、行列を対角形式に分解する技法であり、関数に対する線形作用素にも適用できます。
• ラプラス変換は、R から C への関数空間において微分を対角化するために用いられる方法です。
• ドット積のような内積は、他のベクトルに沿ってベクトルを測るために使われます。
• ベクトルの長さは、自分自身との内積の平方根として定義されます。
• 直交するベクトルの内積は 0 です。
• 実関数に対する関数内積が導入されます。
• ラプラス作用素は数学における基本的な作用素であり、固有関数を用いて対角化できます。
• ラプラス固有関数は周期関数です。
• ラプラス作用素は、フーリエ級数、画像圧縮、球面調和関数などに応用されます。
• 球面調和関数は、球面上の関数を表現するために使われる直交正規固有関数です。
• メッシュに対するラプラス作用素は、メッシュ上で固有関数を求め、関数を変換・圧縮するために使われる有限次元行列です。
• 関数は、線形代数の手法を用いて効率的に計算できます。
• 応用分野として、信号処理と幾何処理、画像圧縮、シミュレーション、光輸送、機械学習、スプラインなどが挙げられます。
• 球面調和関数とラプラス作用素の利用は、コンピュータグラフィックスにおける幾何形状の平滑化と鮮鋭化に影響を与えます。
• この記事は、この分野でさらに探求すべきトピックの一覧で締めくくられます。

[GN⁺]

Hacker News の意見

• 関数は、抽象的なベクトル空間の要素として扱うことができます。
• この概念的な変化により、数学者たちは関数に関する問題へ幾何学的直観を適用できるようになりました。
• この視点の変化の歴史は、19世紀末から20世紀初頭にまでさかのぼることができます。
• Koopman 演算子は、非線形システムの線形近似を提供し、制御と推定を単純化します。
• Funsor ライブラリは、確率的プログラミングにおける関数向けの NumPy 類似ライブラリを提供します。
• ビト・ボルテラによるマドリードでの微分方程式および積分微分方程式の研究は、有限変数と無限変数のあいだの類似性を示しています。
• 関数解析の概念は、プログラマーにとって興味深く有用です。
• この記事は、関数をベクトルとして見る別の視点を提示していますが、一部のコメント投稿者は異なる見方をしています。
• 関数の入力空間と出力空間の連結性に関心を持つ数学分野があります。
• 関数はベクトルよりも一般的であり、ベクトル演算に必要な適切な構造が求められます。