- ピタゴラスの定理は数学で最も有名な命題の1つだが、ピタゴラス自身が直接発見・証明したという証拠はなく、バビロニアの粘土板がより古い起源を示している
- Yale Universityのバビロニア・コレクションの粘土板 YBC 7289 は紀元前1800–1600年ごろの資料で、正方形の一辺と対角線の関係を60進法の数で記している
- 粘土板の
1;24,51,10 は10進数で 1.414213 にあたり、√2を小数第5位まで正確に表し、正方形の対角線公式の特殊な例を示している
- ピタゴラス学派は数学・哲学・天文学を扱う秘密結社的な共同体で、発見をピタゴラスに帰属させる慣習があったため、個別の貢献を区別するのが難しい
- Euclidの Elements、Loomisによる371の証明集、Einsteinの12歳時の証明と相対性理論での利用、Fermatの最終定理とWilesの証明に至るまで、この定理はさまざまな時代の数学史をつないでいる
ピタゴラスと定理の名称
- ピタゴラスの定理は Pythagorean Theorem、Pythagoras’ Theorem、Euclid I 47 など複数の名前で呼ばれる
- 数学で最も有名な命題の1つであり、1927年に刊行されたElisha Scott Loomisの本には371の証明が収録されている
- 証明には12歳のAlbert Einstein、Leonardo da Vinci、アメリカ大統領James A. Garfieldによるものが含まれる
- ピタゴラスはこの定理の発見と証明に永続的に結び付けられているが、彼が直接発見または証明したという証拠はない
- バビロニアの数学者たちがピタゴラスの誕生より1000年も前にこの定理を発見し、証明していたことを示す粘土板の証拠がある
ピタゴラスとピタゴラス学派
- Pythagoras of Samosは紀元前569年ごろにSamosで生まれ、紀元前475年ごろに亡くなった人物で、歴史家たちは概して最初の数学者とみなしている
- ピタゴラス自身の著作は残っておらず、生涯に関する資料は数百年後の記録と伝説が混ざっていて信頼しにくい
- 現在の南イタリアのCrotone近郊に Semicircle of Pythagoras と呼ばれる学校を築いたと伝えられている
- この学校は半ば宗教的、半ば科学的な性格を持ち、秘密の規律に従っていた
- 数学、哲学、天文学を学び、「Number Rules the Universe」という標語を掲げていた
- 学派の知識は口伝で継承され、弟子たちの発見もピタゴラスに帰属されることが多かった
- このため「Pythagoras’ Theorem」という名前が生まれた可能性がある
- 集団主義的な運営のため、ピタゴラス本人と弟子たちの実際の貢献を切り分けるのが難しい
バビロニアの粘土板 YBC 7289
- MesopotamiaはTigris川とEuphrates川の間の地域で、現代のIraqとおおむね同じ地理的位置にあった
- バビロニア文明は4000年前に頭角を現し、この2世紀のあいだに数千枚の粘土板が発見されている
- これらの粘土板は、天文現象の記録、芸術、文学において優れた文明を示している
- 多くの粘土板はいまだ博物館の地下に残され、解読を待っている
- YBC 7289 はYale UniversityのBabylonian Collectionにある7289番の粘土板である
- 紀元前1800–1600年ごろのOld Babylonian periodの資料である
- 傾いた正方形と2本の対角線、そして一辺と対角線の下に楔形文字の数字が刻まれている
- バビロニアの数字は 60進法 を使っており、59までは現代の10進法に似ているが、0はなかった
- 1の位は縦のY字形の刻みで表された
- 10の位は似た刻みを横向きにして表した
√2とピタゴラスの定理の特殊な場合
- 粘土板のある記録は、辺の長さが4、対角線が5のときに幅を求める計算を示している
4 × 4 = 165 × 5 = 2525 - 16 = 93 × 3 = 9 なので幅は3である
- YBC 7289の正方形の一辺には30が記されている
- 対角線の下の
1;24,51,10 は現代表記では60進法の位取りを意味する
- 10進数では
1 + 24/60 + 51/60² + 10/60³ = 1.414213
- この値は √2 を10万分の1まで正確に表している
- この粘土板は、バビロニア人が正方形の辺と対角線の関係
d = √2 × a を知っていたことを示している
- したがってバビロニア人は、ピタゴラスより1000年以上前にピタゴラスの定理、あるいは少なくとも正方形の対角線という特殊な場合
d² = a² + a² = 2a² に通じていた
- この粘土板は、バビロニア人が平方根をかなり正確に計算できたことも示している
- 辺の値30は60進法で扱いやすい数だったため選ばれた可能性がある
- 現代の1分60秒、1時間60分、円の360度もこの60進法とつながっている
定理の現代的な形とEuclid
- 今日、ピタゴラスの定理は通常
a² + b² = c² という代数式として理解されている
- ピタゴラスにとってこの定理は面積に関する幾何学的命題であり、なじみ深い代数的な形が定着したのは1600年ごろ、近代代数の登場以後である
- Euclid of Alexandriaは紀元前300年ごろに活動したギリシャの数学者で、「幾何学の父」と呼ばれる
- Euclidの Elements は数学史上もっとも成功した教科書と評価されている
- 全13巻で構成される
- 定義、公理、命題、証明を含む
- 少数の公理集合からEuclidean Geometryの原理を導く
- Euclidは Elements の中でピタゴラスの定理に関する2つの証明を示している
- Book I, Proposition 47 は面積の関係に依存し、非常に精巧である
- Book VI, Proposition 31 は比例の概念に基づき、より単純である
- Book I, Proposition 47 は Euclid I 47 とも呼ばれ、のちにProclusらによってピタゴラスの定理と呼ばれるようになった
- Euclidの最初の証明は、当時のピタゴラス時代の幾何学の水準では不可能だったため、ピタゴラス自身の証明ではありえない
- Book VI Proposition 31 の方式だったとしても、完全な比例理論はピタゴラスよりほぼ2世紀後にEudoxusによって発展させられたため、証明は不完全だったはずである
エジプトとピラミッドに関する主張
- 古代エジプト人は、Mesopotamiaの南西約500マイルにあるNile川の中下流域に集中した文明である
- エジプトとバビロニアは紀元前3500年ごろからギリシャ時代まで、3000年以上にわたり比較的平和に共存していた
- エジプト人がピタゴラスの定理を知り、ピラミッド建設に使ったという主張には証拠がない
- エジプトには100を超えるピラミッドがあり、その大半はPharaohの墓として建てられた
Loomisと371の証明
- Elisha Scott LoomisはOhio出身の数学教師で、ピタゴラスの定理の既知の証明を生涯にわたって収集した
- Loomisの The Pythagorean Proposition は 371の証明 を集めた書物である
- 原稿は1907年に準備された
- 1927年に刊行された
- 1940年に改訂第2版が出た
- 1968年にNational Council of Teachers of Mathematicsが「Classics in Mathematics Education」シリーズとして再刊した
- Loomisは本の刊行後、亡くなるまでに数百の新しい証明を受け取ったが、集成を継続的に更新することはできなかった
- 正確な証明数ははっきりしていない
- 幾何学者たちでさえ、どの証明が実際に互いに異なる証明なのか判定するのは難しい
Einsteinと相対性理論
- Albert Einsteinは自伝の中で、12歳ごろにユークリッド平面幾何の本に触れ、強い印象を受けたと回想している
- Einsteinは三角形の相似に基づくピタゴラスの定理の「証明」を作ったと述べている
- 本人は “proof” という語に引用符を付けている
- この証明は優雅で単純であり、定理の核心である長さと面積のつながりを示している
- その後Einsteinは、ピタゴラスの定理を特殊相対性理論で4次元の形にして用いた
dx² + dy² + dz² = (c dt)² は、光が時間 dt のあいだに進む距離 c dt と3つの空間座標の微分を結び付ける- この計量方程式は、座標微分に適用されたピタゴラスの定理とみなせる
- 一般相対性理論では、空間の幾何学的性質は物質によって決まり、「empty space」という概念は意味を失うという説明が含まれる
- 相対性理論に関する引用では、エネルギー、運動量、質量をピタゴラスの定理が図式的に結び付けると説明されている
Fermatの最終定理とWiles
- Pierre de Fermatは17世紀に
xⁿ + yⁿ = zⁿ という形の整数解の問題を研究した
n = 2 のときはピタゴラスの定理によって整数解が存在する- Fermatは
n > 2 のとき、0でない整数 x、y、z の解は存在しないと予想したが、証明は残さなかった
- Diophantusの Arithmetica の余白に、証明を知っているが書く余地が足りないと記した
- この命題は Fermat’s Last Theorem として知られる
- Andrew Wilesは1993年に350年来のFermatの最終定理を証明し、このニュースは New York Times の1面に載った
- Wilesは10歳のときにFermatの最終定理に触れ、その後Princeton Universityの教授として数論を研究した
- Wilesの有名な結果は、すべてのrational semi-stable elliptic curveがmodularであることを示したもので、これがFermatの最終定理を含意した
- Shimura–Taniyama–Weil conjectureは、すべてのrational elliptic curveがmodularであるという命題であり、全体の命題はChristophe Breuil、Brian Conrad、Fred Diamond、Richard Taylorによって1998年に証明された
4000年にわたる数学史へとつながる定理
- ピタゴラスの定理はピタゴラスの名を持っているが、バビロニアの粘土板はそれよりはるか以前の計算と知識を示している
- Euclidはこの定理を論理的な幾何学体系の中に位置付け、Elements は23世紀後の今日でも数学における厳密な証明体系の基盤であり続けている
- Loomisによる証明集、Einsteinの少年時代の証明と相対性理論での利用、WilesによるFermatの定理の証明に至るまで、この定理はさまざまな時代の数学者たちを結び付けている
- 毎年、学生、研究者、問題解決者たちが新しく独創的な証明を加えようとしており、ピタゴラスの定理は尽きることのない数学の題材であり続けている
1件のコメント
Hacker News のコメント
ピタゴラスは、複数の文化の知恵を集めた人物として特に知られていました。
伝承によれば、タレスに会い、Hermopolis でエジプトの神官として入門し、捕虜になった後 Babylon で時を過ごし、可能な限りあらゆる秘儀宗教に入門したとされています。故郷 Samos では、古代ギリシャ最大の石造神殿である Hera 神殿の建設や、Eupalinos のトンネルという驚くべき工学的成果に触れた可能性が高いです。
Iamblichus の『ピタゴラスの生涯』[1]は、現在は失われた古い資料にアクセスできた著作なので、読む価値があります。当時は数学と霊性の関係が非常に強いものでした。
事実かもしれないものの、永遠に確認できない面白い逸話もたくさんあります。Diogenes Laertius の『哲学者列伝』には、ピタゴラスが、私たちがピタゴラスの定理と呼ぶものを発見したとき、牛100頭、すなわち hecatomb を生け贄として捧げたとあります[1]。Charles Dodgson、すなわち Lewis Carroll が言ったように「それは扱いに困る量の肉を生み出したはず」[3]で、特に菜食主義者ならなおさらだったでしょう。一方 Iamblichus は、牛は1頭で、しかも小麦粉で作った牛だったと述べています。
[1] Guthrie, K. S., & Fideler, D. R. (Eds.). (1987). The Pythagorean sourcebook and library: an anthology of ancient writings which relate to Pythagoras and Pythagorean philosophy. Red Wheel/Weiser.
[2] “he sacrificed a hecatomb, when he had discovered that the square of the hypotenuse of a right-angled triangle was equal to the squares of the sides containing the right angle.” DL, found in [1]
[3] Maor, E. (2019). The Pythagorean theorem: a 4,000-year history. Princeton University Press
ところが、その集団の一員である Hippasus が、√2 は有理数になり得ないことを説得力をもって示しました。ピタゴラスは彼に沈黙を誓わせようとし、それが通じないと殺したとされています。√2 のせいで。
[1] - https://sciencefocus.ust.hk/the-square-root-of-two-at-the-co...
古代文献には Plato もエジプトとイタリアを旅したと出てきますが、現代の学者は一般に、そうした旅が実際にあったのか疑っていると理解しています。
彼が好んでいたことの一つは自宅の下にトンネルを掘ることで、トンネルで作業しているときの「エルフたちの訪問」が成功の秘訣だったと言っていました。「トンネルを掘っていると、エルフたちがしばしば問題の答えを持ってきてくれる」と語ったそうです[0]。
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Seymour_Cray
例としては、トランスヒューマニズム、Yudkowsky 的な途方もない外挿による合理主義（Basilisk など）、シミュレーション仮説、汎用人工知能による救済論のようなものがあります。
私たちがデジタル情報を数千年にわたってどう保存できるのか気になります。
長方形の基礎を持つ建物を建てられた集団なら、誰でも辺の長さと対角線の関係を見つけていたはず。エジプト人はピタゴラスが生まれるずっと前から、ピタゴラス数の三つ組で直角を測っていた
ただしそれは定理ではなく観察である。この関係が、より明白な事柄に基づいてなぜ常に成り立つのかを証明、つまり説明したときに定理になる。記事で言及されている Babylonian の粘土板はそうしたことをしたようには見えないが、ギリシャ人は明らかにそれを行った。ピタゴラス本人が行ったかどうかは、彼の著作が残っていないため分からないが、後世のギリシャ人は証明することができ、それをピタゴラスに帰した
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.414213
それでも第2段落には同意する。「建築プロジェクトをこのように見積もる」という手順として伝わることと、普遍的な真理であり、他のあらゆる定理の基盤として宣言される定理との間には大きな違いがある。たとえ両者がまったく同じ内容を述べていたとしてもそうだ
実質的には教授のヨーロッパ旅行スライドショーと古い遺跡写真を見る授業だった。その後、構造物の線画を見せられ、時には任意に見える点を選んで 3-4-5 三角形を作った。そして「ほら見ろ。ピタゴラス以前にすでにピタゴラスの定理を知っていたんだ！」と叫ぶのだった
唯一の成績課題は、似た事例を「発見」する論文を書くことだった。適当な古代教会の写真を選び、その基礎から直角三角形を「見つけ出し」、A をもらった。確かに単なる観察であって、定理ではなかった
目分量で合わせ、必要な部分は現物合わせで切断しても、かなりのところまで行ける
だから代数学、あるいは三角法が発見されてから初めてきちんと証明されたのだと思っていた
√2 = 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 という近似値をどうやって得たのか気になる人のための説明
要点は簡単
Z = (a + b)^2 = (a^2 + (2a+b)b)
=> (2a+b) b < Z-a^2
初期推定値 “a” が与えられたとき、左辺が右辺より小さくなる最大の “b” を探せばよい。そうすれば推定値は常に実際の答えより少し小さくなり、この過程を繰り返して少しずつ近づけられる
最初の反復では Z=2, a=1。b=x/60 と置くと
(2+x/60)*x/60 < 2-1^2
120x + x^2 < 3600
x = 24 ... 3456 < 3600
x = 25 ... 3625 > 3600
したがって最初の項は 24/60 になる
a=1+24/60, b=x/60^2 と置いて繰り返すと
(2(1+24/60)+x/60^2)*x/60^2< 2-(1+24/60)^2
10080x+x^2 < 518_400
x = 51 ... 516_681 < 518_400
x = 52 ... 526_864 > 518_400
何度も繰り返せばよい
コードで書けば、簡単に 1;24,51,10,7,46,6,4,44,50,28 = 1.4142135623730951 まで得られる
この全過程は平方根の筆算アルゴリズムとして定式化でき、10進法でもかなりきれいに動作する
当時の人々が気にしていたのは公式そのものではなかった。その公式は何世紀にもわたって経験的に知られていた
衝撃を与えたのは、彼が「大半の」直角三角形において、ある辺 A と斜辺 C について PA = QC となる有理数 P, Qが存在しないことを初めて証明した点である。そこが地殻変動を起こした部分だった
いまは廃刊になった “Journal for Targeting, Measurement and Analysis for Marketing” が、完全に分野外で品質もかなり低そうな記事に、クリックベイト的で誤解を招くタイトルを付けたというのは、いかにもという感じだ
Springer が支援した、今日の検索最適化ベースの奇作の先駆けだったのかもしれない
計算と証明を混同するのは、真面目な学術誌なら許されないミスである
定理を証明する営みが、観察された規則性をもとに発展した認知ツールであることは、ほとんど疑いない。しかし「なぜ？」と問うこと、そしてより重要なことに、それに論理で答えることは、決して些細ではない発展である
主流文化は昔も今も古代ギリシャに魅了されていた
西洋文化は科学用語の語源を古代ギリシャ語に求めてきた
古代ギリシャから19世紀まで続く哲学の系譜も持っている
19世紀になってようやく考古学――これも古代ギリシャ語の語根から作られた新語で、そのせいで主流には古代ギリシャ人が考古学の概念を持っていたかのように示唆しているが、当然そうではなかった――を通じて真実が見えるようになった。歴史はさらに数千年深く、あらゆるものの起源はさらに数千年古い
Hattušaの首都が発見されたのはわずか30年前で、Troyという歴史都市の複数の層を理解するようになったのも20世紀に入ってからだった
「古代ギリシャから始まったのではない」という事実を理解したのはごく最近のことだが、主流はいまだに中世の文法学校の伝統に従い、古代ギリシャの向こう側を見ようとしない
近代科学の発展の「接続線」がギリシャから始まるのは、そこから現代の学者が容易に読める記録された歴史が始まるからだと理解している
私たちは、それが必ずしも古代ギリシャから始まったわけではないことを常に知っていた。ギリシャ人自身もそう言っていた。しかし古代ギリシャ以前の豊富な一次資料が存在しない以上、彼らのためにろうそくを灯し、その光でPlatoなどを経て濾過された思想を読む以外に、できることはあまり多くない
もちろん、神々を崇拝しなかったという理由で一部の自由思想家に死刑を宣告もしたが、それは別の問題だ
古代エジプト人やMesopotamiaの人々にも考古学の概念があったのに、なぜギリシャ人にはなかったと言えるのだろう？
記事はBabylonianの人々がピタゴラスの定理を「発見」したと主張しているが、実際に示しているのは、彼らがそれを真だと信じていた可能性だけだ
より良い証拠が出てくるまでは、少なくとも「西洋」では、中国数学のようなものについてはよく知らないが、帰納ではなく演繹的に有効な数学的証明という概念を最初に作ったのは、依然としてギリシャ人だと思われる
大量出版の問題だ
人々はたいてい、発見を最初にした人ではなく、それを最も広く伝えたり出版したりできた人に誤って帰属させる
古代には、これは特に難しい問題だった
知識はしばしば文字ではなく口伝で伝えられた
文字で残っていたとしても、使われた素材はとうの昔に腐食している可能性が高い
だから私たちが知る古代思想の大半は、あまりにも広く知られ、多く記録されたため複数の写本が残った知識か、エジプトの象形文字のように石などの堅い素材に記録された知識に基づいている。しかしそれは古代人がそれを最初に知ったという意味ではなく、その特定の知識の文字記録が時の試練に最も長く耐えたという意味にすぎない
2600年前の中国の書物で見つかった並行した証明について、7年前にHNで議論されたことがある
https://news.ycombinator.com/item?id=13952265
中国では少なくともピタゴラス以前から知られていたと理解している
https://en.wikipedia.org/wiki/Zhoubi_Suanjing