- 350,757回のコイン投げデータは、人が投げるコインが完全な50:50に見えても、最初に上を向いていた面に再び着地する確率がわずかに高いことを示すDHM物理モデルを支持している
- Diaconis、Holmes、Montgomeryの2007年モデルは、人間の投擲で生じる小さな歳差運動・揺れによって、コインが空中で初期の面をより長く上に保つと考える
- 実験では同じ面に着地する確率は0.508で、95%信頼区間 [0.506, 0.509] と Bayes factor 2359 が同一面バイアスを強く裏づけた
- 初期の面をランダムにすると、表が出る確率は Pr(heads)=0.500 となり、表裏そのもののバイアスと同一面バイアスは区別して見る必要がある
- バイアスの大きさは人によって異なり、多く投げた人ほど小さくなる傾向があり、投げ方や練習が結果に小さな物理的影響を与える可能性がある
350,757回の投擲で検証したDHMモデル
- コイン投げは確率と統計における代表的な偶然事象として使われるが、物理的にはニュートン力学に従う決定論的過程である
- 標準的なコイン投げモデルでは、結果のランダム性は開始位置、コインの構成、上向きに加える力、角運動量といった初期条件の小さな変動から生じると考える
- この標準モデルでは、公正なコインが表で着地する確率は50%であり、これは表裏バイアスがないことを意味する
- DHMモデルは、ここに人間の投擲で生じる小さな歳差運動(precession) または揺れを加える
- 回転軸の向きが飛行中に変わると、コインは最初に上を向いていた面を空中でより長く上に保つ
- その結果、最初の面と同じ面に着地する確率が50%よりわずかに高くなる
- Diaconisらは、人間の一般的な投げ方の観察に基づき、同じ面に着地する確率を約**51%**と予測した
同一面バイアスと表裏バイアス
- 今回のデータは合計350,757回のコイン投げで構成され、既存の大規模なコイン投げ記録よりはるかに大きい規模である
- 同じ面への着地結果は、DHMモデルの精密な予測を強く支持する
-
Pr(same side)=0.508
- 95%信頼区間は**[0.506, 0.509]**
- 同一面バイアスに対する Bayes factor は2359
- コインが最初に上を向いていた面に再び着地する傾向は、50%をわずかに上回るが一貫して高く現れた
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Pr(heads)=0.500
- 95%信頼区間は**[0.498, 0.502]**
- 表裏バイアスに対する Bayes factor は0.182
- 表裏バイアスがないという結果は、コインの種類によって変わらないことが示された
- 同一面バイアスはすべての人で同じではなく、個人差が大きかった
- 同じ人の中でも、より多くコインを投げるほど同一面バイアスが小さくなる結果が出た
- これは、練習がより揺れの少ない投げ方に関連している可能性と一致する
これまでの実験で欠けていた測定値
- 過去にも大規模なコイン投げ実験はあったが、その大半はコインが最初の面と同じ面で着地したかを記録しておらず、DHMモデルの検証には適していなかった
- 歴史的な事例として、Count de Buffon は2,048回、Karl Pearson は24,000回、John Kerrich は10,000回のコイン投げを行っている
- Janet Larwood と Priscilla Ku の40,000回実験は、例外的に初期の面と結果を比較できた
- Larwood は常に表から始め、20,000回のうち10,231回が表から表で終わった
- Ku は常に裏から始め、20,000回のうち10,014回が裏から裏で終わった
- 両者の結果を合わせると、力学的バイアスの証拠は曖昧な水準と解釈される
意思決定への影響
- 人が投げる公正なコインは、表と裏のどちらが出るかはおおむね50:50だが、最初に上を向いていた面で終わる可能性はわずかに高い
- 高リスクな意思決定でコイン投げを使う場合は、初期の面をランダムに決めることで表裏バイアスなしに利用できる
- 同一面バイアスは一部の人でより大きく現れるため、人間の投げ方そのものが結果に小さな物理的影響を与える可能性がある
1件のコメント
Hacker News のコメント
Von Neumann は、偏ったコインから公平な結果を得るエレガントな方法を説明している
コインを2回投げ、2回の結果が同じならやり直す
2回の結果が互いに異なれば、そのペアの最初の結果を最終結果として使えばよい
https://en.wikipedia.org/wiki/Fair_coin#Fair_results_from_a_...
https://www.techiedelight.com/generate-fair-results-biased-c...
コインは表が20%、裏が80%出るように偏っていたが、Von Neumann の方法を適用すると、表50.035%、裏49.965%になった
研究によれば、どちらの面を上にして始めるかで偏りを選べる
例えば裏が欲しいなら、最初の投げでは裏を上にして始め、最初の結果が裏なら2回目は表を上にして始め、最初の結果が表なら結果を無効にしようとして、再び表が出るように表を上にして始めるだろう
偏りを75%対25%で制御できるとすると、最初の結果が裏になる確率75%の後に表が出る確率も75%なので、最初の2回以内に望む結果を得る確率は56.25%になる
最悪なのは最初の結果が表で、その後に表を再び出せない場合なので、25% × 25% = 6.25%の確率で最初のラウンドに負けることになる
結局、最初の2回で勝つ確率は56.25%、負ける確率は6.25%、やり直す確率は37.5%となり、全体としては90%対10%くらいに収束しそうだ
「この手順が公平な結果を生む理由は、コインが投げるたびに偏りを変えず、2回の投げが独立であれば、表の後に裏が出る確率と、裏の後に表が出る確率が等しいから」だ
だから常に同じ面を上にして始めなければならない
この方法は、投げる人が偏りを作り出せないことを仮定している
ET Jaynes も Probability Theory で、公平なコインを結果を事前に決められるような方法で投げるのは習得しやすい、と書いていたが、少し探しても正確に何を指していたのかは分からなかった
約1年前、公正なコインを投げて手で受け止めたとき、最初に上だった面と同じ面で落ちる確率がどれくらいかを調べる作業を始めた
友人、共同研究者、インターネット上の見知らぬ人たちのおかげで、合計350,757回のコイントスを集め、複数の「Coin Tossing Marathon」を実施した: https://youtu.be/3xNg51mv-fk?si=o2E3hKa-ReXodOmc
結果として、Diaconis, Holmes, Montgomery 2007が予測した「同じ面」バイアスの強い証拠を見つけた
表を上にして始めると表で終わる可能性が高く、裏でも同様
標本での平均推定値は50.8%、信頼区間は[50.6%, 50.9%]だった
48人の投げ手の間でも同じ面バイアスの差はかなり大きく、標準偏差は1.6%、信頼区間は[1.2%, 2.0%]だった
この差は、投げ手ごとに揺らぎの程度が異なることで説明できる
コイントスの結果に1ドルずつ1000回賭け、開始位置を知っていれば、平均19ドルを稼げる
これは最適プレイヤーを相手にした6デッキブラックジャックのカジノ側優位5ドルより大きく、シングルゼロ・ルーレットの27ドルよりは小さい
原稿はarXivにある: https://arxiv.org/abs/2310.04153
公開データ、コード、映像記録はOSFにある: https://osf.io/pxu6r/
Diaconis, P., Holmes, S., & Montgomery, R. (2007). Dynamical bias in the coin toss. SIAM Review, 49(2), 211-235. https://doi.org/10.1137/S0036144504446436
計算してみると、1日20回くらいの控えめなペースなら、19ドルを稼ぐまで週末を除いて10週間かかり、その頃には人々が間違いなく手口に気づくだろう
早く金を稼ぐには戦略を複数人に広める必要があるが、そうすると秘密が露見する
仲間が完全に正直だとしても、同じ戦略を公然と使う人が増えれば、実質的な利益を出す前に見破られる可能性が高い
それでも想像するには面白いアイデアだし、論文の結果と実装にかけた労力は見事だ
ここでのコイントスはかなり穏やかで、空中に1フィートにも満たない高さしか上がらない
普通のコイントスといえば、スポーツの試合前のように高く素早く回転しながら上がり、床に落ちて少し転がった後に止まった面を確認する様子を思い浮かべる
実験もそのように行っていたなら、50.8%という同じ面バイアスは50%にずっと近づいていたように思う
黒/赤に賭けて0が出ると、すべてのベットがそのまま次の回転に持ち越された
私の必勝戦略は、友人と常に反対の色に賭けることだった
代わりにコインを硬い表面に落として跳ねさせれば、バイアスは消えそうだ
この実験は「一般的な」コイントスを代表していないとも考えられる
平均すると各参加者がコインを7000回超投げており、それだけやれば多くの人がコインをより楽で一貫した方法で投げる術を身につけていたはずだ
物理的な動作や力のばらつきが減れば、コインが同じ向きで着地する可能性は高くなり得る
練習なしで投げる人にもこの結果がそのまま出るとは思えない
ただ、コインを落とさずに投げて手で受ける腕は確実に上がったし、それ自体にも練習が必要だ
投げに揺らぎを加える技術があることは知っているが、学んでいないし、どうやるのかも分からない
直感的に偶然発見できる技術ではないと見てよい
根底にあるバイアスがあるかを見るのが目的なら、1人が7000回投げるのと7000人が1回ずつ投げるのはかなり違う
この偏りが生じるメカニズムを、直感的に、あるいは小学生にも理解できるように説明する方法をまだ探しているところ
元の論文では、人が普通にコインを投げると、わずかな 歳差運動(precession) や揺れが生じ、それによって飛行中にコインの回転軸の向きが変わると説明している
Diaconis のモデルによれば、歳差運動のせいでコインは空中で初期の面が上を向いた状態により長くとどまり、そのため最初と同じ面で着地する確率が高くなる
ほかのコイントス実験サイトでは、普通に投げられたコインは想像されがちなように水平軸を中心に回っているのではなく、3次元空間で歳差運動する傾いた軸を中心に回るため、初期条件について一定の「記憶」が残る、と説明している
Diaconis の論文には決定的な説明があるが、直感的ではない
私が書ける最善の説明は、人が投げるとある程度の歳差運動が生じ、歳差運動があると、表で始まったときに角運動量ベクトルが表の向きにより長くとどまり、偏りを生む、というもの
小学生向けの説明には、コイントスのアニメーションで 角運動量ベクトル が飛行中にどの領域をなぞるのか、そして表を向いている時間が少し長いことを見せるとよさそう
[1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/Real-World/coin_tosses...
[2] http://epubs.siam.org/doi/10.1137/S0036144504446436
人は実際にこのように訓練できるし、相手からすると、空中でコインが回転せず揺れているだけだと見抜くのは非常に難しい
そうすると、最初に上を向いていた面が、受け止められるときにもそのまま上を向いているのは明らかだろう
次の段階、つまり公平に投げようとする人でもある程度の歳差運動を生み、それが回転と切り離せないという部分は、私にもまったく直感的ではない
コイントスの結果は 開始状態に大きく依存する とずっと言ってきた
表、裏、表、裏のように続く順序を考えると、表で始まった場合、裏の数が表より多くなることはなく、表が1つ多くなることはあり得る
自分でテストしたことはないが、回転数が少ないほど、つまり表・裏のシーケンスが短いほど、確率はより偏るはずだと仮定している
ここでいうシーケンスとは投げた結果ではなく、回転中に上を向く面の順序を意味する
[表、裏] は表で始まった1回転で、[裏、表、裏、表] は裏で始まり表で終わる2回転である
コイントスの結果はこのシーケンスの最後の要素である
表で始まったコインを投げた直後に空中ですぐ受け止めれば、結果は当然表になる
しかしコインを止める時間を比較的長い T とすると、確率はある種の和として見られる
たとえば時間の離散化を \Delta T = 10ms と置くと、表と裏の区間の和が異なり、T が無限大に向かうと P(H) と P(T) はより似てくる
実際には時間を一様分布で待つのではなく、おおむね ガウス分布 に近い時間だけ待つので、和の各項には異なる重みが付く
その分布の分散とオフセットが確率を表または裏の側へ動かし得て、具体的なパラメータに大きく依存する
たとえば常に35ms後に受け止めれば、毎回裏が出ることもあり得る
コインが手の上で投げられるのを待っている状態は、すでに現在の上向き面の区間の 中間地点 にある
表が上から裏が上へ変わる遷移は、コインが垂直のときに起きるからだ
よく分からなければ、コインをいろいろな角度でつかんで「平たく」すると想像すればよい
角度の50%はいずれか一方の面に対応するが、コインが投げられる瞬間には、すでに現在の面を表す角度範囲の半分を過ぎた状態にある
だから正しいシーケンスは THTHTH ではなく、THHTTHHTTHH に近い
同じ間隔で見れば両面は同じ回数現れ、奇数間隔で見れば半分の場合は裏のほうが多く、残り半分は表のほうが多い
かなり起こりにくそうなので、開始状態が表ならシーケンスは裏・表・裏・表のようになる気がする
次にコイントスで何かを決めるときは、350,757本先取を要求しないといけないな
私はいつもコインを受け止めたあと、手の甲の上にひっくり返して結果を見せていた
そうすると、おそらく 反対面への偏り があるだろう
コイントスに偏りを持たせるにはどうすればいいのだろう？
論文を見ると、最初に始めた面と同じ面で着地する確率を55%まで高めることが可能に見え、最も極端な参加者がその程度だった
偏りは歳差運動によって生じるので、投げるときに歳差ができるだけ大きく起きるようにすべきだと思う
指をコインの中心からできるだけ遠くに当て、力もできるだけ強く加えるのがよいかもしれない
最後に結果を公開するときは、上面が上を向くように受け止める必要がある
コインを人差し指と親指の間に、表が上になるように挟み、下には中指を添える様子を想像すると、一般的なコイントスの開始姿勢と大きくは違わない
人差し指でコインの平面内で回転させ、表はずっと上を向いたまま、頭の絵だけが回るようにする
そこで同時に親指でコインの下側の縁に近い点を弾いて投げれば、スピンをかけられる
適度なスピンをかけると、コインは実際にはひっくり返らず、揺れるだけになり、したがって表で着地する
観察者は高速ではひっくり返りと揺れを目で区別しにくいので、何をしたのかよく分からない可能性が高い
この場合、小さな綴りの誤りが文の意味をかなり曖昧にしている
興味深いが、私の直感は結果とは逆だった。
反対の面で着地するには奇数回ひっくり返る必要があり、同じ面で着地するには偶数回ひっくり返る必要があると考えていた。
ひっくり返った回数ごとに奇数と偶数の数は同じか、奇数が1つ多くなり得るので、奇数回ひっくり返る確率のほうが高いと思っていた。
ここではもっと多くの要因が働いていて、結局のところ実験だけがモデルを検証してくれる。
TianqiPがどうやってコインを投げているのか見てみたい。
このユーザーは表の割合が 0.601 [0.582, 0.619] とかなり高い。
戦略的に使えば数ドル程度は稼げる技術だ。