始めた面に落ちる傾向がある公正なコイン

[GN⁺]

Hacker Newsのコメント

• 原稿の筆頭著者として、いくつかの質問に答え、誤解を整理します。回転数が少ないように見える投げ方の多くは、30FPSのウェブカメラで撮影したため、コインの回転がセンサーよりずっと速く、回転していないように見えるケースが多かったものです。動画はデータ収集の有無を確認し、結果を監査する目的でした。
  投てき機は作りませんでした。この研究は人間のコイントスが対象であり、Diaconis、Holmes、Montgomery（DHM、2007）は、人間の投げ方の不完全さが同じ面への偏りを生むと理論化していたからです。機械を作れば、実験の目的そのものが失われます。
  著者数が多く、公的資金が無駄になったという批判も当たりません。実験は自由時間に行い、研究費がなかったので無駄になったお金もありませんでした。一日中コインを投げることに貢献した学生に共著者資格を与えたことが、なぜそれほど腹立たしいのかも理解しにくいですし、彼らがいなければ実験は不可能でした。
  誰もが完璧にコインを投げるわけではなく、かなり下手な人もいます。参加者には、賭けを決めるときのように投げ、コインが少なくとも一度は裏返るようにと指示しました。ほとんどの人は時間がたつにつれて偏りが小さくなりました。これは練習によってより上手に投げられるようになり、偏りが減った可能性を示唆し、意図的に偏りを学習したという説も弱めます。
  個人的に2万回以上投げましたが、偏りを作る方法はまったく分かりません。外れ値を除いた感度分析も何度か行い、効果は少し小さくなったものの、なおDHMを支持する十分な証拠がありました。統計の背景に疑問があるなら、OSFのデータと整理スクリプトを使って自分で再分析してもかまいません: https://osf.io/mhvp7/

  • 分析に不満はなく、結果がD-H-Mモデル、つまりコイントスにはわずかな偏りがあり、その原因が歳差運動であるという点を強く支持していることには同意します。ただし、ボランティアの約3分の1は偏りがほとんどないか、まったくありませんでした。おそらく歳差運動なしにエンド・オーバー・エンドで投げていたためだと思われます。また、約3分の1は歳差運動と偏りが大きかったようです。
    論文は、コイントスは本質的に小さいが有意な偏りを持つと結論づけていますが、表2を見ると、偏りなく投げる人もいれば、そうでない人もいるという結論も同じように妥当に見えます。特に大きな外れ値となった参加者に歳差運動を説明し、意図的に減らしてみるよう求めれば、偏りは小さくなるか消えると予想されます。
  • 低フレームレートのウェブカメラの代わりに、音でコイントスのデータを分析しようとするアプローチもあります。音は通常はるかに高いサンプリングレートで録音されるため、コインの回転を「聞き取れる」ほどです: https://cs.stanford.edu/~kach/can-one-hear-the-fate-of-a-coi...
  • あまり熟練していない投げ手には、少しベンフォードの法則のような曲線が働くこともあるのではないかと思います。少なくとも1回転はすると仮定すると、1.0回転なら開始面、1.5回転なら反対面、2.0回転なら再び開始面で落ちる、という具合です。
  • NFLはいまも専門的にコインを投げています。各投てきについてウェブカメラより良い映像があるのか気になりますし、どこかのブックメーカーは潜在的な偏りにかなり関心を持ちそうです。

• 論文をうまく紹介している動画がここにあります: https://www.youtube.com/watch?v=-QjgvbvFoQA
  要点は、効果が歳差運動から生じるということです。つまり、コインが完全に垂直にだけ裏返るのではなく、わずかな揺れと角運動量を持ち、一方の面をもう一方より長く見せるように回転するということです。
  技術によって公平性への影響は変わり、良い技術では同じ面になる確率はおよそ p_same = 0.508 でした。一方、研究参加者の1人は大きな標本で0.6を示しており、純粋に公平な投げ方なら極めて起こりにくい値です。極端な例として、動画ではマジシャンが歳差運動を利用し、裏返っているように見えるものの、実際には面は変わらず、コインの平面内で回転しながら少し揺れる手品を見せています。
  この動画は、仮説検定がどのように機能するかもかなりうまく説明しています。

  • 「揺らし投げ」の手品リンク: https://youtu.be/-QjgvbvFoQA?t=325
  • ここではベイズ統計を使うのがよさそうです。発表者も、自分は統計に詳しくないとは言っています

• 論文は標本サイズが大きく見えるが、実際には試験者／投げ手は48人しかいない。一部の動画では、非常に低く、回転数も少ない投げ方、つまり1〜2回ひっくり返る程度のものが見られ、おそらく同じやり方で数千回繰り返したのだろう。
  だからこの研究の実質的な標本サイズは N=48 に近く、きちんと投げない人たち、つまり低回転・低高度・少ない回転の投げ手が結果に不釣り合いに影響し得る。
  著者たちの背景も、統計に特に重点を置いているようには見えない。著者48人のうち3人を除けばコインを投げていたので、一部は著者というより試験対象に近かったのかもしれない。自分の研究の被験者になることもバイアスを生み得るのではないかと思う。
  何らかの要因でコインが片面に出ることを自分で証明しようとするなら、特に低くゆっくり投げるなら、その技術を身につけてしまう可能性がある。研究結果を見ると、一部の投げ手はかなりうまく身につけているように見える。もし著者たちが、公正なコインは開始時と反対の面で落ちると確信して同じ研究をしたなら、その結果を裏付けるデータと論文も作れたのではないかと思う。

  • 「きちんと投げない試験者」がいるなら、スポーツの試合開始前のコイントスも、熟練した審判団が有効性を判定する必要がありそうだ。新しいコインが発行され、さまざまな投げ方のスタイルが提案されるたびに、この競技の完全性を保つには、地域・国内・国際組織と審判養成制度も必要になるだろうし、会員資格は Ancient Order of Coin Flippers の所属者に限定すべきかもしれない。
  • そこが核心だと思う。人々は普通、きちんと投げないから偏った結果が出る、ということを示している。
  • 本当の教訓はおそらく、十分に熟練するか長く訓練すれば、誰にも気づかれない形で確率をかなり大きく操作できる、ということだ。
  • この論文は、以前の論文が提示した統計モデルを実験で検証したものだ。実験はそのモデルが予測した結果と正確に一致しており、50/50 にならない理由はコインの歳差運動だ。
  • 実際にはクラスタ標準誤差でアプローチするほうが堅牢に見える。基本的な直感は似ているが、標本サイズは人ごとに存在し、観測値は投げるたびに独立ではなく、人の間では独立という構造になっている。
    https://en.m.wikipedia.org/wiki/Clustered_standard_errors

• 何らかの効果があること自体は驚きではないが、正当なコイントスを使っていなかったのではないかと疑っていた。多くの人はコインをちゃんと投げられないように思えるからで、動画を見ると、少なくとも Bartos の投げ方についてはその疑いが正しそうだ: https://osf.io/6a5hy/
  回転数も非常に少なく、空中にある時間もかなり短い。コイントスで決める価値がある事柄なら、受け入れないようなやり方だ。

  • あれはコイントスというより、ほとんど空中に軽く放り上げるだけだ。これを見ると、研究全体と著者たちの信頼性が崩れる感じがする。
    もちろん何らかの効果はあるかもしれないが、動画を確認しない人たちはまったく別の場面を想像するだろう。直接見るように教えてもらわなければ、私も確認しなかったと思う。こういうやり方がどれほど誤解を招くかを著者たちが知らない可能性は低そうだし、直感的には、まともなコイントスは同じ特性を示さない気がする。
  • 私も最初は同じ反論だった。だが、大多数の人が実際にそうやってコインを投げるなら、その測定は有効だ。結論は完璧な機械式コイントスではなく、普通の人がする行為についてのものだからだ。そうでなければ「真のコイントスなど存在しない」という誤謬に陥ることになる。
  • 科学もほかのすべてと同じで、実際にはスペクトラムなのだという感じがする。どれほど狂信的なレベルで試すかによって変わる。
    自動化機械で何年もかけて可能な限り多く投げ、投げる力と角度を変え、コイン表面のサブミリメートル単位の摩耗を検出し、存在するあらゆるスタイルとサイズ、あらゆる摩耗レベル、あらゆる位置と角度、地球大気組成のあらゆる組み合わせを試したとしても、その結果が本当に何を意味するのかと思う。実際には「結論」というより、正確な出来事の一覧に近く、将来もなお、その行為を結果の確率で説明することになるだろう。
  • それでも実際にやってはいる。動画はこちら: https://youtu.be/-QjgvbvFoQA?si=ZTT1LWWJC8T4LIQZ

• この論文は今年の Ig Nobel Prize 受賞作でもある。
  「確率: コインを投げると、開始時と同じ面で落ちる可能性がわずかに高いことを示すために、350,757回の実験を行った50人の研究チーム」
  出典: https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_Ig_Nobel_Prize_winners...

  • 今年の受賞作には植物学もある。Jacob White と Felipe Yamashita は、ある植物が近くのプラスチック植物の葉の形を模倣することを発見し、「植物の視覚」がもっともらしいと結論づけたが、これは私の頭の中にある Ig Nobel Prize のイメージとは少し合わない。

• これはマジシャンの間では何十年も前からよく知られている事実だ。マジシャン1人が35万回も投げたとは思わないが、私も子どもの頃、その効果を試そうとして約2,500回は投げた。
  マジシャン30人がデータを合わせれば、この程度の規模のメタ分析は可能だっただろうし、実験時期は1世紀ほど前だったはずだ。

• 完全に関連しているわけではないが、少なくともオーストラリアの20セント硬貨では、コイントスでごまかすのがかなり簡単だと以前知った。コインを投げて手で受け止めたあと、もう片方の手の甲に移す過程で、どちらの面が上かを触感で感じ取り、望むならひっくり返せる。
  私たちの硬貨は、表面の女王の顔が広く滑らかな部分なので、カモノハシと水の模様があるざらついた裏面とはかなり区別できる。重要なことを決めるためにコインを投げるなら、必ずコインをそのまま床に落とすべきだ。

• このスレッドで学んだのは、公正なコイントスの問題は本当に公正かどうかではなく、何をきちんとしたコイントスと見なすかだということ。そして、それを誰が決めるのかが問題だ。
  ほとんどの人がそう投げないなら、コインを投げる機械を設計すべきなのだろうか。他の要因も制御すべきなのだろうか。それとも、人間とその不完全さまで含めて投げることこそが、コイントス、統計、ランダム性という概念にとって本質的に重要なのだろうか。

• 6歳か7歳のころ、祖父の店の理髪師からコイントスの手品を教わった。その後はいつでもコインを投げて結果を決めることができた。実際の要点は、投げ方と受け止め方を一貫させることだけだった

  • 素早く投げて、コインが空中で高速に回転している状態でそれができるなら、かなり印象的だ

• 参考までに、物理的な説明を提示した2007年の論文もある
  [1] https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/157/Papers/diaconis_co...

  • その論文は、実際にこの論文と動画の両方で引用されている。Diaconisは「同じ面」への偏りがおよそ51%だというモデルを提示し、自分で2,500回投げたうえで、3シグマの有意性を得るには約25万回の投擲が必要だと述べていたようだ。そこで今回の論文はそれを経験的に検証し、研究チームが35万回投げて、ほぼその数に到達したというわけだ