100万分の1の確率を持つものとは何か？（2010年）

 (stat.berkeley.edu)
1 ポイント 投稿者 GN⁺ 2024-01-09 | 2件のコメント | WhatsAppで共有
  • 「100万分の1の確率」というよくある表現が実際に成り立つのかを、コイン投げ・宝くじ・地震・選挙・個人リスクの事例に分け、計算可能な出来事として検討する
  • 確率は直感よりも分母と時間単位に大きく左右され、同じ出来事でも「誰が」「いつ」「どのくらいの間」を基準にするかによって判断が変わる
  • コイン投げ20回がすべて裏、1年間に週6枚ずつ California Powerball を購入して当選、Hayward fault で50分以内に大地震、米国で次に生まれる2,400万人の新生児の中から大統領が出る、といったものは、おおむね100万分の1に近い例である
  • 個人リスクは活動参加者数と曝露時間をあわせて見る必要があり、スキー場を1日訪れている間の死亡は約1マイクロモートに近いが、スカイダイビング1回あたりの死亡は約10マイクロモートで範囲を外れる
  • 人口平均の確率を特定の個人にそのまま適用するのは難しく、落雷死亡・殺人・男性乳がんのように行動・環境・家族歴で差が大きい事例は単純比較に適さない

「100万分の1」を実際の出来事で検証する

  • 授業では学生に、日常会話で「1 in a million chance」という言葉を聞いたら何を思い浮かべるかを尋ね、宝くじの当選や落雷に遭うことのような典型例から、より想像力のある例まで集める
  • 日常でこの表現がどのように使われているかを確認する現実的な方法としては、ブログ検索程度が考えられる
  • その後、学生が提案した出来事が本当に100万分の1に近いのか、おおよそ2倍の誤差範囲内で定量化できるのかを検討する

計算が比較的明確なゲーム・無作為標本の事例

  • 確率ゲームや無作為標本抽出は前提が明確なので、計算は直接的である
    • 私がコインを20回投げてすべて裏が出る場合は YES
    • California State Powerball の宝くじを1年間、毎週6枚ずつ買い、現在のゲームで当選する場合は YES
    • 有名人6人を指定し、Wikipedia の「random article」リンクでそのうち1人が出る場合は YES
  • ただしコインを投げる人が「私」ではなく「あなた」なら、不正をする能力がないと非常に強く確信できない限り、最初の事例は NO になる

時間・場所の条件が確率を変える地震と選挙

  • Berkeley の教室近くの Hayward fault で今後50分以内にマグニチュード6.7超の大地震が起きる場合は YES
    • 2007年の推定では、Hayward fault の大地震発生確率を年約1%としている
    • 教室が断層線から数百ヤード離れており、授業時間がよく50分なので計算が合う
  • Seattle 近くの Cascadia subduction zone で今後5時間以内に破壊的な地震が起きる場合も YES
  • 世論調査で接戦となっている California 州全体の選挙で決定票を投じる場合は YES
    • 確率はおおよそ 13/N として計算され、N は投票数である
    • 2016年の California 大統領選の投票数は約1,400万票だった

大統領になる新生児と相関関係の落とし穴

  • 米国で次に生まれる2,400万人のうち1人が大統領になる場合は YES
    • 米国の出生率は現在、年約400万人である
    • 大統領が平均約6年在任すると仮定すれば、6年間に生まれる約2,400万人のうち1人がいつか大統領になる計算になる
  • しかし、特定の幼稚園のクラス24人を指して、そのうち1人が大統領になる確率が100万分の1だと言うのは誤りである
    • 地域社会の社会経済的地位のような要因と相関があるためである

個人リスクは参加者数と曝露時間が核心

  • 飛行機事故による死亡、海賊による誘拐、離岸流での溺死、Latin America での自動車事故死といった質問には、単純な答えは出しにくい
  • 自発的な活動のリスクを見るには、死亡者数だけでなく、その活動をする人数と活動に費やした時間もあわせて必要になる
  • スキー・スノーボードの例は、意味のあるデータ形式を示している
    • 米国の公認スキー場の来場100万回あたり、スキーまたはスノーボードによる死亡者は平均約0.7人である
    • したがって、公認スキー場を1日訪れている間にスキーまたはスノーボード事故で死亡する場合は YES
  • こうした判断は過去データに基づく人口平均、つまり統計的確率に近い

マイクロモートと個人ごとのリスク差

  • マイクロモート(micromort) は、特定の活動による死亡確率が100万分の1のときに使う単位である
  • スカイダイビングのジャンプ中に死亡する場合は NO
    • 約10マイクロモートに近く、100万分の1より大きい
  • 人口平均を特定の個人に適用できるかどうかは、常識的な条件もあわせて見る必要がある
    • 個人間のばらつきが大きくなるほど、人口平均の関連性は低くなる
  • 米国で「あなた」が今後8日以内に殺害される場合は NO
    • 殺害リスクを比較的高める活動をしていないと見なせるためである
  • California で200マイルの自動車旅行中に死亡する場合は YES
    • California の死亡率は、車両走行距離約1億500万マイルあたり1人である
    • 同乗者数と平均より優れた運転者であることを考慮して数値を調整する

落雷と男性乳がんが示す直感の限界

  • 落雷に遭う場合は NO
    • 「落雷に遭う」こと自体は信頼できるデータが不足している
    • 医療処置を受けなければ公式統計に入らず、木に雷が落ちたのか人に落ちたのかの区別も難しいことがある
  • 米国の落雷死亡データは比較的良好だが、近年の平均は年約30人である
    • 人口平均では年間死亡確率が約1,000万分の1
    • 生涯では約15万分の1である
  • 落雷リスクは個人の行動によって大きく変わる
    • 雷雨のとき外にいない人はリスクが低い
    • 死亡者は若い男性に不均衡に多い
    • 個人の確率を2倍の誤差範囲内で推定する方法はない
  • 若い男性が生涯で乳がんにかかる場合は NO
    • 男性乳がんはまれだが、学生が考えるほどまれではない
    • 生涯発症率は約1,000分の1、死亡は約5,000分の1である
    • 家族歴によって個人ごとの可能性は変わるが、100万分の1よりははるかに大きい

疾病・習慣の影響にはマイクロライフのほうが適している

  • 疾病、喫煙、肥満などの影響は、死亡確率ひとつよりもマイクロライフ(microlife) で見るほうが適している
  • マイクロライフは平均余命30分の変化に相当する
  • 30分は成人期の生涯のおおよそ100万分の1に相当する時間である

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2件のコメント

 
GN⁺ 2024-01-09
Hacker Newsのコメント

  • 「科学者たちは、このような明らかにばかげたことが実際に存在する確率を100万分の1だと計算した。
    しかし魔法使いたちは、100万分の1の確率は10回中9回は起こると計算した。」 — Terry Pratchett
    小説で誰かが「100万分の1の確率だけど、ひょっとしたらいけるかも！」と言うと、結局は成功するというお約束をからかった表現
    Guards! Guards! では、ドラゴンの弱点を矢で射抜くだけでは足りず、確率を正確に100万分の1にするために、ありとあらゆる馬鹿げた条件を付け足さなければならないと計算している
    記事にあるように、正確に100万分の1を作り出すこと自体が難しいからだ

    • チーズ好きのパイロットたちは、小さな些細なミスが積み重なって 惨事 につながる過程を示すために スイスチーズモデル を使う
      ただ、まともなチーズ屋ならチーズを切ったあとで層をもう一度混ぜたりはしないだろうから、この考え方には欠陥があるように思える
      だから100万分の1の確率はいつも起こる https://www.aviationfile.com/swiss-cheese-model/
    • 関連して https://wiki.lspace.org/Million-to-one_chance と、より一般的には https://tvtropes.org/pmwiki/pmwiki.php/Main/MillionToOneChan... も読む価値がある
    • CRPGで乱数をいじって、ある出来事の確率が正確に 1/1,000,000 なら 9/10 のように扱うようにしてみようかと考えた
    • その世界のルールは普通の物理法則ではなく 大衆の信念 に従うので、本人たちは気づいていなかったとしても理にかなっていた
    • 100万分の1の確率は彼の多くの本で繰り返し出てくるテーマだが、Guards! Guards! のように、わざわざその確率に合わせようとする場面は Discworld の素晴らしい要素の中でもとくに好きだ

  • https://markxu.com/strong-evidence を思い出す
    「あるとき誰かが私の名前を尋ねた。私は『Mark Xu』と答えた。その後その人は、私の名前が『Mark Xu』だと信じただろう。おそらく私の運転免許証に『Mark Xu』と書かれていることに 20:1 のオッズ で賭けることも喜んで受け入れただろう。
    誰かの名前が『Mark Xu』である事前確率は、かなり甘く見積もっても 1:1,000,000 だ。事後オッズが 20:1 なら、私が『Mark Xu』と言ったことの尤度比は 20,000,000:1、だいたい 24ビットの証拠 になる。かなり大きな証拠量だ。」
    「並外れた主張には並外れた証拠が必要だが、並外れた証拠は思っているよりありふれているかもしれない。」

    • ただし、誰かがそういう賭けを持ちかけるという行為自体が確率を変える
      名前をすでに言っているのに、なぜそんな馬鹿げた賭けを持ちかけるのか、名前について特別な情報を持っていないなら不自然だ
      もちろん YouTube のいたずらチャンネルの可能性まで考えるなら、リアクションを得るために実際に勝つチャンスを与える状況もありうる
    • この記事は「並外れた」という言葉の定義を、本来「並外れた主張と証拠」という格言が意図していたものとは違う形にひねって使っているように見える
      Mark はごくありふれた名前で、Xu は Wikipedia によれば1000万人以上が使っている中国の姓だ
      この組み合わせの名前を持つ人がいることは、まったく並外れていない
    • なぜ 20 に100万を掛けるのかわからない
      なぜ 0.95 に100万を掛けないのか？ 同じ論理を使えば、私のユーザー名が quickthrower2 であることに無限大のオッズでも賭けを受けられるのだから、情報量も無限大になるのか？
    • その論理には何か根本的におかしい点がある
      たとえば Mark が「1から10億までの数字を考えて書き留めてある。そして私が書いた数字は 6,822,172 だ」と言ったとしよう
      私が「わかった」と言うと、Mark が「へえ、信じるんだね？ じゃあ賭けよう。私が 6,822,172 を書いていたら君の勝ちで、1から10億までの別の数字を書いていたら私の勝ちだ」と言ったら、その賭けを受けるだろうか？ たぶん疑わしい
      そして Mark は「Recursing は、なぜ自分を信じないのかと言って喜んでその賭けを受けると予想している。したがって彼が賭けを受けることは、私が本当に 6,822,172 を書いたという非常に強い証拠だ」とは言えない
      他人の行動予測 を証拠として使うことはできない
    • 発音可能な英語の綴りとして並んだ ラテン文字6文字 の情報量としては、24ビット というのはだいたい妥当に思える
      ただし ‘X’ はかなり情報量が高い

  • 以下はすべて、死亡確率がだいたい100万分の1、つまり1マイクロモートになる活動である。
    オートバイで6マイル（9.7km）移動、徒歩で17マイル（27km）移動、自転車で20マイル（32km）移動、自動車で230マイル（370km）移動、ジェット機で1,000マイル（1,600km）移動、列車で6,000マイル（9,656km）移動。
    それでも短距離移動で自動車を自転車に置き換えると、健康効果のおかげで期待寿命は延びる。
    出典: https://en.wikipedia.org/wiki/Micromort https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC2920084/

    • シカゴからLAまでは約2,000マイルである。
      その記事ではカリフォルニアで自動車を200マイル走らせたときの死亡確率を100万分の1としているので、その数値をざっくり全米にも当てはめると、シカゴ-LA間を運転したときの死亡確率は10万分の1になる。
      往復なら2回分なので、5万人に1人がシカゴ-LA往復のロードトリップで死亡することになり、かなり怖く感じる。
      米国では平均して自動車事故による死者が1日100人を超えている。
      この計算では、重傷、永続的な障害、脊椎骨折、切断、失明、全身のIII度熱傷のようなものは除外し、死亡だけを見ている。
      現代医学のおかげで、死ぬよりそうした被害のほうがむしろ多いかもしれない。
      自動車は非常に危険なのに、運転が何を意味するかを過小評価している。
    • 死なないように努力している自転車利用者としては、この数値はどこで乗るかに大きく左右されると考えるべきだ。
      自動車中心の幹線道路の脇なら死ぬし、自動車より自転車のほうが多い田舎道ならずっと安全だ。

  • 「100万年経っても起きないようなこと」のように、個人にとっては100万年に1回起きるようなことでも、地球全体の人口で見れば毎年8,000回以上起きる。
    そのうち多くの人がカメラ付きスマートフォンを持っているのだから、quick brown foxがlazy dogを飛び越える実際の映像も存在するわけだ。

    • 恐竜絶滅級の小惑星衝突で自分が死ぬ確率が6,500万年に1回だとしたら、平均すると2日半ごとに地球のどこかで任意の1人がその規模の小惑星に当たって死ぬ計算になる。
    • その映像を探してみたが、こういうのが好きなのでがっかりはしなかった。
      それでも私のお気に入りはこれを超えない: https://www.thewestmorlandgazette.co.uk/news/6922546.bull-br...

  • 「波が来ました」
    「波が来たんですか？」
    「波が船を打ちました」
    「それって珍しいことなんですか？」
    「ああ、海ではね？ 100万分の1の確率ですよ！」
    https://www.youtube.com/watch?v=3m5qxZm_JqM

  • Becker Bottleが本当に気に入った。
    この概念を実際に可視化できるし、いじって遊ぶのもとても楽しく、化学の授業用の学習ツールとしても素晴らしい。
    https://www.flinnsci.com/becker-bottle-one-in-a-million/ap45...

  • EUで住宅、オフィス、一般建築物の構造工学における安全係数がどう使われているかを知ると興味深いかもしれない。
    EurocodeはCC1、CC2、CC3の3つの結果等級を定義している。
    CC1は結果が最も小さい等級で、一般住宅、軽工業、農業に使われ、構造崩壊で死亡する確率は低い0.001とされる。
    CC2の建物（マンション、オフィス、ホテルなど）は中程度の0.03、CC3は大規模スタジアムのような特殊建築物で、構造崩壊時の死亡リスクが高い0.3と定義される。
    経済的・社会的考慮などほかの要素も結果等級の決定に入る。
    結果等級は、特定の年に建物が崩壊しても受け入れ可能とみなす確率につながっており、原因は極端な気象など何でもありうる。
    CC1は100分の1、CC2は10,000分の1、CC3は100,000分の1である。
    したがって構造安全基準の統計だけを見れば、強い嵐の最中にスタジアムで構造崩壊によって1人以上が死亡する確率は、年間30万分の1かもしれない。
    この統計は、風、雪、雨、使用荷重などの単純な基準値とわかりやすい安全係数に対応づけられており、たとえばCC2ではすべての変動荷重に対して安全係数1.5を置く。

    • 「CC2建物の確率が0.03で中程度」というのが、**3%**を意味するのか、**0.03%**を意味するのか気になる。

  • 下の投稿とほとんど並んで表示されていて面白かった。
    互いに答えになっているのかもしれない。
    「Q: 100万分の1の確率のものは？」
    「A: https://news.ycombinator.com/item?id=38907620」

  • トラフィックがものすごいサービスを運用していたころを思い出す。
    興味深かったのは、その規模のトラフィックではエッジケースがどれほど頻繁に発生するかということだった。
    ローカルで再現するのが本当に難しいことが、ログを見ると週に100回も起きていたりした。

  • これは本当にすごい。
    1と0のランダムな列を自分で選ばせて、それがどれほどランダムではないかを示してくれる。
    https://calmcode.io/blog/inverse-turing-test.html

    • 最初の試行では3桁の列まですべて通過した。
      10は失敗、110は通過だった。
      自分は十分ランダムなのかもしれない？
 
dlehals2 2024-01-10

誰かの名前が「マーク・シー」である確率を、かなり大目に見て 1:1,000,000 だと仮定します。
私が「マーク・シー」と言ったことに対する尤度比は 20,000,000:1、つまり約24ビットの証拠になる、ということです。
並外れた主張には並外れた証拠が必要ですが、並外れた証拠は思っているよりありふれていることがあります。

これがどういう話なのか説明してくださる方はいませんか？ 頭が悪くて理解できません……