6174: カプレカ定数として知られる自然数

 (en.wikipedia.org)
3 ポイント 投稿者 GN⁺ 2024-01-17 | 1件のコメント | WhatsAppで共有
  • 6174は6173と6175の間にある自然数で、数学的にはKaprekar's Constantに分類される
  • 素因数分解は 2 × 3² × 7³で、すべての素因数が7以下の7-smooth number
  • 6174は 18³ + 18² + 18¹ と表せ、各桁の数字の和も18
  • 素因数を重複を含めて2乗して足すと 169 = 13² となり、これも平方数になる
  • Numberphileの動画とPerl、Python、Cのサンプルコードがリンクされており、Kaprekar's Constantの計算例を確認できる

6174の基本定義

  • 6174は6173の次、6175の前に来る自然数
  • 基数表記は「six thousand one hundred seventy-four」、序数表記は 6174th
  • 素因数分解は 2 × 3² × 7³
  • 約数は 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 49, 63, 98, 126, 147, 294, 343, 441, 686, 882, 1029, 2058, 3087, 6174

複数の数体系での表記

  • 2進数: 1100000011110₂
  • 3進数: 22110200₃
  • 6進数: 44330₆
  • 8進数: 14036₈
  • 12進数: 36A6₁₂
  • 16進数: 181E₁₆
  • ギリシャ数字表記は ,ϚΡΟΔ´、ローマ数字表記は V MCLXXIV または VI CLXXIV

数学的性質

  • 6174は Kaprekar's Constant
  • 7-smooth numberで、素因数に7より大きい数がない
  • 最初の3つの18の累乗の和で6174を作れる
    • 18³ + 18² + 18¹ = 5832 + 324 + 18 = 6174
    • 6 + 1 + 7 + 4 = 18で、桁の和も18
  • 素因数の平方和は平方数になる
    • 2² + 3² + 3² + 7² + 7² + 7² = 4 + 9 + 9 + 49 + 49 + 49 = 169 = 13²

関連する外部資料

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1件のコメント

 
GN⁺ 2024-01-17
Hacker News のコメント

  • 複式簿記の帳簿で誤りを探すときに使う、標準的な手作業の会計テクニックと明らかに関係がありそう。まず誤差の金額が9で割り切れるかを確認し、そうならどこかで2桁以上の数字を入れ替えたと見るやり方
    理由はこう証明できる。ある数字 x, y について、正しい値は 10x + y で、入れ替わった値は x + 10y。差は (10x - x) + (y - 10y) で、9x - 9y に簡約され、最終的に 9(x - y) と因数分解される

    • その通り。ここには2つの要素があり、それが1つ目のように思う。左辺と右辺の各桁和は18に収束する
      式 a - rev_a = b の両辺の桁和は、反復するほど互いに近づいていく。ときには同じ距離を保つこともあるが、離れることはない。そしてその収束は18でしか起きない
      例:
      5200（和 7）- 0025 = 5175（和 18、差 11）
      7551（和 18）- 1557 = 5994（和 27、差 9）
      9954（和 27）- 4599 = 5355（和 18、差 9）
      5553（和 18）- 3555 = 1998（和 27、差 9）
      9981（和 27）- 1899 = 8082（和 18、差 9）
      8820（和 18）- 0288 = 8532（和 18、差 0）
      8532（和 18）- 2358 = 6174（和 18、差 0）
      7641（和 18）- 1467 = 6174（和 18、差 0）
      これが最初の手がかりだと思う。両辺の桁和が等しくなり得るのは両方とも18のときだけで、両辺の和はだんだん近づいて最終的に等しくならなければならず、その点は18でなければならない。掘り下げると、古典的な桁和 mod 9 規則の変種のように思う
      その後、両辺の桁和が18になると、そこからは6174へ収束するはず
      つまり、まず桁和が常に両辺で等しくなるように収束し、その収束は常に式の両辺の桁和が18のときに起きる。この性質は古典的な mod 9 規則で証明できそうだが、少し作業が必要
      その後に2つ目の性質が働いて、この式の両辺の桁和がどちらも18であるすべての4桁の数が6174へ収束するのだと思う。これはより制限された数の集合。上で18への収束を別に見られるので、a - a_rev = b の形で、a と b の桁和がどちらも18である数だけを考えればよい
    • 明白だという表現はまったくそうではなかった。かなり一生懸命考える必要があった
    • なぜ正しい値が 10x + y なの？

  • これがなぜ重要なのかはまったく分からないが、最近 HN で見たものの中で一番クール
    数学オタクとは程遠いし、学校でもできるだけ避けてきたが、こういうものは本当に興味深くて不思議。いったいどうやって、そして何のためにこんなものを見つけたのだろう？ この数の性質も十分に興味深いが、発見の過程そのものが本当に奇妙

    • Lockhart の Lament を読んでみるといい。実は数学が好きなのに、学校の数学の教え方がひどかっただけかもしれない
    • 似た文脈で、学校の頃にリクレル数にハマった。数 x を取り、桁を反転して y を作り、x と y を足して繰り返す
      最終的にこの過程は、桁を反転しても同じ回文数に行き着く。ところが 196 のような数は、決して回文数を作らないように見える。これが本当なのか、それとも回文数が大きすぎてまだコンピュータが見つけられていないだけなのかは、誰にも分からない

  • 関連記事:
    Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=2625832 - 2011年6月（コメント64件）
    6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=1625606 - 2010年8月（コメント1件）
    Mysterious number 6174 - https://news.ycombinator.com/item?id=480200 - 2009年2月（コメント41件）

  • インドの数学者に関係する、もう1つの興味深い4桁の数は 1729: https://en.wikipedia.org/wiki/1729_(number)

  • 驚き。こういう性質を持つ4桁の定数が1つでも存在する理由について、非公式な直観はあるのだろうか？ 直観的には、このグラフには複数のサイクルがありそうに思える

    • 驚きが少し薄れる要素は、同じ結果に写される数が多いこと。たとえば同じ桁の集合のすべての順列がそう
      確認してみると、すべての4桁の数にこの過程を適用したとき、異なる結果は55個しかなく、0000を除けば54個。だから多くのサイクルが生まれる余地は減る
    • https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar%27s_routine を見るとよい
      ざっと見るといくつかパターンがある。たとえば2桁のカプレカ数がある基数では、桁和が基数-1になる、という具合。ここには数論的な説明がありそう
    • 記事の最初の参考文献に解説がある
      https://plus.maths.org/content/mysterious-number-6174
    • グラフが小さい。似たようなグラフ、たとえば2桁や5桁に対するこのアルゴリズム、または9進法や11進法での3〜4桁の数の場合には、複数のサイクルがある: https://en.wikipedia.org/wiki/Kaprekar's_routine#Kaprekar's_...
    • 他の基数でも動くのだろうか？ 高校の微積分も落第した人間としては、これは10進法の産物なのだろうと想像している

  • 10年以上前に、San Francisco の Exploratorium で見た円筒形の装置を思い出した。さらに前に Scientific American の Mathematical Recreations か Computer Recreations のコラムでも紹介されていたような気がする
    大きな水平の円筒に数字がびっしり書かれていて、輪っかか何かカーソルのようなものがあったかもしれない。回すと何らかの数学的演算が行われ、この 6174 のように、開始状態に関係なく何回か繰り返すと一つの数に収束するように見えた
    あれが何だったのか思い出せるといいのだが

    • どの展示物か分かる。私の知る限り、今もまだそこにある。最後に行ったのは1年ほど前
    • 「おそらく San Francisco Exploratorium の Kaprekar Machine のことだと思います。4桁の数に対する数学的演算を通じて、Kaprekar の手順と 6174 への収束を示すインタラクティブ展示です。」（ChatGPT 3.5）

  • Kaprekar の原論文を探そうとしたが見つけられなかった。PDF を持っている人はいる？

    • そう、私も見つけられない
      余談だが、これほど面白くなかったという理由で、どれだけ多くの研究が虚空に消えていったのだろうと思う

  • 6174 は 10進法 で数えるときだけ特別。ここは HackerNews なのだから、みんな16進法を使っているはず。残念ながら https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample_hex.php によると、16進法には単純な Kaprekar 定数はない

  • 5桁では 98532。面白い

    • 5桁には 6174 のような数はなく、循環だけがある。その数はそのうちの一つの一部:
      74943 -> 62964 -> 71973 -> 83952 -> repeat
      63954 -> 61974 -> 82962 -> 75933 -> repeat
      53955 -> 59994 -> repeat
      https://kaprekar.sourceforge.net/output/sample.php

  • 記事ではすべての数で動作し、レピュニットだけが例外だと言っているが、すべての回文数でも失敗するのでは？

    • この処理は単に桁を逆順にするものではない。回文数ならそのままだろうが、まず桁を並べ替えてから反転するので、回文数も変化する
    • 1221 は 2211 になるので、差が 0 になることを避けられる