- 学校・大学の授業より先に数学を身につけておけば、授業の質や進度に振り回されにくくなり、学業リスクを減らしたまま、より早い段階で機会にアクセスできる
- 先取り学習の見返りは成績にとどまらず、教授との相互作用を通じて 推薦状・研究・インターンシップ へと広がり得る
- 微積分の後にも、線形代数、多変数微積分、微分方程式、確率・統計など大学レベルの科目が続き、定量分野では 高度な数学基盤 が進路の選択肢を広げる
- ここでいう高度な数学とは、競技数学的な問題演習よりも 上級学年・大学レベルの数学 に近く、実際に定量系の専門家がよく使う数学もそちらに近い
- 教育的加速が準備のできた学生に心理的害を与えるという根拠は弱く、実際の障壁は時間割・教員確保・財政インセンティブといった 運営上の制約 により近い
先取り数学学習が減らす学業リスク
- 数学科目をあらかじめ学んでおくと、学校や大学で同じ科目を履修するときに A評価を取れる可能性 が大きく高まる
- 先取り学習は、授業が次のように不十分なときに生じるリスクを減らしてくれる
- 進度が速すぎる
- 概念を雑に通過する
- 説明が良くない
- 重要な前提知識をすでに知っていると仮定する
- 十分な練習機会を提供しない
- とくに大学の講義は、あるテーマを初めて学ぶ場としては適していないことが多く、先に学んだ学生は講義の質への依存度が低くなる
- 外国語の授業で、その言語を家で使う学生が容易に適応するように、数学でも あらかじめ身につけた状態 で授業に入ることができる
先取り学習が開く機会
- 上級クラスで優れた成績を収め、教授と活発にやり取りすれば、推薦状 を得る土台ができる
- 授業で質問に答える
- オフィスアワーに洞察のある質問を持っていく
- 科目をリアルタイムで学んだか、先に学んでいたかは重要ではない
- 良い推薦状は、高校生の大学出願だけでなく、大学生の夏季研究プログラムや大学院出願にも重要である
- 教授との関係は、研究プロジェクト、仕事、インターンシップ、教授ネットワークを通じた別の機会へとつながりうる
- 先取り学習は、学生が天才でなくても最上位の学生のように見せ、最上位の学生に開かれる機会へアクセスさせうる
- そうした機会を獲得し活用できれば、参入障壁の高い、興味深く、意義があり、収益性の高いキャリアにつながりうる
微積分の後にも大学数学はまだ多く残っている
- 多くの人は微積分を数学の終点だと考えるが、その上には高校の微積分より下の領域よりも多くの 大学レベルの数学科目 がある
- 一変数の微積分、たとえば AP Calculus BC の後に、定量系専攻の学生がよく履修する中核的な「工学数学」科目は次のとおり
- Linear Algebra
- Multivariable Calculus
- Differential Equations
- Probability & Statistics
- AP Statistics のような代数ベースの科目ではなく、微積分ベースの上級版 を指す
- 数学、物理、工学、経済学のような定量系専攻では、中核的な工学数学の後にも多様な専門科目が続く
- 標準的な4年制学部課程にすべての科目を入れるのは難しく、毎年過密に履修しても収めきれないほど科目数が多い
- より多くの数学科目を履修するほど、その後の学術的機会やキャリアの扉はより多く開かれる
- コンピュータサイエンスや医学分野の一部の職業では代数以上の数学をあまり要求しないかもしれないが、その分野で 高度な数学 まで理解している人は、ドメイン知識と数学を組み合わせたプロジェクトを行えるため、より価値が高く需要もあると考えられる
大きく先行して学ぶことの見返り
- 高度な数学を大きく先行して学べば、通常は強い数学基盤を持つ卒業生に開かれる多様な専門分野を、より早く探れる
- これは、関心分野を発見し、その領域で価値あるスキルを育て、キャリア初期に専門的な貢献をする道へとつながりうる
- Park, Lubinski, Benbow の40年にわたる縦断研究は、数学的に早熟な学生数千人を追跡した
- キャリア開始年齢が早いほど、とくに STEM 分野で成人後の生産性と達成が大きくなる傾向が確認された
- 学業加速によってキャリアをより早く始めれば、成人初期に創造的生産により多くの時間を使える
- 飛び級した数学的早熟者は、知的には近いが加速しなかった同年代よりも、高度学位を目指し STEM の達成を得る可能性が高かった
- 彼らはそうした成果により早く到達し、STEM 分野で被引用や高被引用論文をより多く蓄積した
競技数学より上級学年の数学
- ここでいう高度な数学とは、同学年の競技数学の問題をより難しく解くことではなく、上級学年・大学レベルの数学 を意味する
- 数学が得意な学生を競技数学に送る選択は、学生にとって最善というより、教師にとって追加業務が少ない選択である場合がある
- 競技数学の問題は通常、新しい数学分野の学習を必要とせず、すでに学んだ道具で巧妙なトリックや洞察を見つけることが求められる
- 定量系の専門家が日常的に使う数学では、競技数学的なトリックはまれで、次のような大学レベル科目のほうがより頻繁に登場する
- 線形代数
- 多変数微積分
- 微分方程式
- 微積分ベースの確率と統計
- 数学が好きな学生の大半は純粋数学者になるより、他分野に数学を応用するので、できるだけ早い時期に 数学の広い視野 を得たほうが、関心分野のプロジェクトへより早く応用しやすい
- 「すでに学んだ数学を深めて、後で別分野を学べばよい」という考えは、実際にはうまく機能しにくい
- 数学分野は多すぎて、ほとんどの数学専攻でさえ数学全体の小さな断片しか学ばない
- 卒業後に現場で先端的な問題を解くとき、必要な追加数学を教えてくれる「既知の経路」はない
- どの数学分野が問題解決に役立つかに気づくには、その分野をかなり学んでいる必要がある
- 学生が他の数学分野を学ぶ準備ができたときに学ぶ現実的な方法は、学校にいる間に可能な限り多くの数学を学ぶことである
発達適合性と教育的加速の研究
- 多くの人は、数学を早く学ぶことは学生の社会・情緒的、認知・学業的発達に合わないと考えるが、能力のある学生に対して教育的加速が否定的な心理的結果をもたらすという根拠は弱い
- Bernstein, Lubinski, Benbow の35年にわたる縦断研究は、加速した学生数千人を生涯にわたって追跡した
- 教育的加速の量は心理的ウェルビーイングとともに変化しなかった
- 両研究の参加者の心理的ウェルビーイングは全国確率標本の平均より高かった
- 高潜在力の学生の長期的な社会・情緒的影響への懸念は根拠が弱い
- 加速した学生は後悔が少なく、むしろもっと加速していればよかったと感じる傾向があった
- 学生が高度な数学を学ぶ準備ができているかどうかは、前提知識を習得しているか にかかっている
- 前提知識を習得しているなら、高度な数学を早く学び続けるのは適切である
- すでに習得した内容を学ぶ授業にとどめておくことも一つの決定であり、その否定的可能性も考慮すべきである
- Wai の長期効果要約は、数十年にわたる実証研究が、才能ある若者の教育的加速を支持していると整理している
- 核心は、学業的・社会的に適切な発達配置である
- 加速を望む学生がそうできるようにする証拠は強く、引き留める側を支持しない
- 学校で加速した成人は、より大きな教育的・職業的成功を得て、その選択と影響に満足していた
- James Borland は、加速に関する研究は非常に一貫して肯定的であり、適切な加速の利点は明らかだと整理している
発達不適合神話が維持される理由
- 研究結果とは逆に、教育的加速は発達に合わないという考えが残っている理由として インセンティブ が挙げられる
- 加速は追加作業を要求し、人は通常追加作業を好まないため、その仕事は実際には役立たなかったと合理化しやすい
- 学校の立場でも加速は非常に不便になりうる
- 各学年は通常同じ数学カリキュラムを一緒に進むため、加速した学生は上級学年の授業に配置される必要がある
- 学校に上級学年の授業がなければ、別の学校で授業を受ける必要があり、交通・時間割・事務上の問題が生じる
- 学校がより高いレベルの数学を教えられる教員を採用しなければならない場合もある
- 上級学年の授業が学校にあっても、加速した学生がなお履修すべき当該学年の授業と時間割が衝突することがある
- Steenbergen-Hu, Makel, Olszewski-Kubilius の研究は、行政的インセンティブも加速回避を促しうると見る
- 学校財政が生徒数に基づく場合、加速した学生が学校にとどまる期間が短くなり、全体財政が減る可能性がある
- 二重登録では一部の財政が学区外へ流出することがある
- 公開登録のある州では、学生がより適した学区へ移ることがある
- テスト成績の責任制度では、加速可能な学生を同年齢集団にとどめることで平均試験点を押し上げられる
- 物流上の問題、財政・評価インセンティブ、加速対象となる学生数の少なさ、年少の学生が年長の学生のクラスで社会的に苦労する姿を想像しやすいことが、この神話を維持している
後続質問への明確化
- 専門校でなくても先取り数学学習は可能だという個人的事例がある
- 一般の小・中・高校に通いながら独学した
- 通常授業の時間にもこっそり大学数学・物理の本を読み、問題を解いた
- 大学で配置試験により免除できる水準以上に数学科目を多く飛ばすため、数学学科長に直接連絡した
- 1年次に metric spaces / real analysis、abstract linear algebra、topology を履修し、2年次には大学院科目も履修した
- 2年次に学界への興味を失い、データサイエンティストとして働き始め、その後は大学在学中ずっと最小履修単位でフルタイム勤務を続けた
- 教育的加速は同年代との競争ではなく、時間との競争 に近い
- 夢をあきらめることや、夢が何かを探すこと自体をあきらめることは、多くの場合、時間に追い詰められた結果として現れる
- 扉を早く開けば、関心のある道をより早く探れる
- 進んでいた道がもう自分に合わないと感じたら、扉が閉じる前に引き返して別の道を探る時間ができる
- すでに開いている扉を通る代わりに、壁を壊すことに時間を費やしてしまうこともある
- 自分に合う道を見つけた後は、そこで過ごす時間を最大化できる
- 科学、技術、工学のキャリアに関心のある学生にとって、高度な数学の先取り学習は、時間が選択肢を狭める前に自分の居場所を見つける助けになる
1件のコメント
Hacker News の意見
人生のほとんどあらゆる面で遅咲きだったし、数学も同じだった
30代になって、生涯抱えてきた数学恐怖症を乗り越え、今は数学の学士課程に取り組んでいる。以前は数学がすんなり理解できず、自分は生まれつき苦手なのだと思っていて、最初の学士課程では数学の授業を一つも取らなかった
もっと早くきちんと学べていたらよかったとは思うが、肝心なのは、数学を学ぶのに遅すぎることはないということだ。証明の書き方を学ぶ中で、人生のさまざまな領域に整理された感覚と落ち着きが生まれ、複雑な問題に取り組むときも、より小さな構成要素へ分解できるようになった
プログラミング言語やコンピュータサイエンスに数学がどう染み込んでいるのかも見え始め、自分が使ったり作ったりしたプログラムの数学的基盤に気づくたび、宇宙の核心をのぞき込んでいるような気分になる。数学を早く学ぶのも素晴らしいコツだが、遅く学ぶのも同じくらい良い
若い同級生たちはあまり同意していなかったので、年齢を重ねて成熟したおかげなのかと思っていたが、学位を始める前よりずっと成熟した気がする。今では、どんな問題も解けないとは思わなくなったし、学ぶこと自体への愛着もはるかに深まった。これからも数学に限らず、いろいろな趣味を持ち、世界がどう動いているのかを学び続けたい
「数学には数字があるべきで、文字があってはいけない」といったことをよく言っていて、統計の科目のせいで心理学の学位を終えられなかった。初めてジムに行く太った人に似ていて、運動習慣がつき、変化が見え始めると不安が消えていくのと同じだ。数学不安を克服したのは祝福すべきことだ
不可能だという意味ではなく、何でも可能だとは思っているが、実際に見たことがないという話だ。その確率を乗り越えたのは、本当にまれな達成だ
フランスで最も名門の高校に通っていたが、数学クラスのトップ2人に共通していたのは、前年の夏にあらかじめカリキュラムを勉強していたことだった
自分もある年の夏にまねしてみた。彼らほどはできなかったが、魔法のようなことが起きた。概念をすべて理解できていなかったとしても、授業中に概念を受け入れる力が大きく上がった。完全に初めて見る概念ではないので、先生の説明についていくのがずっと楽だった
だがすぐに、実際に教科書を勉強し試験準備をしなければならない瞬間が、レンガの壁のように立ちはだかった
英語が母語でないなら、最大の教育上のコツは、できるだけ早く英語を学ぶことだ。思考が開かれ、世界レベルのコンテンツやコミュニケーションにアクセスできるようになる
発音が完璧でなくても、結果はかなり良い。3歳の子どもを育てているが、今は英語とポーランド語の両方を理解し、話している。夫婦はポーランド人で、私だけが英語を話し、会話以外にも、子どもが見るテレビコンテンツは英語音声にし、英語・ポーランド語の両方が入った本を買っている
ただしこれは、子どもが英語を学ぶ他の経路がほとんどない非英語圏の国に住んでいる場合の話だ。ここでは学校の英語だけでは難しく、時間も足りず、始めるのも遅すぎる
後から英語を学ぶと苦労する
フランス語と中国語にも、思春期まで頭を満たす文化・科学・娯楽コンテンツは十分にある
上級学年の数学を学べという助言よりも、数学コンテスト向けの数学を学ぶべきだという側に反論したい。数学コンテストが育てる重要な能力を、筆者は見落としていると思う
解き方の分からない問題に何時間も取り組み、複数のアプローチを試し、失敗してまた試すことは、一生使える問題解決力である。微積分を2年早く学ぶだけでは、これを教えるのは難しい
コンテスト問題で使う戦術も、一般的な定量的状況で役に立つ。対称性を見つける、不変量を見つける、摂動の下で増加することしかできない性質を見つける、といったものだ
数学コンテスト出身者のかなり多くが、優れた学者や成功した専門家になっている。しかも数学コンテストの数学も、多くの場合、明らかに「高等数学」である。ある程度競争力のある水準になるには、群・体のような「本物の」代数、Burnsideの補題、ベクトル、重心座標、組合せ論における再帰的処理、母関数などを知っている必要がある。単なる小手先の技だけではない
強い基礎を築いたうえで技術と問題解決に集中した生徒たちと競うと、数学コンテストはゼロサムゲームになる。歩けなければ走れない
微積分を2年学び、AP Calc BCで5点を取れば、大学でさらに2科目を履修したり早期卒業したりできる。コンテスト問題の戦術が一般的な定量的状況に有用だという点には同意するが、結局AIMEやUSAMOに入る子どもたちは、すでに9年生の時点で高校または大学レベルの数学をやっていた
しかしそれはゲームにすぎない。ゲームの中でどれほど見事なことをしても、現実で実用的なわけではない。大学に入ってから、その経験のない同級生に比べて特別な優位を感じることはなかった
むしろ高等数学の世界に入っていく過程は、かなり苦痛だった。すでに400年ほど前からある「現代的」な手法が、自分が苦労して取り組んでいた問題をあまりにも根本的に解決してしまうのを見て、圧倒された。速く走れることを自慢していた陸上選手が現代の交通手段を見て、長距離移動はもはや人間の脚力でするものではないと気づくような感覚だった
高校数学オリンピックから高等数学へ移るには、知識と道具の大きなアップグレードだけでなく、考え方の転換も必要である。特定の問題に対する優雅で奇抜な近道を探すのではなく、新しい分野全体を開く、一般的で刺激的な高速道路を探すことだ。その転換を受け入れようとしたがうまくいかず、試験を通過して上級学位と特定の応用分野の専門性は得たものの、数学的理解が砂上の楼閣のようだという感覚はいまだに残っている
精神的能力に関する部分には一部同意する。数学コンテストは集中力と粘り強さを育ててくれたが、その点ではピアノの練習のほうがさらに役に立った
富裕層や上位中産階級の郊外、特に移民比率の高い地域に行くと、生徒の半分はKumon、RSMのようなところを通じて、こっそりこうした形で先取り学習をしている
いろいろな面で学校評価を歪める。学校が怠慢であまり教えなくても、多くの子どもが外部で補っているので、学校の平均点は高く出る。いつの間にか学校は形式だけが残り、実際の学習は家庭で行われるようになる。教師が「うまく教えるべきだ」と考えるのは理想的だが、現実には誰もがそうではない
サンフランシスコ公立学校区に近い郊外であるDaly City、SSFのアジア系の子どもたちは労働者階級の割合が高かったが、親たちはKumonや塾に通わせようとしていた。南カリフォルニアのSGV、BostonのQuincyやMaldenのような労働者階級のアジア系地区でも同じ話である
初めて学ぶ人にとって試験は特に残酷だった。講師は授業外に2時間を設定し、非常に難しい7問を出したが、ほとんどの学生は2時間以内に終えられなかった。平均は50%台だった。Cを取って通過し、その後、手で微積分をすることは二度となかった
近道、最小限の努力、チェックボックスを埋めてそこそこの報酬をくれる仕事に就くことを望む、という方向に流れている。代わりに人気、スポーツ、fraternities、「大学生活」のような社交生活により大きな価値を置く
学校では解法例を見て、ほとんど同じ手順を数字だけ変えて繰り返す問題を解く。一方、Singapore Mathでは最初から概念について考え、新しい形で適用しなければならない
微分方程式をやるうちに微積分が得意になり、モデリングと制御理論をやるうちに微分方程式が得意になった。たいてい、ある科目は授業で学んでいるときに得意になるのではなく、その一段上の内容を扱うときに得意になるもの
だから、今受けている授業でうまくやりたいなら、次の授業の勉強を始めるのは間違いなく効果的な方法
でも実際にそうするのは非常に難しい。リソースの多い環境で育った人には、「親が付けてくれた家庭教師の言うことを聞けばいいじゃないか」くらい簡単で当然に見えるかもしれない。だが今年の教科書代すら工面するのが難しい学生にとっては、「ただ翼を生やして飛べばいい、難しくない」と言うのと似ている
周囲には1年先取りして学び、授業でより優秀に見えていた人をたくさん見てきたが、たいてい親が博士号持ちで、家賃を出してくれて、これから直面する問題を前もって説明してくれていた。授業が終わると家賃を稼ぐために働きに行き、夜にまたキャンパスへ戻って勉強や研究をする学生には、ほとんど役に立たない助言だ。多くの教育分野の「簡単な裏技」と同じく、語られていない前提は裕福な家庭に生まれること
私立学校で働く立場から見ると、この現象に関する学校側のインセンティブは、本文で述べられているよりはるかに深刻に過小評価されている
「個別最適化」は学校が必ず取り組むべき大きな課題としてよく語られるが、数学のように前提条件を満たしているか、進度、安心感を比較的評価しやすい科目でさえ、私たちはすでに教材を確実に習得した生徒を足止めしたり、逆に習熟不足が積み重なるまま次の段階へ進ませて、最終的に子どもが数学を本当に嫌いになるようにしてしまう
先取り学習よりも勧めたいのは、親が子どもの学習中ずっと、数学に対して合理的な安心感を保てているかを積極的に確認すること。「合格」や「そこそこの成績」を超えて穴を埋め、子どもが本当に安心して理解できているかを見る必要がある。現実には学校は子どもを非常に頻繁に合格させ、まずまずの成績を付けるが、それは子どもが学んだ内容を実際にどれほど安心して扱えているかとは、ほとんど直交していることが多い
妻が良い例だった。学部で数学を専攻した後、工学の修士・博士へ進んだが、修士1年目は静力学・動力学、熱力学、制御、簡単な電気回路のような補習的な工学科目が大半だった
難しくなかったのかと聞くと、「すでに数学が分かっていれば、単なる用語の問題にすぎない」と言っていた
その試験は、すでにAを取っていた多変数微積分に変な名前を付けただけのものだったので、クラスで上位の点を取った。次は責任感を持とうとしてさらに1時間勉強したところ、今度は変な名前を付けた微分方程式の試験だったので落第した
常微分方程式は、Columbiaで助教として教えるよう割り当てられてからようやくきちんと学んだ
タイトルはやや煽り気味。できるだけ早く読むことを覚え、年齢相応よりはるかに高度な文章を読むことのほうが、より大きな「教育上のライフハック」かもしれない
私は移民の母が毎晩、母語ではない言語で本を読んでくれたので早く読むことを覚えたし、母が教育を高く評価する文化の出身だったからこそ可能だった。すべての子どもがそのような親を持つ幸運に恵まれてほしいが、多くの子どもは公立学校で初めて教育に触れる
お金だけの問題ではない。1.5世代のアジア系アメリカ人のかなりの数が証明しているように、そうではない
SATの問題を一緒に見ていて、改善すべきところはあるが、それほど大きくはない。一方で数学は大学をはるかに超えて続いていく
早く読めず、そのため速く読む方法も身に付けられなかったら、読書を楽しむところまで行けなかったと思う
4年生と5年生のとき、先生たちは代数を「なぞなぞ」と呼び、楽しいパズルのように扱わせることで、私たちをだまして学ばせた
私には確実に効いたし、中学校の数学がそのパズルを別の名前で呼んでいるだけだと知ってかなり驚いた。おかげで授業はとても簡単だった
通常は複数の段階を自然に含み、生徒に適切な数学的成熟度が備わった後で本格的な代数を教えれば、ほとんど滑らかにつながる