素晴らしい偶然、それとも予想されたつながり：なぜ π² ≈ g なのか
(roitman.io)神秘的な一致
- π²がgとほぼ同じ理由についての問い
- πは無次元の数であり、gは物理量である
- 2つの値は正確に等しいわけではない
単純ではない問題
- gの値はm/s²という単位で表される
- 別の単位で表せば、この一致は消える
- メートルと秒の定義を理解する必要がある
メートルの定義
- メートルは、光が真空中で1/299,792,458秒のあいだに移動する距離である
- この定義にはπは含まれていない
標準の歴史
- 過去には、人の身体の部位を基準に長さを測っていた
- 標準化の必要性が生じると、自然定数を用いた定義が提案された
標準化の夢と重力
- 17世紀にクリスティアーン・ホイヘンスが振り子の長さを用いたメートルの定義を提案した
- 振り子の長さが地球上の位置によって変わるという問題が生じた
驚くべき方程式
- 振り子の周期を求める公式にπが現れる
- ホイヘンスの振り子のパラメータを代入すると π² = g となる
フランス革命とメートルの変化
- 1791年、フランス科学アカデミーがメートルの定義を変更した
- パリ子午線の4千万分の1として定義された
真のメートル
- パリ子午線を実際に測定してメートルを定義した
- 地球の扁平度を考慮しなかったため、わずかな誤差が生じた
結論
- π²とgの差は約0.06である
- メートルの定義が変更されていなければ、π² = g という優雅な方程式が成り立っていただろう
# GN⁺の要約
- この記事はπ²とgの関係を探り、歴史的背景と科学的原理を説明している
- メートルの定義が何度も変更されるなかで生じた誤差を扱っている
- 数学と物理学の興味深いつながりを理解するのに役立つ
- 似たテーマとしては「自然定数と単位の歴史」がおすすめである
1件のコメント
Hacker News のコメント
面白いけれど、この部分には突っ込みたい：「別の単位で表すと魔法はすぐに消える。だから偶然ではない」
普通はこれは偶然であることの強いシグナルに近い。偶然ではないかどうかを見るヒューリスティックを探すなら、「単位を変えても保たれるか」が正しい基準だと思う
ただしこの場合は、そのヒューリスティックが失敗する特殊な例に見える
もし π² が g と正確に等しく、別の単位で「魔法」が消えるなら、そのときは「だから偶然ではない」と言って、単位そのものに関係していると結論づけられる
でも π² は g とだいたい同じなだけで、別の単位では魔法が消えるので、記事を読む前なら偶然だと見なした可能性が高い
物理学者としては筋が通っている。π = 3、π² = 10、それが g だ
みんながなぜ驚くのかわからない
ああ、それから 1年は π*10e9 秒だったと記憶している
もう一つの「素敵な偶然」は、マイルとキロメートルの変換に 1.609344 という定数が出てくることだ：kilometers = miles * 1.609344。この 1.609344 を「km」定数と呼ぼう
実は km は黄金比 (sqrt(5)+1)/2 = 1.618033989... にとても近い。差は約 0.5% にすぎない（100 * (gr/km - 1) = 0.54%）！ 原文の筆者の表現を借りれば「別の単位で表すと魔法はすぐに消える。だから偶然ではない...」だなんて、うーん……ちょっと待てよ？
もう一つある。π(3.141592654...) は 4 / sqrt(gr)(3.144605511...) とほぼ等しく、後者を「almost pi」の「ap」と呼ぼう。これは π を黄金比と結びつけ、差はわずか 0.096%（100 * (pi/ap - 1)）だ。きっと何か意味があるに違いない？
最後に一番好きなもの：111111111^2 = 12345678987654321。これは……うーん……ちょっと待て……
メートルの長さを秒振り子の長さとして定義していたなら、g は正確に π² になっていただろう。振り子の方程式では：
T = 2π√(L/g)T = 2 s、L = 1 m を代入すると：
2 s = 2π√(1 m / g)g について解くと：
g = π² m/s²これは重力がどんな強さであっても成り立つが、それに応じてメートルの長さが変わっていただろう
[1]. 実際、1790年に Talleyrand がこれを提案した。これが現実になった世界を想像してみてほしい
関連して好きなものが一つある。なぜアボガドロ数とボルツマン定数は互いに逆数のように N ~ 1/k なのだろう？ 単位が合わないので文としては成り立たないが、MKS 単位系では正しい
2つを掛けると約 1 の気体定数になるからだ。どちらも微視的な単位から人間スケールの単位へ移してくれる数であり、人間スケールで経験する気体を表す気体定数では互いに相殺される
温度範囲は比較的狭く（100〜1000）、メートル・秒・キログラムを別の形で定義していたなら、P*V の範囲が 0.01〜0.1 のようにその範囲から遠ざかってはいけない理由もない
これをこれ以上うまく説明できないというのも難しいくらいだと思う。
この記事はどんな読者向けなのか。物理を知らない人には長すぎて混乱を招く説明だ。ある単位が別の単位に依存していることと、メートル法を自力で再現できる能力がなぜ重要なのかを説明するほうが、長さの標準について長々と経緯を書くよりずっと重要だ。
答えられていない疑問も多い。秒は何で定義されたのか？ 時間は振り子で測るものではないのか？ 天文学的な定義はなぜより信頼できたのか？
物理を知っている人向けなら、もっと短く明確に書ける。例えばこうだ。「メートルの普遍的な定義には、重力のように自然界に現れる定数が必要だ。一定時間に物体が落下する距離を測ることもできるが、振り子を使うほうが簡単だ。振り子はおおよそ 2πsqrt(糸の長さ/重力) の周期で一定に揺れる。重力を π² とすれば、平方根の後ろで π が相殺され、T = 2*sqrt(Length) になる。1メートルの振り子は往復に2秒、片道の振れに1秒かかるので有用だ。当時の時計はかなり正確で、秒は天体観測で再現可能だった。そこで振り子を用意し、正確に1秒ごとに1回振れるよう長さを調整してから、その糸や棒で何でも測ることができた。良さそうに見えたので、重力定数が π²（9.87 m/s²）になるように変えた。メートルを短くすれば、すべてのものはより長くなる。その後、地表では重力が場所によって異なり、完全な数学的振り子を再現するのは難しいことが分かったため、地球の大きさに基づく天文学ベースの定義に変えた。それにも問題があり、パリに1メートルの物理的な棒を保管した。数年前から物理学者は、測定可能な最小の距離であるプランク定数を使い始めた。」
いまや光速は測定値ではなく定義値だ。これはかなり深い話で、私たちの単位系が今では特殊相対性理論の有効性に基づいているからだ。
1 - https://en.wikipedia.org/wiki/Metre
メートルの定義の歴史から生まれた見事などんでん返しで、素晴らしい記事だった。
読んでいて、Ramanujan のような数学者たちを思い出した。ランダムな数で遊びながら、そのつながりを探すことにかなりの時間を費やした人たちのことだ。ただしこの場合、筆者は最初から歴史を知っていたのだろうと思う。
いずれにせよ、数学の学位は、こうした数の関係を探索する楽しさをある程度殺してしまった気がする。子どものころは、奇妙な落書きのようにつながりを作ったり見つけたりするのが好きだったが、学位を終えるころには、学んだより抽象的な基本要素同士のつながりについて考えたくなっていた。
それでも、成功している数学者の中には、今もこういうやり方で仕事をしている人が多いように見える。奇妙なつながりに気づき、その理由を説明する理論を後から埋めていき、ときには本当に興味深い結果につながるというやり方だ。
関連して、メートル法の起源と最初の科学学会を扱った Ken Alder の The Measure of All Things をおすすめする。意外なほど引き込まれる読み物だ。
https://www.simonandschuster.com/books/The-Measure-of-All-Th...
内容とはまったく関係なく、ウェブサイト自体についての話だ。
サイトにアクセスすると完全に壊れる。調べてみたところ、Stylus（CSS 注入拡張）で何らかのルールを有効にしていると、グローバルルールだけでもサイトが使えなくなる。React フレームワークで作られているため、単に見た目がおかしくなるのではなく、完全に壊れる。
チケットを立てて Stylus の開発者からすぐ返信をもらったが、このウェブサイトと caseme.io で作られたすべてのサイトは、`` 内に注入されたノードを検知するとエラーを投げて壊れるようだ。
[1] https://github.com/openstyles/stylus/issues/1803
「布をもっと買う必要があれば、村で一番背の高い人を呼んで、その人のキュビットで布を測らせただろう」という戦略が、実際の布売りに通用したかは非常に疑わしい。
公式の度量衡はなかったかもしれないが、彼らが愚かだったわけではない。