- πは円の円周と直径の比だが、「距離」を何と定義するかによって、同じ半径の円でも形が変わり、πの値も変わり得る
- 数学の**メトリック（metric）**は距離関数が満たすべき4つの条件を定めており、ユークリッド距離の外でも幾何・微積分・位相数学を一部修正して扱えるようにする
- マンハッタン距離と最大値距離では、円はそれぞれ45度回転した正方形と正方形のように現れ、円周を計算するとπはいずれも4になる
- p-normはManhattan、Euclidean、maximal distanceを含む無限のメトリック族であり、p=2の通常のユークリッド距離におけるπ=3.14159…がこの族で取り得る最小値である
- すべてのメトリックに広げるとπは3と4の間にあり、特定の六角形メトリックでは半径1の円の周長が6となり、π=3になる
πの値が変わる理由
- 一般にπは、円の円周 Cと半径 r の関係式
C = 2πr に登場する
- 円は数学的には、中心から同じ距離だけ離れた点の集合である
- したがってπは、円周と半径を測る距離の定義に依存する
- 同じ「コスト」を持つ地点の形が、常にユークリッド的な円になるとは限らない
- 中心から同じ時間だけ走って到達できる地点は、時間基準の距離における円になり得る
- 同じ燃料で運転して到達できる地点も、燃料基準の距離における円のように見なせる
- 風が強い日に航海すると、同じ労力で到達可能な地点は風向きに応じて片側に偏った楕円になる
どのような距離関数がメトリックになるのか
- 数学ではメトリックが、距離関数として認められるための条件を定める
- メトリックは次の規則を満たさなければならない
- ある点からその点自身までの距離は常に0
- 異なる2点間の距離は常に正
- aからbまでの距離は、bからaまでの距離と同じ
- aからcへ直接行く距離は、aからbを経てcへ行く距離より長くない
- 「航海に必要な労力」はメトリックになりにくい
- 追い風で進む場合と向かい風に逆らって進む場合で労力が異なり、3つ目の条件を満たさないため
- ユークリッド距離
d = sqrt(x² + y²) は、古代ギリシャ幾何やNewtonの微積分でも使われた伝統的な距離の定義である
- 20世紀初頭の数学者たちは、基本要件を満たす関数なら距離関数として使え、多くの数学的結果も一部修正して適用できることに気づいた
マンハッタン距離におけるπ
- マンハッタン距離は、格子状の都市で斜めに移動できず、x方向とy方向の移動を足し合わせる距離である
- 距離式は
d = x + y と表される
- 例えば2つの都市の人口変化予測誤差をx軸とy軸に置くと、総誤差が1,000人の地点が1つの「円」をなす
- このメトリックでは、円は45度回転した正方形のように見える
- 半径が1,000なら各辺のマンハッタン距離の長さは2,000で、4辺の周長は8,000である
8,000 = 2π(1,000) なので、この距離体系ではπ=4になる
最大値距離におけるπ
- 最大値距離は、xとyのうち大きい方の値を距離として使うメトリックである
- 距離式は
d = max(x, y) と表される
- 複数の作業を並列に行う際、全体の時間が最も時間のかかる項目によって決まる状況に対応している
- 料理コンテストで2つの材料を並列に準備し、両方の材料が55分から65分の間に仕上がらなければならない場合を例にできる
- この距離体系の円は正方形の形である
- 半径が5のとき各辺の距離は10で、4辺の周長は40である
40 = 2π(5) なので、最大値距離でもπ=4になる
p-norm族におけるπ
- p-norm metricは、
d = (x^p + y^p)^(1/p) で定義される無限のメトリック族である
- pは1以上の値を取り得る
- p-normは前述の距離を一般化する
- p=1ならManhattan distance
- p=2ならEuclidean distance
- p=∞ならmaximal distance
- pの値に応じて「円」の形も変わる
- 一般的なpの値では周長を見た目だけで即座に計算するのが難しいため、コンピュータが円周上を移動しながら移動距離を追跡する方法で計算できる
- 既存の論文の結果によると、p-norm別のπの値は次のとおり
- p=1: π=4
- p=1.1: π=3.757…
- p=2: π=3.141…
- p=2.25: π=3.155…
- p=3: π=3.259…
- p=11: π=3.757…
- p=∞: π=4
- 同論文は、p-norm全体で3.14159…が取り得る最小のπの値であることも証明している
すべてのメトリックにおけるπの範囲
- p-normは無限に多いが、p-normではないメトリックはそれ以上に多く存在する
- Sahooの論文は、すべてのメトリックでπが3と4の間にあることを証明している
- π=4を作るメトリックは、Manhattan distanceとmaximal distanceで確認できる
- π=3を作る例は、StackExchangeの回答にある六角形メトリックから得られる
- その距離式は次のとおり
d = 1 / (2√3) * Σ(n=1..6) | x sin(πn/3) + y cos(πn/3) |
- この式で使われているπは、ユークリッド三角関数に由来する通常のπである
- このメトリックの円は六角形になる
- 距離式で六角形の各辺の長さを計算すると、各辺は1で、全体の周長は6である
- 半径1で
6 = 2π(1) なので、このメトリックではπ=3になる
π-dayの代わりにπ-month
- 3月14日のπ-dayは、通常のπ=3.14…に合わせたもの
- すべてのメトリックでπは3と4の間になり得るため、それぞれの日付に合うメトリックを見つければ、3月全体をπ-monthのように祝える
1件のコメント
Hacker News の意見
数学を「仮定から出発し、可能な論理的帰結を見つけ出すゲーム」と捉える表現が、しばらく頭の中を巡っていた考えを本当にうまく整理してくれた
人々が形式検証済みの証明を mathlib に入れ続けるほど、その上でさらに多くの定理を形式的に証明しやすくなる
何もない状態では単純な証明でも書き直しや細部の指定が多く、純粋な労働に近いが、mathlib では
simpやlinarithのようなツールが反復的で重い作業の多くを代わりに担ってくれるようだ雪だるま効果が本当に興味深いが、自分が理解できるものはすでに全部入っている可能性が高く、意味のある貢献をするのは難しそうだ
「公理」が必ずしも「真理」に対応するというより、複雑性を生み出す任意の制約に近く、時にはその結果として得られるシステムが有用になる
有用でもあり、その有用性について哲学的に掘り下げる余地も多いが、それはゲーム自体とは別の性質だと見ている
料理本を面白半分に16進数へ変換するように、役に立たず、知識を増やさず、むしろ効用がマイナスであっても、それでもできるのがこのゲームだ
双子素数予想を証明しようとするのははるかに難しいレベルで、このゲームは年齢や実力に関係なく可能であり、頭の中、紙と鉛筆、世界最大の計算クラスタまで、何を使ってでもできる
技術的には他のすべてのゲームもこのゲームの部分集合であり、きれいな絵に色を塗ろうが、原子を衝突させようが、できるだけ大きな数まで数えようが、それぞれ望むやり方でプレイできる
引数について知らないことが多い関数ほど、より一般的に使える
選択公理はルベーグ測度不能な集合の存在を含意するが、そのような非可測集合の具体例を提示することはできず、存在だけを証明できる
逆に決定性公理を入れた代替理論では、実数のすべての部分集合が測定可能になる
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_determinacy
https://en.wikipedia.org/wiki/Lebesgue_measure
別の宇宙の幾何で π が異なっていたとしても、私たちの π と同じ値を持つ重要な定数は依然として存在するはず
たとえば級数
x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...で定義した関数の零点は整数 n に対してnπで、ここでの π は私たちの π である指数関数にも私たちの π が現れ、周期は
2πiである級数
4(1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …)の和は π: https://en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_formula_for_%CF%80級数
(1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + …)の和はπ²/6: https://en.wikipedia.org/wiki/Basel_problemしたがって
[1…N]から一様に選んだ 2 つの数が互いに素である確率は、N が大きくなるにつれて6/π²に近づく積
2(4/3)(16/15)(36/35)(64/63)(100/99)…も π: https://en.wikipedia.org/wiki/Wallis_productnが大きくなるとき、(n!/(√n (n/e)^n))²/2は非常にゆっくり π に近づく: https://en.wikipedia.org/wiki/Stirling%27s_approximation 例: https://www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=N%5C%2891%29Di...ほかにも非幾何的な結果が多数ある: https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=List_of_formulae_...
私の理解では、ヨーロッパ文明の人間たちが歴史的に、すでに定義されていた
sinとcosの周期に合わせるため、複素指数関数を周期2πiを持つように定義したのだと思う別の周期で定義することもできた。たとえば「360 度」を
2πではなく1とし、sin0=0、sin0.25=1、sin0.5=0、sin0.75=-1、sin1=0と定義していたなら、e^ixの周期も1と定義していただろう十進法も似ている。指が 10 本だから歴史的に十進法を使ってきただけで、宇宙人も 10 本指である理由はない
3.14...だと言うほうがよいただし別の宇宙では、円周の公式に π を使わないかもしれない
マンハッタン距離（
L_1）ではC = 8 R、ユークリッド距離（L_2）ではC = 2π R、チェビシェフ距離（L_infinity）ではC = 8 Rである数体系で基数を変えるのに似ているように見える
p-ノルム単位円について π に似た定数を定義する方法はいくつもあり、p != 2では互いに一致しないことがある単位円の面積で π を定義するとまったく異なる値になり、この定義は
p-円に対する自然な三角関数群の周期定数になるなど、見事な性質を満たすさらに
pi(p) = 2 Beta(1/p,1/p)/p...である一方、周長／弧長に基づく π の定義は、共役な
p, qについてpi(p) = pi(q)という興味深い性質を持つ“Squigonometry: The Study of Imperfect Circles” は、こうした内容を扱う面白い参考資料である
おそらく偏極恒等式は捨てなければならないだろうし、そうすると平行四辺形にも影響がありそうだが、正確なところは分からない
pi = 3.14159…は解析学とその拡張である統計学にも登場するので、幾何とは独立している別の宇宙の異星人もこの値は知っているはずで、ただ円については別の定数を持つだけだ
どうせ彼らがギリシャ文字を使っているわけではないので翻訳が必要であり、彼らの
3.757…を「π」に対応させるより、3.14159…を π と見るほうが違和感は少ないもちろん
3.14…(π)、6.28…(2π)、0.785…(π/4)のどれを基本定数とすべきかは議論の余地があり、異星人は別の考えを持つかもしれないこの記事は別の宇宙における円定数を説明するために 距離関数 の概念を導入しているが、任意の距離関数が線形スケーリングや並進不変性を保証するわけではない
円定数を意味ある形で定義するには、距離関数より強い仮定、たとえばノルムベクトル空間が必要で、提示されている例も実際には単なる距離空間ではなくノルムベクトル空間に見える
私たちの π は、単位円が完全に連続で微分可能である唯一の距離関数と結びついている
2-ノルム は多くの理由で非常に特別であり、ある点における距離と、その点たちが作る経路に沿って定数を積分した結果を結びつける定数が、他の定数より頻繁に見つかるのも自然に思える
その距離関数の単位円があらゆる点で連続性と微分可能性を持たないなら、他の多くのものがドミノ倒しのように崩れる可能性がある
点、距離、経路の間の簡潔な関係には、独特に中心的な何かがある
他のコメントで説明されていたように、π の値
3.14159は純粋な 数論 だけからも導けるが、魔法のように、私たちの知る物理世界を形作るうえで大きな役割を果たしている別の宇宙には別の数論があり得るのだろうか、それとも数論は宇宙とは無関係に真なのだろうか？代替的な数論とはいったいどんな姿なのか気になる
Buzzfeed みたいに聞こえたくはないが、表 3 はかなり筋が通っている
2piを繰り返し使っているこの人は帆走を知らないようだ
風に対して直角に帆走する ビームリーチ は、帆の揚力のおかげで最速の部類に入る
これほど具体的で正確でありながら不正確な比喩ひとつのために記事全体を dismiss しない、こうした細かな指摘があるから HN が好きだ
これは本当に驚きで、帆走はすごい科学だ
船、帆の効率、センターボード/キールの効率、つまり揚抗比によって変わり、一般には何らかのリーチが最速である可能性は高いが、真風の方向に対して正確に直角とは限らない
風速、波高、重量配分などによっても変わる
これらの例はすべて、背景の距離関数が ユークリッド的 であると仮定している
背景の 2 次元距離関数が曲がった 3 次元空間の射影なら、円の中心を引っ張って π を望むだけ大きくできる
半径と円周はどちらも、定義された 距離関数そのもの で測られる
ユークリッド距離と比較して原点を引っ張る距離関数なら、その写像は連続でなければならず、結局その距離関数において半径と円周が一緒に伸びる結果になる
実は、すべての距離関数について π の値が常に 3 以上 4 以下、端点を含むことを証明した記事をリンクしていたが、トラフィックに耐えられなかったようなので代替リンクを残す: https://www.researchgate.net/publication/353330827_Extremal_...
非ユークリッド幾何 では、ある円の円周と直径の比は定数ではなく直径によって変わるため、その場合そもそも「π」を定義できない
こういう資料は 3B1B よりずっと早い段階で、学習曲線の核心に入るべきだ
子どものころ、こういう関係を想像するのが好きだった
宇宙を作った神がいて、私のように退屈している子どもが学校の課題として宇宙を作っているのかもしれないと想像していた
その神が π や e のつまみを有理数に回したなら、もちろん神の宇宙ではつまみを正確な無理数値に回すこともできるとして、私たちの生活はもっと楽になったのか、それとも難しくなったのか。たぶんもっと楽になっていたかもしれない
地球から見た地球/月/太陽の見かけの大きさはどうだろう？それは素晴らしい手がかりだが、その偶然がなければ、天文学についてもっと多くを知ることになっていたかもしれない
宇宙の量子力学的な奇妙さや、文字どおり暗い物質を必要とする不均衡は、実は急いで作った子どもの課題に入り込んだバグで、そもそも筋が通っていないだけなのかもしれない
だが一番長く考えさせられたのは 無理数 だった
HN の記事の流れをきちんと読んでいたなら、Terence Tao の 測度論入門 は外せない
https://news.ycombinator.com/item?id=38064211
ところで真面目な話、誰が無料の 260 ページの測度論の本を読んだりざっと眺めたりするのだろう？
https://en.wikipedia.org/wiki/Measure_(mathematics)
大学で前提科目を飛ばすために、それで 測度論 を独学したが本当に難しかった
2 ページごとに演習問題が出てくるようなレベルで、時間をかけて解かなければ学べることは多くないと思う
しかもその演習問題が難しい
人はいつも 260 ページの本を読んでいる
私は関心分野ではないのでこの本は読まないが、別のテーマの 100 ページ超の本を読むので忙しい
p進数で作られた面白い空間があり、その上に単純な距離を定義すると、円が奇妙な性質を持つ
例えば直径、つまり最も遠い縁同士の距離と、半径、つまり縁から中心までの距離が互いに等しくなる
円板の面積と周長にも奇妙なことが起き、開円板が同時に閉じてもいる
そこでのπに相当するものは完全におかしなものになる
残念ながら詳細は覚えていない。2000年ごろの数学の授業の練習問題だった
https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number#Topological_prop...
船の比喩は特によくないように見える
風のある日の帆船と、暗黙のうちに風のない日の帆船を比較しているが、風がなければそもそも円もないはず
船の専門家ではないが、風がXノットなら船は追い風方向にXノットまで進めるし、記事の主張とは違って横風方向にはXの数倍の速度でも進める
そうすると図に似た楕円は出てくるだろうが、向きは逆になるはず
また船はタッキングとジャイビングによって、風「に向かって」進むこともできる