10代の数学者たち、驚異的なフラクタルを通じて結び目を結ぶ

紹介

• 2021年の秋、Malors Espinosa は高校生でも証明できる数学の問題を作ろうとした。
• メンガーのスポンジというフラクタルを通じて、あらゆる結び目を見つけられることを証明した。

メンガーのスポンジ

• メンガーのスポンジは、立方体からますます小さな立方体を取り除いて作られる。
• このフラクタルは無限の反復によって体積は 0 に縮み、表面積は無限に大きくなる。

結び目とフラクタル

• Menger はあらゆる曲線をスポンジに含められることを証明したが、あらゆる結び目も含められるかどうかは証明されていなかった。
• Malors と3人の高校生は、あらゆる結び目がメンガーのスポンジに含められることを証明した。

結び目を見る新しい方法

• 結び目をアーク・プレゼンテーションという特別なダイアグラムで表現する。
• メンガーのスポンジの面にアーク・プレゼンテーションの水平線と垂直線を配置し、結び目を3次元へ拡張する方法を見いだした。

結び目で測る

• 学生たちは trefoil knot を含むすべての「pretzel」結び目を、メンガーのスポンジの四面体版に含められることを証明した。
• この研究は、フラクタルの複雑さを測る新しい方法を提示する可能性がある。

結論

• この研究はフラクタルと結び目理論に新たな洞察をもたらし、数学的真理に貢献する意義深い仕事である。