- グラフィカル線形代数は、ダイアグラムを活用して線形代数と圏論の概念を興味深く説明するブログ
- 各エピソードでは、加算、行列、整数、分数、部分空間などの中核となる数学テーマを視覚的にアプローチしている
- PROPs、モノイド圏、線形関係などの圏論的解釈を提供し、従来の線形代数とのつながりを強化している
- ブログは、研究者と学生のためのオープンな研究・学習コミュニティを志向している
- 関連する外部寄稿、ワークショップ、翻訳プロジェクトとも活発に連携している
グラフィカル線形代数の紹介
- グラフィカル線形代数(Graphic Linear Algebra)は、視覚的なダイアグラムを中心に、線形代数や圏論などの抽象数学の概念をわかりやすく解きほぐすブログ
- 中核となる目標は、数式中心の従来の線形代数から一歩離れ、視覚的思考とダイアグラムによる論証を通じて複雑な概念を理解しやすく伝えること
- 数多くのエピソードは分類ごとに主要な概念、アルゴリズム、関係、ケーススタディなどを扱っており、内容は進行中のオープンプロジェクトとして継続的に拡張・更新されている
- ブログは、研究者、大学院生、現場の開発者など多様な背景を持つ読者を想定した学習と交流の場を提供している
主なエピソードと構成
Introduction
- Makéléléと線形代数、論証の方法論、ダイアグラム導入などの基礎内容を扱うエピソードで構成されている
Adding and Copying
- 加算、コピー、破棄、規則の定義など、自然数と演算の本質をダイアグラム的な論理で探究する
- Mr FibonacciやLegoの比喩など、親しみやすい例とストーリーテリングの手法が特徴
- 加算とコピー演算が自然数の構造とどのようにつながるかを視覚的に示している
Matrices and PROPs
- 行列とPROPs(Products and Permutations categories)、モノイド圏などの高次の圏論概念を紹介する
- ダイアグラムから行列への移行、PROPsの同型写像、行列のダイアグラム表現など、さまざまな変換を説明する
- このような圏論的アプローチを通じて、線形代数の本質と拡張性を強調している
Integers and Relations
- 整数行列、因果性とフィードバック、関数と関係、Frobeniusの公式などの高度なテーマを論じる
- ダイアグラム的手法によって、数論、関係、関数、およびさまざまな数学的構造を説明する
Fractions and Spaces
- 分数、部分空間、線形関係、逆行列、割り算できないことまで、線形代数の拡張を多様な視点から扱う
- ダイアグラムを通じて、複雑な演算、空間の構造化、行列の逆に関する定理などをわかりやすく解釈する
Redundancy – Jason Erbeleの3部作
- グラフィカル線形代数における**冗長性(Redundancy)**を中心テーマとして新しい視点を提示する
Interlude – ストリングダイアグラムと資源感受性文法
- **ストリングダイアグラム(string diagrams)**の意義と用途を強調する
Sequences and Signal Flow Graphs
- フィボナッチ数列、信号フローグラフなどの系列ベースのモデルを扱う
Out of order
Contributions
- 外部研究者が参加した行列式やLindström-Gessel-Vienot Lemmaなどの特集寄稿を含む
Offtopic
- 大学や研究環境の課題、モノイド・モナド・カテゴリをめぐる議論、ワークショップ案内など、数学・ITコミュニティの話題も時折扱う
学習とコミュニティの案内
- ブログは英語で書かれており、さまざまな言語への翻訳参加も活発
- ACT(応用圏論)研究スクールなど、オープンな研究プロジェクトに関する情報を提供している
- 購読やフィードバックのチャネル運営、博士課程学生の募集、翻訳プロジェクトなど、参加の機会が開かれている
特徴と意義
- 線形代数、圏論、アルゴリズム教育において、可視化ツールとしてのダイアグラム活用法を体系的に探究している
- 数式に慣れていない読者でも、直感的なアプローチと反復的な例を通じて複雑な数学構造を理解できる基盤を提供する
- オープンプラットフォーム志向により、最新研究、貢献、ネットワーキングに適した学習資料となっている
1件のコメント
Hacker Newsのコメント
相互作用ネットワークで計算を対称的な interaction combinators として符号化すると、いくつかの図がほとんど同じ形をしているのが印象的。
ラムダ計算の観点では、「When Adding met Copying」に出てくる加算ノードを複製する様子が、(λx.x x) M の形でラムダ項を繰り返し複製することと正確に一致している。
詳しくは この記事 と 図の説明 を参照するとよい。
グラフと可換性 (commutativity) について初めて本格的に説明する章を読んだとき、単純な概念をくどくど説明していると思った。
でも私は昔から、数学用語のうち c で始まる単語（可換性、結合性など）をどうしても覚えられなかった。
図による表現を通じて、可換性が何かを初めて確実に覚えられたし、その結びつきがあまりに面白くて思わず声を出して笑ってしまった。
「x + y = y + x」という式そのものは理解していたが、図が名前と一緒に頭に焼き付く効果のほうがずっと強かった。
本当にこの説明のしかたに魅了された。
目次 (ToC) にはないように見える。
Applicative Functors から一般化した Transformers の話。
機械学習では Transformer は最先端モデルの土台になっており、もともとは [arXiv:1706.03762] で提案された。
この投稿では、（ほぼ）任意の構造――関数、グラフ、確率分布など――に対して動作できる一般化された Transformer を紹介している。
行列やベクトルだけに限定せず、さまざまな構造へ適用する方法を扱っている。
こうした抽象的な図式的方法で機械学習を探究するアイデア連載の一部。
詳しくは こちら で見られる。
こういう資料は本当に好きだが、「やさしい」「簡単」といった言葉を繰り返し使う点は残念。
説明を読んでいる途中で概念がすぐには理解できず、自分が鈍いのではと感じてしまう読者にとっては、かえって挫折や離脱を招きうる。
こうした言葉は親しみやすさを出そうとして逆効果になることがあるので注意が必要。
説明書で「明白だ」「obvious」といった言葉は絶対に使わないほうがよい。
本当に明白なことなら、読者はそもそも説明書など読まないはずだから。
文章の中で不必要に感情を露骨に表すこと――たとえば「この場面のせいで私は腹が立った」と直接書くようなこと――も、読者の立場からするとかえって没入感を損なう。
伝えたい核心を示し、明確に、簡潔に語れば、読者は自分で自然に理解できる。
読者に「理解しやすい」と感じることを押しつけるより、さまざまなレベルの読者が挑戦に耐えられると期待する視点のほうがよい。
すべての読者が簡単に理解できるようにするのはほぼ不可能なのだから、できるだけやさしく明快に伝えつつも、難しさの感じ方は読者ごとに異なりうることを受け入れる姿勢も必要だ。
この資料が出た当時、本当に楽しく読んでいて、学生たちと一緒に追いかけてもいた。
でも今は止まってしまったようで残念。
pawel... だった気がするけど、確かではない。
「インターネットが教えてくれたのは、人間 + 匿名性 = 不快さ」
私の好きな警句の一つで、Penny Arcade の漫画 を見るとさらに実感できる。
数年前にこの資料を数章読んだとき、図による表現が論理的推論においてどれほど強力かを初めて実感した。
string diagrams で何か実用的なことをしたわけではないが、このシステムで何ができるのかを見る楽しさは本当に大きかった。
学校でもこんなふうに視覚資料で微積分を教えてくれていたら、理解力も興味もずっと高まっていただろうと思う。
視覚表現が理解を引き上げる力の大きさに、あらためて驚かされた。
これを完全に理解したことはないけれど、zx-calculus を思い出す。
ZX-calculus の紹介 (wiki)
University of Oxford の Bob Coecke が量子プロセス (quantum processes) のための図的言語を考案した研究を思い出す。
さらに興味があれば、Hacker News の そのスレッド も参照するとよい。
Immersive Linear Algebra という資料も勧めたい。
Immersive Linear Algebra のホームページと Hacker News のスレッド（こちら）を見ると、さらに詳しくわかる。