整数の第2素因数の中央値は37

数学的に魅力的な数 37 に関する驚くべき事実

• 数学者クリス・グロサックが『Those Fascinating Numbers』という本を通じて、数 37 に関する驚くべき事実を発見した。
• 数 37 は整数の第2素因数の中央値であり、無作為に選んだ整数の第2素因数が 37 より小さい確率はおよそ 1/2 である。
• この事実は最初は信じがたかったが、数の最小の素因数には小さな素数がより頻繁に現れることを考えると、もっともらしく思える。

Sage コードを活用した検証

• SageMath のコードを書いて、無作為に選んだ整数の第2素因数が 37 より小さいかどうかをテストした。
• 大きな数 N を固定し、1 から N の間の無作為な整数を選ぶ方法で確率を計算した。
• コード実行の結果、実際に中央値は 37 であり、第2素因数が 37 以下の整数の比率は約 0.5015 となった。

数学的証明

• De Koninck と Tenenbaum の論文では、エラトステネスのふるいを応用して、第2素因数が特定の素数 p である整数の密度を計算する方法が示されている。
• これにより、第2素因数が 37 である整数の密度がおよそ 0.5002 であることが証明される。
• さらに、このブログ記事のアイデアを使って、第3素因数の中央値を計算したり、k 番目の素因数の中央値が k に応じてどのように変化するかの漸近線を求めたりすることも可能である。

GN⁺の見解

この記事で最も重要なのは、数 37 が無作為に選ばれた整数の第2素因数の中央値であるという驚くべき事実と、それを証明するために数学的手法とコンピュータプログラミングがどのように組み合わされたかを示している点である。この記事は、数学とコンピュータ科学がどのように相互作用し、複雑な数学的概念を理解し検証するうえでどのように役立つかを示す興味深い例を提示している。初級ソフトウェアエンジニアにとっては、数学的事実をコードで実装し検証する過程を通じて学び、インスピレーションを得られる機会を提供する。

[GN⁺]

Hacker Newsの意見

• 37番目の素数についての面白さ

  • 37が特別に面白い素数だというより、素数の一覧に中央値が存在するという事実そのものが面白い。
  • 中央値は素数の一覧の要素の1つでなければならないため、どの素数になるかは偶然の一致である。
  • もし中央値が一覧の外の値でもなお37に収束するなら、それはさらに驚くべきことだろう。

• 37と他の素数の比較

  • 37が特定の整数の2番目の素因数の中央値であるという点で、31より面白い。
  • 他の素数と比べてより面白い整数についての提案や、最も面白い整数についての議論。

• 37に関する面白い事実

  • 37が新しいお気に入りの素数になったことを示すコメント。
  • 誕生日カードのアイデアとして使えることに触れるコメント。

• 記事と証明に対する反応

  • 記事がどのように証明するのかを明確に説明してくれたことへの感謝。
  • 証明の単純さへの驚きを表すコメント。

• 素数予測に関連する技術的な質問

  • 素数を予測するためにTransformerネットワークを使ってみた人がいるかという質問。

• 記事タイトルへの疑問

  • 記事タイトルが「非反復」を明示的に言及していなくても正確なのかという疑問。

• 37の他の数学的問題での登場

  • 最適停止問題／秘書問題でも37が登場することに触れるコメント。

• 数学的表現に関する質問

  • 中央値のk番目の素数を表す式で使われた対数の底が自然対数なのかという質問。
  • 曖昧さを避けるためにlnを使ったほうがよいのではないかという提案。

• 記事に対する全体的な評価

  • 久しぶりに読んだ記事の中で最高のものの1つだと評価するコメント。