数学の学習方法（2017）
(math.uh.edu)- 大学の数学は、高校のように決まった状況へアルゴリズムを適用する科目ではなく、定義・定理・証明を土台に適切な方法を選ぶ判断まで求められる
- 定義は直感だけで済ませることはできず、論理構造と適用範囲を把握し、例題・反例で確かめたうえで正確な文章まで身につける必要がある
- 定理・命題・補題・系は結果の役割と重要度を示しており、仮定と結論、使用例、仮定の必要性をあわせて理解しなければならない
- 証明は大学数学の選択項目ではなく、定理の文章をまず理解し、大きな戦略を見たうえで省略された細部の段階を補ってこそ正しく適用できる
- 問題解決の実力は反復練習だけでは十分ではなく、複数の解法を試し、ランダムな問題を解き、どの技法を使うかを選ぶ判断力を養う必要がある
大学数学が高校数学と異なる点
- 高校数学では多くの時間がアルゴリズムや操作技法に使われ、学生は決まった状況でそれらを適用することを期待される
- このような学習習慣だけでは大学数学についていくのは難しく、学生にも教員にも挫折を生みうる
- 大学数学における最初の大きな違いは、学生がしばしば理論と呼ぶ部分をはるかに重視する点である
- 定義と定理を正確に述べる
- 定理が成り立つ論理的過程を扱う
- 定義がなぜ適切かを示す例と、定理を実際に使う方法をあわせて扱う
- 講義の説明に
rigorousという表現があれば、それは定義と定理を非常に慎重に述べ、定理についてもっともらしい説明ではなく証明を提示するという意味である - 理論を大まかに読んですぐ問題へ進むやり方は、大学数学では困難を招く
- 二つ目の違いは、技法と応用問題の扱い方である
- 高校では一度に一つの技法を学ぶことが多い
- 大学数学では、一つの問題に複数のアプローチが可能で、その中からどの方法がよりよいかを選ばなければならない
- したがって、技術的熟練だけでなく、問題解決における判断力を育てる学習習慣が必要である
定義を学ぶ方法
- 数学の定義とは、ある概念を、以前に定義された概念や
number、setのような未定義概念と結びつけて、正確に境界づけ名付ける文である - 直観的な感覚は必要だが、大学レベルではそれだけでは不十分であり、定義の正式な文章とその意味を自分で扱わなければならない
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定義が述べていることを正確に理解する
- 定義は速読の練習をする場所ではない
- 確立された定義には通常、無駄な語や不要な記号はなく、
and、or、if ... then、for all、there isのような小さな語が論理構造を示している - まず、その定義がどの一般的な範疇の対象について述べているのかを把握しなければならない
- 多項式の定義は、特定の種類の代数式について述べる
- 連続関数の定義は、特定の種類の関数について述べる
- ベクトル空間の基底の定義は、特定の種類のベクトル集合について述べる
- 次に、その一般的範疇の対象が定義を満たすことを示すには何をしなければならないかを解釈する必要がある
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例で定義の範囲を確かめる
- 標準的な例は有用だが、すべての例が標準例に似ていると期待させてしまうことがある
- 定義を理解するには、自分で例を作らなければならない
- 定義を満たすが、互いにできるだけ異なる例を3つ作る
- 同じ一般的範疇には属するが、定義を満たさない例を2つ作る
- その5つの例が実際に意図どおりに機能することを証明する
- この種の証明はたいてい短く、定義の構造をほぼそのままたどる
- 自分で書いた例は、復習時に本や教員の例より大きな意味を持つ
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正確な文章を暗記する
- 定義を使うには、定義が正確に何を述べているかを知らなければならない
- 試験では、ある定義の文章そのものを問う問題が出ることがある
- 定義に関する確かな知識は学習全体の大きな部分を占め、ここに使う時間は無駄ではない
定理・命題・補題・系を扱う
- 定義は、互いに結びつき一般的な問題と関係づけられるときにはじめて実際に機能し、その役割を担うのが理論である
- 証明される結果につく名称は、相対的な重要度と意図された使い方をある程度示している
- 定理は、概念が問題解決にどう使われるか、あるいはその科目がどう働くかについて主要な洞察を与える重要な結果であり、証明が深く複雑なことが多い
- 命題はより小さな結果で、異なる定義を結びつけたり、定義の別形式を与えたりすることが多く、証明は通常定理ほど複雑ではない
- 補題は定理の証明に使われる技術的結果であり、同じ工夫が何度も使われるとき、それを切り出して証明の繰り返しを避ける
- 系は定理の直接の結果であり、特殊な場合を与えたり、定理の面白さや重要性を明らかにしたりする
- 著者や教員がこれらの名称を慎重に使っているなら、何が重要かを見極める助けになる
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定理の文章を理解する
- 定理は定義された用語を使うので、定理の語を理解するには関連する定義を見直す必要があるかもしれない
- 定理の論理構造では、仮定と結論を区別しなければならない
- 複数の仮定がすべて必要なのか、一部だけで十分なのかを確認すべきである
- ほとんどの定理は、すべての仮定が満たされてはじめて適用できる
- 仮定を満たさない状況について、定理は何も述べない
- 仮定は、特定の事例に定理を適用するために何を示すべきかを教え、結論は、その事例について定理が何を述べるかを教える
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定理がどう使われるかを確かめる
- 定理が答えを見つける技法を与える問題例を探すべきである
- 自分で問題を作り、その定理がどう役立つかを示すべきである
- これを書き留めておくと、定理が頭の中によりしっかり定着し、復習もしやすくなる
-
仮定の役割を確かめる
- 各仮定を外すと結論が偽になりうることを示す例を探す方法が有用である
- 微積分学の多くの定理には関数が連続であるという仮定があるが、この仮定が欠けるとなぜ定理が成り立たないのかを、例はよりはっきり示せる
- このような例の一覧は有用であり、
Counterexamples in AnalysisやCounterexamples in Topologyのような本が例として挙げられる - 場合によっては、仮定は結論に本質的だからではなく、複雑な証明を簡単にするために入っていることもあるので、すべての仮定が必須であることを示す例を常に見つけられるとは限らない
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定理の文章を暗記する
- 定理を使うには、定理が正確に何を述べているかを知らなければならず、とくに仮定に注意が必要である
- 定理の証明を丸暗記しようとするより、自分で証明できる程度まで理解するほうがよい
科目全体の構造を見通す
- 数学は雑多な技法の寄せ集めではなく、一つの考え方であり、統一された科目である
- 学習の一部は、さまざまな定義と定理を互いに正しく結びつけることにある
- この作業はとくに学期末に重要だが、学習中も全体の構成を意識すれば、科目の内容と配列を理解する助けになる
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逆向きにたどる
- 重要な結果に到達したら、その証明でどの以前の結果が使われているかを見る方法が有用である
- そうした以前の結果がさらにどのより早い結果によって証明されているかをたどれば、最終的には定義にまで戻ることができる
- ただし、微積分学で中間値の定理の証明が省略される場合のように、一部の定理は証明なしで与えられることがある
- この情報を結果どうしの系譜図のように整理すれば、理論がどうかみ合っているかを一目で見られる
- 平均値の定理の例では、Rolle の定理、候補補題、導関数の符号の意味、導関数の定義、最大値・最小値の定義、閉区間の定義、最小上界公理、連続性の定義などが結びつく
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定義‐定理の概要を作る
- 主要な定理ごとに定義まで逆向きにたどると、どの結果が他の結果より先に必要になるかを把握できる
- ある定義は、特定の定理が証明される前には意味を持たせにくいことがある
- ベクトル空間の次元は、その数として述べるものが一意であると分かってはじめて名前を与えられ、そのためには定理が必要である
- 定義‐定理の概要とは、各結果が証明で必要になる前に先に導入されるよう並べたものである
- この概要には、すべての定義と定理の正確な文章、各定理の証明のスケッチが含まれるべきである
- 証明のスケッチは、どの以前の結果が使われ、それらがどう組み合わされたかを示し、計算の簡略化や仮定確認のような日常的な段階は通常省略する
- このような概要は、復習を始めるよい方法であり、後で参照する資料としても役立つ
証明を理解する方法
- 大学レベルの数学では多くの証明を追わなければならず、高校数学では証明がなかったり選択項目だったりしたのとは異なる
- 証明を追うことは不慣れで難しい作業であり、不人気であっても不思議ではない
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まず定理の文章を知る
- 仮定と結論を混同すると、何を仮定してよいのか、何を結論として到達すべきかが分からない
- 証明理解の第一歩は、その定理が正確に何を述べているかを知ることである
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証明の大きな輪郭をつかむ
- まず、どの以前の結果が使われているか、証明の基本戦略が何かを見なければならない
- 最初の通読では細部を省き、全体の方向を見失わないことが大切である
- ほとんどの定理は含意の形をもち、もっとも容易な証明構造は、仮定を受け入れ、以前の結果を組み合わせて結論へ至ることである
- 対偶による証明、背理法、数学的帰納法、Zorn の補題のような選択公理の一形式も戦略として使われうる
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省略された細部を埋める
- 戦略を理解した後は、戦術に集中しなければならない
- 学部教材の証明説明も、より高度なレベルの証明説明も、多くの日常的な段階を省略している
- 式が簡略化されていれば、行間の計算を埋める必要がある
- 定理が引用されて適用されているなら、すべての仮定が実際に満たされているか確認しなければならない
- 一部が読者に委ねられているなら、その細部を自分で補わなければならない
- 終わったときには、各段階が前の段階からなぜ従うのかを分かっているべきであり、その証明をどう思いついたかまで必ずしも知る必要はない
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なぜ証明を学ぶべきか
- 数学専攻の学生にとっては、数学の大きな部分が証明から成るので、答えは明白である
- 数学を応用しようとする学生にとっても、証明は必要である
- 他分野での応用は、数学教科書の応用問題と正確に同じである可能性は低い
- 数学の講義が既知のすべての応用を扱えるわけではなく、数学文献には2週間ごとに約500本の応用論文が掲載されるという
- 定理の仮定を知らなければ、定理が成り立たないところへ誤って適用してしまう
- 必要であれば、破れた仮定をどう回避するかを見るためにも、証明を知っていることが役立つ
- 応用数学の大きな落とし穴の一つは、数学モデルの仮定を都合よく無視することである
- 非数学者が応用数学を行うときには、とくにこの危険がある
- 数学者が応用数学を行うときには、現実と関係のないモデルを作る落とし穴に陥る可能性のほうが高い
- 多くの応用は、他分野の用語で表現された数学的概念の定義を見抜くことから成る
- 証明は、定義の微妙な違いや、予想外の同値な形をはっきり示すことができる
- 数学において証明は妥当性の最終試験である
- 証明の論理過程を受け入れれば、その後の観察や流行の変化が数学的結果の妥当性を変えることはない
- 数学において証明が欠けていれば、それは重大な欠落であり、もはや数学ではないと言える
問題解決の技法を身につける方法
- 数学の科目の約3分の1から半分は技法を扱う
- 技法とは、定理が一般的な形にとどまらず、特定の状況で機能するようにする過程である
- 場合によっては、証明が明示的な構成を与えるので、それを特殊な場合に従って実行すればよい
- 積分技法のように、一つの問題に複数のアプローチや複数の工夫が適用できる場合には、判断力が必要になる
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まず定理と例を読む
- 問題解決を、その科目の他の内容と無関係な過程のように扱うと、学習はより難しくなる
- 問題はしばしば、前に出てきた主要な定理の証明で明示されたパターンに従う
- 一般的なパターンをあらかじめ知っているほうが、試行錯誤で見つけるより容易である
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十分な問題を解いて技法に慣れる
- 単一の技法が頭の中にしっかり定着するだけの十分な数の問題を解かなければならない
- 学習に対する最終責任は学生自身にあるので、提出課題より多くの問題が必要なら、自分で練習しなければならない
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同じ問題を複数の方法で解く
- 一つの技法を練習していると、一つの問題にアプローチが一つしかないと思い込みやすい
- あるアプローチは簡単で、別のアプローチは複雑かもしれないが、複数の解法が同じくらいうまく機能することも多い
- 複雑なアプローチは、複数段階や複数技法を要する問題解決の練習になる
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ランダムな問題セットを作る
- 複数の技法を学ぶ際の難しさは、解き始める前にどの技法を使うか決めなければならない点にある
- 教材の問題は通常、直前に学んだ技法を使うようにまとめられており、この難しさをさらに大きくしてしまうことがある
- 各問題セットから2〜3問を選び、3×5カードに書いて混ぜれば、どの技法を使うか決める練習用の問題セットを作れる
最後の学習習慣
- 数学の文章は重複が非常に少なく、数学は非常に積み上げ型の科目である
- いったん導入された概念はめったに繰り返されず、後では既知だと仮定される
- 問題を解く前に本を読むための十分な時間を確保しなければならない
- ほとんどの学生は、授業中に完全で読みやすいノートを作れるほど速く書けない
- 授業直後にノートを見直し、定義と定理を明確に書いた清書版を作ることは有用である
- この過程は、理解できていない部分を見つけて、適切な時期に教員へ質問する助けにもなる
- 遅れをためてはいけない
- 数学には、精密さ、明晰な思考習慣、そして練習が求められる
- 試験直前の詰め込みは、望む試験結果を出せないだけでなく、理解ではなく暗記で数学をしようとする悪い習慣を強めてしまう
- 直前の暗記より、十分な睡眠と冴えた頭のほうが役に立つ
1件のコメント
Hacker Newsのコメント
数学の博士号を持っていて論文も何本か出しているが、私のおすすめはメタ原則が1つだけ。数学を楽しむこと
Benjamin Finegoldが、チェスの秘訣は一手一手を楽しむことだと言っていたのに似ている。個人的に数学で苦労したことはなかったが、その理由は記号を書き、新しい理論を学び、自分で作ってみる行為そのものが本当に好きだったからだと思う
誰もが最初から数学を楽しめるわけではないが、その少なくとも半分は、数学を楽しむための明確な道筋を見つけられなかったからだと思う。高校数学はたいてい、すばらしい芸術的・論理的探究としては教えられない
だから、すでにその道を見つけているメンターに出会い、数学を楽しむ方法を見せてもらうのがよい。実際、数学が嫌いで難しいと感じていた学生をたくさん教えてきたが、何度かすると「これ、かなり面白いかも？」という目つきが見えることがよくあった
論理、勉強法、退屈な生産性テクニックを適用する前に、まず楽しむ方法を見つけるべき
彼らは数学を苦い薬を飲むようなもの、あるいは複雑で硬直した技術を訓練するようなものだと見ている。そのため教え方も下手で権威的になり、学生は受け身になったり反抗的になったりする
最近、カナダのManitoba州政府が、数学教師に大学の数学科目の履修を求めないよう変更したが、大学の教育学部がこれを強く推していることは、数学教師たちがどれほど数学を嫌っているかを示していると思う
多くの人は、何かを好きであることと、それが得意で気分がよいことを混同している。だから、ある分野が自然には解けなくなると、後で専攻を変えて、自分の強みが通用する場所へ移っていく
問題は早く諦めすぎることで、それを防ぐには序盤に自信を積み上げることが重要だ。自分はできないと感じていると楽しむのはほぼ不可能なので、基礎的な習熟が楽しさとその後の成功への第一歩になる
博士ではないが、幼い学生に数学の家庭教師をかなりしてきており、数学は面白くて驚きに満ちているという感覚を育てる新しい方法をいつも探している
多くの学生にとって数学は、ほとんど無意味な苦痛として深く根付いていて、劣等感や恥の感情とも強く結びついているので簡単ではない
いったいどうやって自分で数学を楽しめるようにすればいいのだろうか？
学部時代、すべての数学科目での私の秘訣は問題を解くことだった
教科書の各章末の問題を全部解き、図書館で別の教科書を探して、その本の章末問題も全部解いた
大学院ではさらに広げて、教科書のすべての章を書き直しながら、証明の中間ステップを埋めた。著者が「したがって……」や「明らかに……」で済ませた部分まで全部埋めた
20年後に文脈なしで読んでいる今の自分には、まったく突破できない
基本定義を反復練習し、間隔反復で復習した。また、Cornellノート法は授業中の整理と復習に便利だった
解けなかった問題や解けた問題、なぜ詰まったのか、何がうまくいったのかなどを記録する思考日誌をつけた。こうしたメタ認知は新しい問題へ転移するのに役立った
互いに多く説明し合う勉強会も大いに助けになった
人間にとっては最適な戦略ではないと思う。学生が分析的・概念的に学べるよう助ける数学教材を作るべきだ
生物学を学ぶ方法のように
質問することがなくても、その時間に宿題をして、ほかの人の質問を聞けばいい
より多く学べるだけでなく、TAが努力を認めて、部分点や成績の境界線上で有利に見てくれる可能性も高くなる
例えばCLRSの全問題を解くのは不可能だと思う。教授がユニバーサルハッシュ法の問題を1つ出したが、正しい証明の核心となる洞察を得るだけで数時間かかった
競合する優先事項が多い状況で、本当に才能のある一部の人を除いて、どうやって全問を解けるのか想像できない
学校から大学へ移るときに最初に慣れなければならないのは、完全に道に迷い、打ちのめされた気分になる状態だ
高校の終わりには何でも解けたし、IB試験も時間が大幅に余り、正規カリキュラムの問題で解けないものを見たのは何か月も前だった
大学に行くと、たった今聞いた講義と問題用紙がどう関係しているのかさえ分からない問題が出た。「この講義を聞いて、その情報でこの問題を解くはずなのに、問題自体が何を意味しているのか分からない」という感覚だ
学習はまさに、そのもどかしく頭をぶつける過程で起こる。読み、さらに読み、役に立たない導出式でノートを埋めているうちに、やがて形が見えてくる
大学では資料の量があまりに膨大で、限られた時間内に誰かがすべて説明してくれることはできない。学生が核となるアイデアを拾い上げ、残りは自分で時間をかけて埋めなければならない
私の通っていた大学には学期前の数学復習コースがあり、自然数の足し算から始まった。2日で、13年間学校で学んだ内容がすべて反復された
期待値を残酷にリセットする過程だったが、ここはもう学校ではないこと、そして別種の作業と集中が必要だということを全員にはっきり知らせてくれた
関連リンク:
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=26524876 - 2021年3月、コメント73件
How to Study Mathematics (2017) - https://news.ycombinator.com/item?id=16392698 - 2018年2月、コメント148件
ボーナス: Ask HN: How to Study Mathematics? - https://news.ycombinator.com/item?id=23074249 - 2020年5月、コメント31件
Ask HN: How to self-study mathematics from the undergrad through graduate level? - https://news.ycombinator.com/item?id=18939913 - 2019年1月、コメント227件
Ask HN: How to self-learn math? - https://news.ycombinator.com/item?id=16562173 - 2018年3月、コメント211件
興味深いことに、このガイドは直観的理解は学校レベルの数学には合っているが、大学レベルには合っていないと述べている
一方でDavid Bessisは近著『Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity』で、直観こそがあらゆるレベルの数学理解における「秘密」だと主張している
ここからどんな結論を出すべきかは分からないが、昔の自分の大学数学の経験では、直観は科目理解を発展させる強力な道具だった
高校生が高校数学の問題を見るときは、K-12の数学経験全体をもとに解法の直観を引き出す。学部数学に進むと、既存の経験ではもはや十分ではなくなり、苦しくなる
より抽象的な問題と、はるかに高い厳密性が求められ、問題も高校数学よりBloomのタキソノミー [1] でより高いレベルで機能することが多い。平均的な高校生にとってはほとんど経験のない領域なので、直観がなかなか生まれない
経験が蓄積すれば、学部後半、大学院、その先で直観は戻ってくるが、本質的に別の種類の直観になる。高校では視覚的・幾何学的な直観が多かったとすれば、高等数学では抽象化や問題を攻略するための道具に関する直観になる
プログラマーが問題を見て「ハッシュマップが必要で、そうすればこの問題は自明になる」と言うのと変わらない
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Bloom's_taxonomy
日常生活の中で、幾何学的対象や2次元の微積分の曲線のようなものに対する感覚があるからだ
大学レベルでは対象がより抽象的になり、日常的な直観はもはや適用できないことがある。新しい種類の直観は生まれ得るが、形式的な手続きや計算に多くの時間を費やし、その時間を振り返り、直観を引き出す新しいメタファーを積極的に作る努力が必要になる
例えば、ある教授は複素平面上の正則関数について、局所的性質を証明するとそれが大域的な振る舞いにも真になる様子を説明するために、Cat's Cradle のアイス・ナインをメタファーとして使っていたのを今でも覚えている
必要ないという意味ではなく、十分条件ではないという意味だ
Taoの表現で言えば、技術的能力を十分に発達させた後の脱厳密段階で、直観の価値ははるかに大きくなる
https://terrytao.wordpress.com/career-advice/theres-more-to-...
Bessisは実際、直観と技法が互いによく補完し合う例も挙げている
Gian-Carlo RotaのThe Lost CafeからのSitzfleischの引用が印象的
ドイツ語のSitzfleischは、机の前で果てしない時間を過ごしながら骨の折れる仕事をやり遂げる能力を意味し、数学者たちは心理学者が時折提示する魅力的な才能の定義よりも、これを成功のより良い尺度と見なしているという
しかしStan UlamはSitzfleischなしでも持ちこたえた。脳炎を患った後、損なわれていない想像力でアイデアを出し、技術的な支援は他の人々のSitzfleischに頼るようになった
彼の洞察の美しさと提案の可能性のおかげで、若い共同研究者たちは喜んで自分の時間を貸し、時にはそれを無駄にするリスクさえ引き受けた
出典はここで見つけた引用: http://www.romanpress.com/Rota/Rota.php
私の場合、すべての証明を自分でやってみようとしたとき、まったく新しいレベルに到達したと感じた
以前は、テーマを何度か読んだあと、定義と証明を一つずつ見ながら、まず命題を思い浮かべ、それから自分で証明しようとしていた。そうすると、本文で述べられていることは間接的にほぼすべて達成される
興味深いのは、そうした後には、以前は複雑だった演習問題の大半が、すぐに解ける問題に変わったことだ。ほとんど演習問題を解かなくてもよいチートコードのようだった
大学でさまざまなレベルを教えていたとき、毎年、自宅で定理の証明を思い出してみた人がいるか尋ねていたが、誰もいなかった。そうすべきだと言うと、いつも驚かれた
この記事には、数学学習のメタが抜けている
自分がどう学ぶかについての創造的な内省は、大学の中盤あたりから本当に報われ始める
慣習との関係が、技法との関係と同じくらい重要になる。何かの「全体」を理解するには、いま見ている提示の仕方がどのような偏りによって形作られているのかも理解しなければならない。おそらく、その偏りを剥ぎ取りたくなるはずだ
数学を変えたい場合でも、ただ学びたい場合でも同じだ。他人の望むとおりにやろうとする受け身の態度は、挫折への道だ
HNで見かけてMathAcademy.comに登録したのだが、最近の体験はとても気持ちよく驚かされるものだった
50代になった今、35年前の高校数学を学び直したくて Foundations シリーズを速いペースで進め、現在 Foundations 3 の半分あたりまで来ており、9週間にわたって1日2時間ずつ取り組んで約9000 XPを貯めた
2025年には、もっとゆっくりしたペースで大学レベルのコースを1〜3個やってみるつもりだ
独学者として、自分の学習スタイルによく合っていた。楽しく、測定可能で、難易度が調整され、「壁」や「満たされていない依存関係」にぶつからず、解けなかった問題の解説も徹底している
最大の気づきは、復習・暗記のために大量のノートを残さなくても学べるということだった。経験と間隔反復で十分だった。クリスマス休暇が、学習が実際に定着したかを見る試金石になるだろう
9週間で9000 XPとは、ペースが印象的だ
「遅れを取るな」という文が強く響いた
私は1年次のいくつかのテーマで苦労したが、助けを求めることも、十分な時間をかけることもしなかったため、結局取り戻せなかった怠惰な数学専攻の学部生の一人だった
教え方も、あちこちで非常に悪かったと思う。「とにかく信じろ」という感じで流したり、「これは明らかなので完成は君たちに任せる」という感じだったりして、18歳には正直最悪だ
「解析学1」で30%を取っても、次の学期にそのまま「解析学2」に押し込み、自分で目を覚ますことを期待する仕組みは、まともな仕組みではないと思う
大学で数学をやっていた時間は本当に苦痛で、工学やコンピュータサイエンスのような、もっと応用寄りのことをやるべきだったのかもしれない
誰かが「学校で生物が好きなら大学では心理学を、化学が好きなら生物を、物理が好きなら化学を、数学が好きなら物理を、哲学が好きなら数学をやれ」と言っていたが、聞いておくべきだった
ただ、完全に成熟した大人になってからなら、くだらない時間制限や成績のプレッシャーなしに、いつでも数学を見直すことができる
数学は時間的なプレッシャーにうまく合わないと思う。数学とは、アイデアと長く付き合い、いじって遊び、リスクを取り、ばかげた推測もしてみることだ。本質的に遊びであり、時間的プレッシャーは誰の役にも立たない
興味があったなら、いつでも戻ることができるし、望むなら授業を受け直すこともできる。独学者向けの良い本や、一緒に学ぶコミュニティもたくさんある
しかし、物事の底まで降りてすべてを理解し、科学の根本的な問いを解きたいなら、むしろ逆にしたくなるかもしれない
生物が好きだったなら、生命過程は電気化学的な過程なので化学を学び、化学が好きだったなら、分子や原子、その形成と反応は物理的な過程なので物理を学ぶ、という具合だ