- 数学は物理学の言語として使われてきたが、いまや物理学の直観が数学の難問や新しい構造を切り開く源泉としても機能している
- 物理学者は厳密な証明よりも素早い探索にあまり縛られないため、数学者が後から検証する新しい概念やつながりを先に見つけられることがある
- 弦理論は Calabi-Yau 多様体、K3 surface、M-theory を通じて、代数幾何学と微分位相幾何学、群論、位相幾何学のあいだに予想外の関係を生み出している
- 退けられた物理理論であっても数学には長く残りうる。Lord Kelvin の vortex theory は消えたが、その数学は結び目理論の発展と DNA のような絡み合った分子の理解へとつながった
- Langlands program、Riemann hypothesis、Birch and Swinnerton-Dyer conjecture のような大問題では、物理学と数学の境界が低くなるほど新たな突破口が開ける可能性が高まる
数学が物理学を助けていた流れの逆転
- Albert Einstein は 1915 年の一般相対性理論において、半世紀以上先行していた純粋数学が時空の構造を正確に説明していることを、数学の「真の勝利」とみなした
- 数学はもともと測量、計算、物理世界の理解のために作られ、Mesopotamia の Sumerians は財貨や財産を数えるために掛け算表が記された粘土板を残した
- その後、政府や商業を助ける道具だった数学は高度に抽象的な領域へ広がり、物理学の大きな突破を支え続けた
- 近年では流れが逆転し、物理学の法則とパターンが数学の長く停滞していた分野を動かしている
物理学者が数学の地形を見渡すやり方
- Timothy Gowers は、物理学者は数学者より厳密な証明に縛られにくいため、数学的地形をより速く探索できると考えている
- 数学者が狭い領域を深く測量するとすれば、物理学者は広い未開拓領域を素早く見渡し、強力な概念や関係を先に見つけられることがある
- その後で数学者はその発見に立ち返り、証明するか反証するかを試みる
- この流れは昔から繰り返されてきた
- Archimedes は、力学の法則が重要な数学的発見を導いたと書き残している
- Isaac Newton と Gottfried Wilhelm Leibniz は、落下する物体の運動を理解しようとして微積分学を発展させた
20世紀半ばの断絶と Michael Atiyah の橋渡し
- 20世紀半ばには、物理学から新しい数学が流れ出る動きはほとんど枯れ、数学者も物理学者も互いの分野に大きな関心を示さなかった
- 数学では Bourbaki group が数学を可能な限り精密にし、さまざまな分野を最初から再構築しようとした
- 物理学では Standard Model のようなアイデアが発展したが、多くの物理学者にとって数学は便利な道具であり、Bourbaki 流の厳密な数学観には関心が薄かった
- Michael Atiyah は 1970 年代半ばから理論物理学を新しいアイデアの最有力な源泉とみなし、両分野の相互作用を促した
- 物理学者が提起した数学的問題を扱った
- 物理学的アイデアで純粋数学の結果を証明した
- 物理学者にとってなじみの薄い現代数学の重要部分を伝えた
弦理論が生み出した数学的なつながり
- Edward Witten は Atiyah と 1977 年に出会って以来長期の協力者となり、その後は弦理論の先駆者となった
- 弦理論は、宇宙の基本構成要素を Standard Model の粒子ではなく、小さな 1 次元の振動する弦とみなす考え方である
- 物理学ではまだ「万物の理論」にはなっていないが、代数幾何学や微分位相幾何学のような抽象数学の分野には大きな影響を残している
- Witten と他の弦理論家たちは、のちに数学者が証明することになる精密な予想を生み出した
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Calabi-Yau 多様体と列挙幾何学
- 1991 年、Philip Candelas、Xenia de la Ossa とその共同研究者たちは、弦理論を列挙幾何学の古典的問題に応用した
- 列挙幾何学は、幾何学的問題の解がいくつあるかを数える数学分野である
- 平面上の 2 点を通る直線は 1 本、与えられた 3 つの円に接する円は 8 個、といった問いを扱う
- 彼らは弦理論の道具を使って、Calabi-Yau 多様体の中にある特定の曲線の数を数える問題を扱った
- その結果は、数学者たちが数十年にわたり別々に研究してきたsymplectic geometryとcomplex geometryを結びつけた
- 無関係だと考えられていた 2 つの分野がつながると、一方の道具で他方の問題を解けるため、数学では深い成果とみなされる
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M-theory と duality
- Witten は 1995 年、10 次元を必要とする 5 つの弦理論が、1 つの 11 次元概念であるM-theoryの異なる側面だと提案した
- M-theory はまだ証明されていないが、異なる理論どうしの対応をたどる過程から驚くべき数学的発見が生まれている
- Yang-Hui He は、弦理論が前例のない形で数学者に新しい構造を提供しているとみている
K3 surface と予想外の数学構造
- Yang-Hui He と Federico Carta は、最も単純な Calabi-Yau 多様体であるK3 surfaceを研究するなかで、新しい関係を発見した
- その関係は、位相幾何学で図形の分類に使われるhomotopy groupsと、対称群であるMatthieu 24のあいだにある
- 純粋数学の異なる分野である位相幾何学と群論のあいだにも、予想外のつながりが明らかになった
- He は、数学者が研究できるパターンや構造は無限にあるが、現実から出てくるものは何らかのレベルで直観を持てる対象だと考えている
- Nigel Hitchin も、数学研究は真空の中で動くのではなく、新しいアイデアはある種の現実感、あるいは誰かの現実感の周囲に凝縮する必要があるとみている
「悪い」物理学が良い数学を生むこともある
- 物理学は数学に対して、より強い動機と探索の焦点を与えうる
- 現実世界がどう働くはずかという直観と、もっともらしい到達点があれば、数学者は問題をより速く前進させられる
- この枠組みでは、退けられた物理理論であっても良い数学を生み出しうる
- William Thomson、すなわち Lord Kelvin の vortex theory は、原子を複雑に結ばれた回転リングとみなし、それぞれの結び目を化学元素に対応させた
- この理論は電子の発見後に退けられたが、その数学は結び目理論の発展へとつながった
- 結び目理論は純粋数学の豊かな研究分野となった
- 流体力学や、DNA のような絡み合った分子の理解にも思いがけない応用を持つ
人間の脳、物理世界、数学的な美
- Atiyah は物理学と数学の関係を人間の脳の進化と結びつけた
- 人間は長い進化の産物であり、強力な脳は物理世界での生存と成功に有利だった
- 人間の脳は物理的問題解決のために進化し、そのために適した種類の数学を発達させた、という解釈につながる
- Atiyah が共同参加した 2014 年の脳画像研究は、数学的な美の経験が、美しい音楽、芸術、詩と同じ脳領域を刺激すると結論づけた
- 現実の研究から生まれる数学は、人間の脳が好む種類の数学なのかもしれない
物理法則も数学定理のように必然なのか
- Daniele Molinini は 2023 年の論文で、Eugene Wigner の 1960 年のエッセイ “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” に応答する形で “The Unreasonable Effectiveness of Physics in Mathematics” を論じた
- 彼の答えは、一部の物理法則は数学定理のように反駁不可能かもしれない、というものだ
- 一般に哲学者は、数学的真理をあらゆる可能世界で真である必然的真理とみなし、自然に関する経験的事実は異なりうる偶然的真理とみなす
- Molinini は保存則が必然的な物理法則の候補になりうると考えている
- 物理学では、エネルギーや運動量のような系の一部の性質は変化しない
- 坂を下る自転車の乗り手は重力による位置エネルギーを運動エネルギーに変えるが、人と自転車の総エネルギーはそのままである
- 保存が必然的なら、Archimedes が力学的考察を通じて幾何学的証明の真理をうまく推論できたことの説明になる
宇宙が数学でできているという見方の限界
- Galileo が 17 世紀初頭に表現し、多くの数学者が支持してきた見方は、宇宙が数学の言語で書かれているという考えである
- この考えは Pythagoras とその追随者たちにまでさかのぼる古代的起源を持つ
- Max Tegmark の mathematical universe hypothesis はさらに極端である
- 宇宙は数学で記述されるだけでなく、数学そのものから成っている
- 私たちの宇宙は無限の並行宇宙の 1 つであり、あらゆる数学的可能性はどこかで実現している
- Mark Colyvan は、経験科学と数学のあいだには親密なつながりがあり、世界そのものが何らかの意味で数学的だという結論を導けると考えている
- ただし、知られている物理学の数学は数学全体のごく小さな部分にすぎないため、この見方だけでは、物理学から生まれた数学がなぜとりわけ豊かなのかを十分に説明しにくい
mapping では説明しにくい逆方向
- Molinini は、数学の応用可能性を説明する一般的な哲学的枠組みであるmappingに異議を唱えている
- mapping は、質量や距離のような物理概念を Newton の万有引力の法則の方程式のような数学的対象に対応づけ、計算結果を再び物理的性質へ対応づけるやり方である
- この過程を逆にして、物理学から数学がどう生まれるかを説明しようとすると、mapping はうまく機能しない
- 哲学者たちはこれまで、なぜ数学が経験科学に適用できるのかに集中してきたが、これからはなぜ物理学が数学に対してこれほど有効なのかも重要な問いになる
さらに近づく物理学と数学
- Yang-Hui He は、現代物理学は数学者に新しい道具と予想外の手がかりを数多く与えており、純粋数学の大問題を解くには両分野がさらに緊密に協力すべきだと考えている
- Langlands programはそのような領域の 1 つである
- Robert Langlands が 1960 年代に構想し、「数学の grand unified theory」と呼ばれる
- その一分野である geometric Langlands は、最近 5 本・800 ページにおよぶ証明で解決されたと伝えられている
- その証明の重要部分は、弦理論の基盤の 1 つである conformal field theory から得られた洞察に依拠している
- 数学者たちは Riemann hypothesis や Birch and Swinnerton-Dyer conjecture でも、すでに物理学を活用して前進を試みている
- He は、両分野の連携こそがこうした巨大な問題を開く鍵になる可能性があるとみている
- 物理学と数学は Newton や Gauss の時代のように再び一体に近づきつつあり、より異質で洗練された数学的道具の一部は、まだ発明されていないのかもしれない
1件のコメント
Hacker News のコメント
ある物理学者が夜、帰宅途中に街灯の下で地面を見ている数学者の同僚を見かけて、「どうしたの？」と尋ねると、数学者は「鍵を落としたんだ」と答えた。物理学者が手伝おうとして「どのあたりに？」と聞くと、数学者は向こうを指して「向こう」と言った。物理学者が「じゃあ、なぜ向こうで探さないの？」と言うと、数学者は「ここのほうが明るいから」と答えた
開示しておくと、私は数学者です
面接官が「今度は同じ状況ですが、ハンマーが床にあります。どうしますか？」と尋ねると、数学者は「ハンマーを床から机に移して、すでに解いた問題に帰着させます」と答えた
この記事に関連するジョークとしては、数学者は腕が3本ある人のためのコートの位相幾何を設計するのに時間を費やし、物理学者はそういう人を見つけ出す、というものがある
いちばん好きなジョークは、数学者の息子が初めて学校に行ったとき、先生が「1+2はいくつか分かる人？」と尋ねると、その子が立ち上がって「いくつかは分かりませんが、自然数モノイドにおける加法は交換法則を満たすので、2+1と等しいことは分かります」と答えるもの
開示しておくと、私はソフトウェア開発者です
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Nasreddin#cite_ref-32
物理学者が鍵を落とす。数学者：「ユーレカ！」
「数学研究は真空の中で機能するわけではない」という Hitchin の言葉が核心に近いように思える。物理学だけが興味深い数学を牽引しているわけでもないし、こうした関係が最近になって生まれたわけでもない
数学は、私のつたない考えでは究極のドメイン特化言語だ。何かをモデル化するために使う道具であり、そのモデルが後にそれ自体としても興味深くなることが多い
新しい対象、例えば新しい現実概念をモデル化しようとすると、新しい形で興味深いモデルが現れたり、既存のモデルを再文脈化したりすることになり、そのため再構成・凝縮・一般化が必要になって分野が発展する
https://en.wikipedia.org/wiki/A_Mathematician%27s_Apology
数学が基盤となる地形そのものを描写していると考えがちだが、実際には私たちがその地形について共有しているモデルの上で機能している。だから私たちが別のものを考慮すれば、数学もそれに従うことになる
大学時代、物理学の講師が何気なく、物理学と数学の区別は20世紀的な発想だと言っていた。19世紀やそれ以前にはそのような区別はなく、21世紀には再び消えつつあるようだ、と
今日その区別が曖昧になっているのは、まったく逆の理由による。人々は堅固な数学で構想されたものは何でも真であるはずだと考え、観測は後景に押しやられている
数学にはそのような要請はなく、自然現象をモデル化する必要もない。その物理学講師はプラトン主義者のように聞こえる
1600年代後半の微積分学の根本的な発展により、こうした主題を一つの研究・分析方法の下にまとめられるようになり、それを今では物理学と呼んでいる
現代数学の多くの部分も微積分の系譜から出ているため、モデル化される対象とモデル化の道具との境界は自然に曖昧だが、その期間を通じて区別はかなり強く存在していた。例えば確率や代数学を見ると、研究者たちが物理学と数学の両方を追求することは多かったが、二つの主題が区別されることは理解していた
21世紀にその区別が消えることはあり得ない。数学はもはや物理世界に縛られていないからだ。数学とは、公理と定理が物理世界に適用されるかどうかとは無関係に、定理を生成する営みである
物理学で使われる数学は、可能な数学全体のごく小さな一部にすぎない
— V.I. Arnold, On teaching mathematics (1997)
ユーザーと一言も話さずに革新的なソフトウェア製品を作ってみれば、なぜ物理学が新しい数学を生み出すのに向いているのかが分かる
物理学は機械学習にも優れているが、アプローチはかなり直感に反することがある。たとえばツリーやグラフで潜在変数をモデル化するメッセージパッシングや信念伝播は、ふつう窓や雨の日の天気の周辺確率という比喩で教えられ、ベイズや統計の方程式を周辺化の連鎖律によって下位コンポーネントに分解する
一方で物理学者は、これをイジング模型と磁気スピンで教える傾向があり、まったく別の比喩になる
より新しい生成型機械学習モデルでも、微分方程式やボルツマン分布に基づくアプローチが多く使われており、状態空間モデルやエネルギーベースモデルのように、統計的な定式化が統計物理・統計力学からほぼ丸ごと借用され、ニューラルネットワークと自動微分システムに組み込まれている
最良の例はおそらく、核関連の研究者たちが作った Metropolis-Hastings アルゴリズムだろう
https://web.archive.org/web/20150603234436/http://flynnmicha...
https://arxiv.org/abs/1503.03585
私の物理学の教授の一人は、「数学とは目的のない物理学である」と言っていた
かつてかなり成功した物理学者だったので、私にはバイアスがあるかもしれない
物理学や数学の天才ではないが、両者の関係は好循環に近いのではないかと思う
20世紀は物理学と数学の結合によって革命的だった、と読んだように思う。四元数は相対性理論に重要で、離散数学は量子力学と標準模型の随所に敷き詰められている。U(1) は電磁力を、SU(2) は弱い力を、SU(3) は強い核力を説明する。とくに弱い力を媒介する3つのボソンの質量は、ヒッグス機構の理論化に直接つながり、最終的には実験的にも確認された
20世紀の大きな成果の一つは、すべての有限群を証明可能な形で見つけ出したことであり、そうした群は物理学に繰り返し現れる
記事では弦理論が新しい数学につながったと述べているが、これは本当に興味深い。「丸め込まれた次元」に関する実験的証拠がないため弦理論には懐疑的で、つぎはぎのようにも見えるが、弦理論が正しいと仮定したときに物理学と数学の双方で有用な結果が出ているのも興味深い
物理学が他の分野より新しい数学を生み出すのに優れているのか、分かるだろうか。たとえばコンピュータも新しい数学を多く生み出したし、統計学は医学・社会科学・ビジネスからの外圧によって全面的に推進されてきた
金融や経済学もモデリングと確率の周辺で多くの数学を生み出しており、ほかにも似た例はたくさんある
算術そのものが物理的保存の結果である。ドングリ4個の束とドングリ3個の束を持っていて、一つも落とさずに合わせれば、ドングリ7個の束があるはずだ
空間と因果性に対する私たちの深い物理的理解があるからこそ、単純な算術はほとんどの、ひょっとするとすべての脊椎動物にとって直感的に真になる
リスが合わせたあとにドングリを6個しか得られなかったなら、その量的な差には因果的な説明があるはずだ。別のリスが以前の山から一つ盗んだのかもしれないし、穴に落ちたのかもしれない
「ビール醸造は新しい統計学を生み出すのにとんでもなく向いている」も必要だ