- 数学者デイヴィッド・ベシスは、数学を記号操作ではなく 直観と論理の対話 と捉え、人はすでに日常の中でこのような思考を行っていると見る
- Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity は、数学者の頭の中で起きていることを通して、数学を人間の 内的経験 と結びつける
- ビル・サーストン、アレクサンダー・グロタンディーク、ルネ・デカルトの事例は、数学的能力が生まれつきの本質というより 直観を疑い磨く訓練 に近いという考えを裏づける
- 学校数学は論理と形式に偏りがちだが、人は円や数を頭の中で扱い、すでに抽象的な数体系を 内面化 して深い数学を行っている
- 数学的思考を育てれば、問題解決を超えて、喜び、明晰さ、自信、創造性、感情的な人生にも役立つ 自己啓発の技法 になりうる
数学は見える記号より、見えない過程に近い
- デイヴィッド・ベシスが数学に惹かれた理由は、多くの人が数学を敬遠する理由とつながっている
- 音楽は聞こえ、絵は見えるが、数学はほとんどが 内的な過程 であり、外には現れにくい
- 彼はこの見えない過程に魔法のような面白さを感じた
- ベシスは1990年代末に Paris Diderot University で数学の博士課程に進み、その後およそ10年間 幾何群論 を研究した
- 2010年には研究数学を離れ、機械学習スタートアップ を創業した
- 彼は問題を解くことにとどまらず、数学者が実際にどのように考え、作業しているのかを問い続けた
Mathematica が語る数学的思考
- ベシスは2022年に Mathematica: A Secret World of Intuition and Curiosity を出版した
- 数学をしている人の脳内で何が起きているのかを説明しようとする試み
- 同時に人間の 内的経験 を扱う
- フランス語の原著は2024年に英訳された
- 核心は、人は自覚していなくても常に 数学をしている という点にある
- ベシスは、人は自分の数学的能力を思っているよりはるかに拡張できると見ている
- ビル・サーストンやアレクサンダー・グロタンディークのような数学者の能力も、生まれつきの天才性だけでは説明しにくい
- 彼らは自らの 直観 を絶えず問い直し、洗練させていた
- 新しいアイデアを生み出し、論理と言語によって検証し、改善していた
直観と論理のあいだを往復する
- ベシスにとって数学とは、外的な形式と内的な表象をすり合わせていく営みである
- 内的表象は 直観 にあたる
- 外的表象は論理的・形式的な表現である
- 形式体系は奇妙で硬直して見えることもあるが、直観を試し、再調整し、強化する道具になる
- 学校数学はこの過程のうち 論理ベースの部分 を主に強調する
- ベシスは、より重要なのは直観だと考える
- 数学は理性と本能の対話である
- 言語と抽象の対話でもある
- 彼は数学を、ヨガや武術のように訓練によって上達できる 身体的実践 にたとえる
- 幼い子どものような状態に入ることが必要である
- 想像力と、その過程で生じる間違いも受け入れなければならない
誰もがすでに行っている数学
- ベシスは、人は自分の数学的訓練を自覚すべきだと考える
- 人は頭の中で円を思い浮かべ、それを大きくしたり小さくしたり動かしたりできる
- 単なる視覚化に見えても、これは 抽象的操作 にあたる
- 「10億から1を引くと？」という問いにも、たいていの人はすぐ答えを思い浮かべる
- 言葉にするには少し考える必要があるかもしれないが、結果そのものは頭に現れる
- 視覚的知覚でなくても、結果に対する強い感覚がある
- ベシスはこれを 数学的直観 とみなす
- この能力は歴史的には当たり前ではなかった
- 2,000年前にローマ数字を使っていた人々は、同じ問いに簡単には答えられなかっただろうという
- 現代人にとって容易に思える算術は、抽象的な数体系を内面化した結果である
- 易しく見える数学も、実際には深い数学であり、人間はそれを自らの中に配線してきたようなものだ
天才性は本質というより状態に近い
- ベシスは、数学が非常に得意な人がいること自体は否定しない
- 5歳でも天才数学者のように見える子どもがいるという
- ただし、それを 生まれつきの本質 とは見なさない
- 天才性は本質ではなく状態である
- 特定のことを行う中で築かれる状態に近い
- 数学は旅であり、可塑性 と関係している
- だからといって数学が易しいという意味ではない
- ベシスは数学は難しいと言う
- 同時に、人生で何をするにしてもとても難しいとも考える
- サーストンのように数学ができるかという問いには、否定的に答える
- サーストンは若い頃から毎日このような自己教育を実践すると詳しく書き残している
- ベシスは、その水準に追いつけるとは思っていない
- 高校生が数学に不幸を感じる理由のひとつは、自分にはない生得的能力が必要だと信じてしまうことにある
- 実際の数学は、日常で使っている直観と同じ種類の能力に依存していると彼は見る
数学的思考を育てる方法
- 直感と、理性的に正しいと思われることのあいだにずれが見えたなら、それは新しく理解する機会になる
- そこから往復のプロセスを始められる
- 自分の 直感 を言葉で表せるかを確かめる
- それを合理的な議論の中に置けるかを見る
- なおずれがあるなら、なぜそうなるのかを視覚化してみる
- この過程を繰り返すと、想像力は少しずつ再構成される
- 粘り強く続ければ、本能と理性が整列し、より賢くなれると彼は考える
- ベシスはこの過程を 数学的思考 と呼ぶ
数学は自己啓発の技法になりうる
- ベシスは、数学的思考を改善すれば、喜び、明晰さ、自信を得られると考える
- 子どもはこうした過程を常に行っているため、素早く学ぶ
- 世界が理解できていないからこそ、絶えず新たに気づかなければならない
- 赤ん坊は一日中発見をしているから幸せなのだと彼は見る
- 大人にとっては、この思考様式は非常に遅いものになりうる
- それでも諦めなければ、直観でできることは期待をはるかに超える可能性がある
- ベシスは自著を、数学の概念を学びたい人だけでなく、あらゆる 創造的な人 への人生の教訓だと考えている
- 彼は単なる自己啓発書という表現を超えて、数学そのものが一種の 自己啓発の技法 だと見なしている
誠実さと創造性の訓練
- 数学者は、自分が何を理解していないのか、何を考えているのかについて非常に誠実でなければならない
- そのような誠実さは、さまざまな判断につながる
- ある対象が誤って定義されていると見抜ける
- 別の定義のほうが理論をより単純にできると見抜ける
- 重要な概念とそうでない概念を区別できる
- 自分が実際に感じていることを表現するのは非常に難しく、練習が必要である
- 数学をするとき、人間の思考過程は非常に純粋な形で現れる
- 数学は単に理解することではなく、幼い子どものように、深く、無垢で、明晰で、自明なものとして理解する訓練である
- ベシスにとって数学は 創造性の訓練 であり、想像力のための足場である
- 彼は、個人的な困難を乗り越えるうえで数学的に考える力が役立ったと語り、感情的な観点からも、誰にとっても数学は必要だと考えている
1件のコメント
Hacker News のコメント
この考え方には同意する。生まれつきの数学的才能や天才性にこだわる文化は、何かを学ぶのに必要な成長マインドセットに有害だと思う。
大人になってから数学力をかなり鍛え直しているが、以前は「難しいなら、もう限界にぶつかっていて時間の無駄なのだ」と考えていた。だが実際にはほぼ逆で、簡単ならそれはすでに知っている内容で、時間を無駄にしている可能性がある。
本の著者は自分が関心を持っていた数学を選んだだけで、この原理は実はあらゆる分野に当てはまる。一部の人には生まれつきの才能があるように見えるが、多くの場合それは、数学であれ Star Trek であれ恐竜であれ1980年代の旧型コンソールゲームであれ、1つのテーマに過集中できる能力に近いと思う。
子どもたちに、同年代の中にはただ「生まれつきできる」人がいるのだと説得するのは、挑戦し続ける意欲をくじく行為だ。子どもたちに教えるべきなのは学び方であり、「数学を教えれば数学を学ぶが、学び方を教えれば何でも学べる」という考え方が正しい。
数学には努力が必要で、理解がぴたりとはまるにはある程度の前提知識も必要だというのは正しい。だが「X は読者の演習問題として残す」といった態度は、何の理由もなく読者の人生を難しくすることを楽しむような心構えだ。
よく言われる「象牙の塔」において、塔という要素は自己宣伝と自己防衛の装置としても機能する。「われわれの役割は不可欠であり、何かを知りたい人は目標に到達するために必ずわれわれを通らなければならない」という考えを売り込むからだ。
例として線形代数は何十年も前からある内容なのに、初級から上級まで講義資料が過度に難解で読み解きにくいことが多かった。ところが機械学習分野が盛り上がると、次元削減や部分空間分解のような高度なテーマまで、明確で些細なことのように説明する資料が急に増えた。変わったのは、そのテーマを扱う人々のタイプだけだった。
心理学の学生に数学を教えたことがあるが、本当に理解できないケースがあった。「平方根って何ですか？」という質問に学科長が落胆していたのも覚えている。全員に能力はあったのに「教師のせい」だったとだけ見ることはできず、苦労した学生と簡単にこなした学生の違いも説明しなければならない。
音楽も同じだ。音楽院の学生が懸命に勉強しても、一部はより優れており、ごく少数は本当に輝く。「誰もが Rachmaninov を演奏できる」という言葉は信じがたい。数学的能力の基準をかなり低く設定しているか、きちんとした根拠がない限り、「誰もが可能だ」という言葉にはでたらめ臭さが残る。
日常業務が簡単なスキルを維持してくれることもあるが、しばらく使っていないスキルなら、難しい形で他のスキルと組み合わせる前に、簡単な反復をしてみるのも悪くない。
著者の本『Mathematica』を読んでいるのですが、本当に良いです。この記事のタイトルだけでは、本の長所があまり伝わりません。
著者は、数学の能力は知識の才能というより、スポーツの才能に近いものだと示しています。人は頭の中で、回転させた図形、スロットマシン、折り紙のような方法で数学的対象を操作する方法を学ぶ必要がある、という主張です。ある種の想像力のスポーツのようなものです。
そのおかげで MathAcademy.com で基礎数学をかなり学び直しているのですが、とても面白く、同時にストレスもあります。今では多項式でテトリス効果が起きているような感じです。
没頭すると、各関数がそれぞれ独自の形や雰囲気を持っているように感じます。きれいな小さな箱のような関数、大きくて醜い怒ったウニのような関数、何もしない役立たずの小さな円のような関数が見えて、後で消そうとメモすることになります。データが流れていく様子によって、グラフ全体がある程度つながって見えます。
MathAcademy が良いのかも気になります。1か月ほど使ってみようかと思っていますが、「ストレス」と言っているのが誤字なのかどうか分かりません。
『Mathematica』は地元の図書館に取り寄せを頼んであり、いつか到着のSMSが来るまで忘れていればいい状態です。読む価値があると確認できてありがたいです。
本がその点でより良いなら読みたいですし、エピソードや余計な部分が多いなら見送ろうと思います。実際に本から何を得ているのか、どれくらい実用的で適用可能だと感じるのかが気になります。
数学が難しく感じられる理由は、人が長い操作の過程を頭の中に保持するのが難しいからです。特に、何百ものステップをかけて少しずつ変化する大きな対象を操作するときはそうで、これは人間が劣っているからではなく、人間の心がもともとそのように働くからです。
数学は、基本公理と操作規則、そしてその規則によって公理をどう展開するかだと教えるほうが正しいです。一度に1つの有効な変更を行う方法を学ぶ必要があり、当然ながら多くの紙上作業と忍耐が必要です。数学とは、真理と規則によって新しい真理と規則を作ることです。
子どもにこのように教えているのですが、「それだけ？ ただ面倒な紙上作業なの？」とよく反応します。最近はこの方法とLLMの助けを使って、アルゴリズムとデータ構造を学んでいます。基礎条件から始めて積み上げていくと、新しい発明の領域のように見えていたアルゴリズムも、自分でやった手作業のステップから自然に出てきて、それをプログラムに移すことになります。
余計なものを取り除けば、数学に残るのは忍耐と紙上作業だけです。
数学における性急な形式化こそが、人々が数学から疎外され、ガスライティングされているように感じる主な原因だと考えている。概念を記号とその操作へ還元するのは後でやるべきことで、最初からそのように紹介するのは間違っている
人々はまず、やさしい自然言語で語るべきだ。「英語は十分に精密ではない」と言う数学者には、消えてくれと言いたい。走る前に歩き方を学ばなければならない
動機づけとなる例が数学的手法より先に来るべきで、公式や証明は1ページ目ではなく付録にあるべきだ。ここでいう英語とは自然言語のこと
STEM隣接分野で働いていない人は、簡単な代数と幾何、少しの金融関連の概念や公式以外には、さらに使う機会がない。幾何は主に手芸の趣味や家の修理プロジェクトで役立つくらいだ
このままだと、死ぬまで積分する理由を見つけられない気がする。だからもう一度数学をやってみようとしても、実際の必要性が動機にならない。適用先がないので、退屈でないのは娯楽としての数学問題くらいだが、それも本を読んだり別のことをしたりする方がましだと思ってしまう
多くの生徒、少なくとも私は、高校の幾何で証明に出会い、高校の物理で実際の応用に出会ったとき、初めて数学に興味を持った。数学が、一つの真理から別の真理へ進み、新しい真理を見つける方法になり得るということは、啓示のように感じられた
残念ながら、多くの生徒は終わりのない数学の反復訓練の退屈さのために、その前に離脱してしまう。知識に隙間ができると、その隙間を埋めない限り前進は難しくなる。多くの生徒にとっては分数で終わり、別の人たちにとっては代数で終わり、大学進学者にとっては微積分で終わる
数学専攻者と、一部の工学・科学・コンピューターサイエンス専攻者だけが、大学の「標準的な数学コース」を越えて、その先に出てくる本当に面白いものを知ることになる
現代数学の罪は、そのメタ言語があまりに十分に定義されていないため、矛盾なく扱うにはソフトウェアの塔が必要になる点にある。これをすべてS式として書き直し、逐次計算の下に証明用の項書き換えシステムを付けることは、アクセシビリティを高める優れた第一歩だ
数学が何について語っているのかではなく、どのように語っているのかを見たいなら、切手収集をすればよい
大学院レベルまで数学を学んだ立場からすると、高校数学や大半の科目は本当に退屈だった。初等・中等教育に欠けているのは文脈であり、だから退屈になる。数学が簡単だったのは、特別に得意だったからではなく、公式に盲目的に従い、基本的な論理を適用する程度だったからだ
初等・中等レベルの数学の大半は基本的な論理なので、その程度の教育を受けた人が「数学ができない」や「数学が分からない」と言うなら、それは非常に基本的な論理と推論能力が不足しているという意味になる
数学は応用だけでなく、文脈の中で教えるべきだ。推論し探究する経験を豊かにする必要があり、応用も含めるべきだが、応用だけに縛りつけてはいけない。時には任意の適用基準に縛られず、ただ学び、考えるべきだ
新しい教科書は即時的な満足に寄せすぎていて好きではない。解法をどう積み上げるのかを見せず、すぐに問題の解き方を教えてくる。後で仕組みを少し説明するとしても、順序が完全に逆だと思う。自分で反すうし、最後にどうまとまるかを予想し、途中途中で「なるほど」という瞬間を得る機会を奪っている
このやり方は、数学を記号操作へと縮減する傾向も強める。最初の段落で公式を与えると、その後の説明はすべてその公式に固定される。数学の記法は、すでにある程度理解した概念を固める形式化の道具であり記憶装置であるときに最もよく、主なコミュニケーション経路として使われるときに最悪だ
良い感情ではあるが、多くの人が基本的な数学的思考すら学べず、大きく混乱しているのも明らかだ。彼らが簡単に学べるという主張を裏付ける科学的研究があるのか、それとも数学の一般向け書籍にふさわしい平等主義的な論旨をただ作り上げているだけなのか気になる
一般知能も1970年代以降、低下傾向にあるように見える。いわゆる逆フリン効果[3]で、米国と欧州で測定されている
教育制度や他の要因が影響するのは事実だが、「誰もがXをできる」という考えは間違っており有害だと思う。「誰にも車椅子は必要ない」や「誰もが完璧に見える」といった言葉と同じだ。人はそれぞれ違い、多くのナードはナード同士でばかり付き合うため、社会への認識が歪んでいる
[1]: https://www.thenationalliteracyinstitute.com/post/literacy-s...
[2]: https://leo.blogs.uni-hamburg.de
[3]: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S016028962...
人が理論上できることと、実際に達成することの間には非常に大きな隔たりがある
数学教師ではないが数学を楽しんでおり、家族や友人の数学の課程を何度も手伝ってきた
ほぼ誰もが、おおむね高校レベルの数学を学ぶ能力はあると長い間考えてきた。ただし、人によってはより多くの努力が必要だ。継続的な努力を維持する鍵は動機であり、数学を嫌いになったり自分はひどく苦手だと思うようになった多くの人は、適切な動機に出会えなかっただけだ
いったん動機が生まれ、内容が理解でき始め、問題を解けるようになると、ずっと楽になる。個人的には、特に導出や初歩的な証明まで含む少し高いレベルの数学を学ぶ中で、数学以外の領域でも思考の仕方が良くなったと感じている
家族や友人を手伝う中で、人によって新しい内容を理解し始めるアプローチがかなり違い得ることも学んだ。幾何やグラフの観点からのほうが取り組みやすい人もいれば、最初から公式を掘り下げるほうが合う人もいる。一つの方法が全員に合うわけではない
教育学的に見ると、ほとんどの人が数学でつまずく主な障害は複雑さではなく、教え方の無味乾燥さだと思う。言語の規則も少なくとも同じくらい複雑だが、はるかに多くの人が高校レベルの言語能力は身につける。理由は多く、最も明白なのは言語が日常でより多く使われる点だ
真剣な数学者とはまったく言えないが、その目標を真剣に受け止めたこの数年で、何十年も自分は劣っていると決めつけて遠ざけていた頃より、はるかに多くを学んだ
無理にでも挑戦するよう促してくれた、とても寛大なメンターの一人がこう言った。「悪い数学の学生はいない。いるのは悪い数学教師だけで、彼らもまた悪い数学教師に出会っていたのだ」
そういう人たちにあまりに多く出会えば、そしてそういう人がこの分野にありふれているなら、人々がやる気を失って諦める理由は容易に理解できる
教育課程のどこかの時点で、多くの若者が抽象的な数学的思考に触れるものの、結局理解できずに脱落してしまう。ここで物事がうまくいかなくなり、その後さらに格差が広がっていくのは残念だ。
記号や方程式を扱うことは、もっと広くアクセス可能であるべきだと感じる。ほとんどゲームのような活動なのだから、疎外感を与えるべきではない。
脳がより抽象的な表現や操作の仕方を受け入れられるようにする道筋を、教育者がうまく見つけられていない失敗なのかもしれない。
ちなみに数学者たちは、この問題の解決にはあまり関心がないように見えるし、多くの人が数学をできるだけ排他的なものにすることに子どもじみた楽しみを感じているようにも思える。典型的には、視覚的表現は不正確ではあっても直観を養う助けになるのに、それを拒む場合がある。
因数分解も、私のクラスの多くの人を脱落させた。まったく役に立たないように見えるのに、過程には推測がたくさん入るという点で挫折感が大きく、何人かのクラスメイトは、スプーンで溝を掘ってまた埋めろと言われたかのように「じゃあ数学なんて永遠にごめんだ」という反応だった。
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/Do_Not_Erase:_Mathematicians_a...
問題は、ほとんどの人が面白い部分までそもそも到達できないことだと思う。大学の最初の学期に集合論を学び、数体系を一から定義してからモノイド、群、環などへ進むまでは、数学をあまり好きではなかった記憶がある。
その一から定義するところが本当に満足感があった。
少し時間はかかったが、今はずっと良くなった。ルールをある程度知っている小さなゲームのように受け止められるようになった。今では、数学者たちが最大限の抽象化や奇妙な病的な端のケースを気にすることが多いのだと認めている。そのおかげで、以前のように圧倒されずに複雑さを切り抜けられる。
何かを理解してしまうと、理解していなかったときの考え方に戻って、アイデアが「ピンとくる」説明を見つけるのは本当に難しい。多くの数学は見た目よりずっと簡単だが、核心となるアイデアを楽につかませてくれる説明が欠けていることが多いと思う。
たとえば、ある整数を基数とする位取り記数法を、時計の読み方を知っている子どもなら追っていける形で説明する explorable[0] を書きたいと思っていた。掛け算も一緒に教えられそうだ。
核心は、アナログ時計のような形をしたカウンターを想像することだ。0から9までの数字と、+1、-1ボタンがあり、0から9まで数えられる。9に1を足すとまた0に戻るが、これを解決するために2つ目のカウンターを付ける。1つ目のカウンターが1周するたびに、2つ目のカウンターを1つ進める。1つ目のカウンターの1周は10歩なので、2つ目のカウンターの1歩は10歩を意味する。2つ目のカウンターでも10歩を数えたいなら、3つ目を付ければよい。
すると自然な疑問は、0から9までより数字が少なかったらどうなるのか、ということになる。0から7なら8進数、0と1なら2進数、もっと多い数字はアルファベット文字で追加する、といった具合だ。
これは10進の位取り記数法を非常に物理的に表現したもので、数えたり追ったりしやすくしてくれる。「基数」や「累乗」のような高度な概念は必要ないが、後からその上に載せやすい抽象化になる。
子どものいる友人たちに聞いてみると、たいてい4〜6歳で時計を読み、8歳ごろには全員が100まで数えられるという。理論上、このアプローチならその年齢ですでに2進数や16進数の考え方も理解できそうだ。
面白いことに、記事でも、位取り記数法のおかげでほぼすべての大人が「10億引く1は？」に即座に答えられると述べている。
[0] https://explorabl.es/
https://softwarefoundations.cis.upenn.edu/
極限と導関数も、きちんとした定義を得ると、高校で使うすべての公式や定理をかなり簡単に導ける。高校ではほとんど計算と単純な推論だけをしていたが、大学ではすべてを証明した。見方が変わってよかった。
前提科目は形式上は履修していたが、実際には基本的なコンピュータサイエンスの論理科目だったので、完全に手に余った。それでも、大学で受けた授業の中で最も面白いものの1つだった。
期末試験の問題の正確なテキストを数週間前にもらい、他の学生と協力したり他の教授に聞いたりすることまで含め、何でも準備できた。他の教授たちもおおむね要領を得なかった。目標は10問中1〜2問に答えることで、できなくても少なくともB+はもらえた。
もっと記憶がよければと思うが、うまく答えられた問題の1つは、チューリング機械を使って Post の定理を証明することだったように思う。その授業の知識を再び使ったことはないが、今でも思い出す。哲学とコンピュータサイエンスが交わるあの魅力的な地点を、もう一度学んでみたい。
最もよかったのは、難しい数学と、多くの実務家が自分たちの仕事を損なうとして嫌う数学に関する難解な形而上学的問いが結びついていたことだ。そこまで深く入ると、さらに頭の痛いテーマに触れずにはいられないのだと分かる。
高校では事実上、応用数学、とりわけ微積分を得意になるための訓練しか受けていなかった。それすら大半は「代入する」ことで、そうした作業は Mathematica で簡単に自動化できる
大学に行って整数論と抽象代数学を履修したとき、数学が説明しがたいほど美しいものだという事実に衝撃を受けた。実解析を履修して初めて、微積分にも時間の無駄に見えない側面があることが分かった
ある日、高校に戻って当時のコンピューターサイエンスのメンターだった Andrew Merrill に、なぜ群論に触れさせてくれなかったのかと熱っぽく尋ねた。答えは SAT だった。そういう内容は SAT に出ないので、教える名目がないということだった
微積分を教えていた理由は、工学と物理の前提科目であり、宇宙開発競争以降それが重要だったからだ
[0] https://en.wikipedia.org/wiki/SAT_Subject_Tests
カナダでも大学1年まで似たような微積分中心のカリキュラムがあり、線形代数が少し混ざっていた。理由は、工学、物理、化学・生物の一部領域、統計、経済の一部領域などで微積分が必要だからだ
社会において数学は何よりも道具だ。純粋数学を専攻し、代数と整数論に集中していた人間として言っている。大多数の学生にとっては、実際に実用性が核心だ。数学には、科学や人文学と違って、意図的な枠組み作りがなければ楽しみにくい抽象化の層がある
「愚か者よ、問題は経済だ」と言いたい。精神的余裕もリソースだ。多くの人が数学を勉強しないのは、望まないからではなく、できないからだ
すべての支出と必要を賄うベーシックインカムが与えられたら何をするかと調査すれば、自己完成や芸術を選ぶ人が多いと思う。数学を練習し学ぶことも、その二つに当てはまる
この部分では、ヴィパッサナーのようなマインドフルネスに集中することが大きな助けになり得る。ただしマインドフルネスは知的訓練ではなく、実際に生きて実践するものだ。1日に数時間ずつ瞑想すれば、数か月以内に良い場所へ行ける
少なくとも身の回りの逸話では、代わりに子どもが増えた人が多かった
競争ではないので他人より数学ができる必要はないが、暗号学、より良いアルゴリズム、物理の理解といった別の追求が、自分の原始的な数学理解に制限されている
もし私が百万長者なら、海辺の家で休みながら余暇に多くの数学を学ぶことは、追求したいことの一つになるだろう