- 1911年にToeplitzが提起した内接正方形問題は、あらゆる閉じた連続曲線に正方形の4つの頂点が必ず存在するかを問う未解決問題であり、より易しい長方形版はトポロジーでアプローチできる
- 長方形は、2組の点対が同じ中点と同じ距離を持つときに生じるため、曲線上のすべての点対を3次元空間の点へ送ると、自己交差が内接長方形に対応する
- 順序のない点対全体は自然にMöbius stripとなり、同じ点を2回選んだ点対はその境界として、元の曲線がある平面上に位置する
- この Möbius strip を平面の下側へ反射して貼り合わせるとKlein bottleになり、3次元では自己交差なしに表現できないという性質が、長方形の存在証明の核心になる
- 正方形問題は点対の角度まで追跡しなければならないためより難しく、2020年のJoshua Andrew Lobbによる滑らかな曲線の結果とは異なり、フラクタルのような粗い曲線が難問として残っている
内接正方形問題と、より易しい長方形問題
- 閉じた連続曲線は、ペンを離さずに描けて出発点に戻るループとみなせる
- 曲線上の4点が正方形の頂点になれば、その正方形は曲線の内接正方形である
- すべての閉じた連続曲線が内接正方形を必ず持つかどうかは、1911年にToeplitzが提起した未解決問題で、通常inscribed square problemと呼ばれる
- 一段階やさしい問いは、すべての閉じたループが内接長方形を必ず持つかどうかであり、この証明は Herbert Vaughan のアイデアに基づいている
- 既知の応用を探すよりも、純粋なパズルを解きながら問題解決の構造がどのように作られるかを示すことに焦点がある
長方形を3次元写像の自己交差に変える
- 4点が長方形をなす条件は、2本の線分が同じ中点と同じ長さを持つ条件に言い換えられる
- 2本の線分の中心が一致し、長さが等しければ、4つの端点は長方形をなす
- 曲線上の各点対について、次の情報を記録する
- この3つの値は3次元空間の1点になり、曲線上の点対全体から3次元空間への連続写像が生じる
- 異なる2つの点対が同じ3次元の点へ写れば、その2つの点対は同じ中点と同じ距離を持つので、内接長方形を作る
- ありうるすべての出力点は3次元空間内の複雑な曲面をなし、この曲面の自己交差が内接長方形に対応する
- 円の場合、多くの点対がドーム頂上の1点に集まり、円は無限に多くの内接長方形を持つ
- 楕円に押しつぶすと、複数の交差が1本の垂直線のように現れる
- ここでいう自己交差は見た目の形ではなく、「異なる点対が同じ出力へ写る状況」を意味する
点対の空間が Möbius strip になる過程
- ループの各点に 0 から 1 までの座標を付けると、0 と 1 は同じループ上の点を表すので、両端を貼り合わせる必要がある
- 順序付きの2点対は、単位正方形の1点として表せる
- x座標は1番目の点
- y座標は2番目の点
- 左右の辺と上下の辺をそれぞれ貼り合わせると、全体の構造はtorusになる
- 長方形の証明では、点対の順序は重要ではない
- a,b と b,a を別物とみなすと、同じ中点と同じ距離という条件において無意味な重複が生じる
- したがって x,y と y,x を同じ点対とみなすべきである
- 単位正方形を対角線に沿って折り、辺の同一視を反映して切って貼ると、結果はMöbius stripになる
- この Möbius strip は任意の玩具的な形ではなく、ループ上のすべての順序なし点対を連続的に表す自然な空間である
- strip の各点はループ上の1つの順序なし点対に対応する
- ループ上の各順序なし点対も strip の1点に対応する
- 片方を少し動かせば、もう片方も少しだけ動き、突然のジャンプはない
- 対角線 x,x に由来する赤い境界は、同じ点を2回選んだ点対全体であり、先の3次元写像では元のループがあるxy 平面上へ写らなければならない
証明における Klein bottle の役割
- Möbius strip から3次元曲面への連続写像を考えると、strip の境界は元のループがある平面上になければならない
- 最初は「Möbius strip の境界を平面上に置いて、3次元に自己交差なく埋め込むことはできない」という直観が必要に見えるが、その文はそのままでは真ではない
- 数学者 Asimov は、Möbius strip を3次元に埋め込みつつ、境界が平面上の円になるような構成を作った
- この構成では、strip の内部が円の上側と下側の両方を通る
- ループの点対から作った曲面では、距離 d を高さとして使うため、すべての内部点がxy 平面より上にある
- したがって必要な条件は、「境界が平面にあり、内部が平面より上にある Möbius strip は、自己交差なしには埋め込めない」という形になる
- この曲面を平面の下側へ反射し、その後もとの曲面と境界に沿って貼り合わせると、2つの Möbius strip を貼り合わせた閉曲面になる
- 2つの Möbius strip の境界を貼り合わせた曲面はKlein bottleとみなせる
- Klein bottle は、内側と外側を明確に分けられない代表的な非可 orientable 曲面である
- 3次元では自己交差なしに正しく表現できず、より高次元ではもっと自然に存在できる
- Klein bottle が3次元で自己交差を避けられないため、ループの点対曲面とその反射も自己交差を持たなければならない
- その自己交差は、異なる2つの点対が同じ中点と同じ距離を持つことを意味し、したがって内接長方形が存在する
正方形問題、滑らかさ、トポロジーの役割
- 正方形を得るには、2つの点対の中点と長さだけでなく、線分の角度も追跡しなければならない
- 2本の線分が同じ中点と同じ長さを持ち、角度が90度異なれば正方形をなす
- 情報は4つに増えるため、4次元空間で Möbius strip と Klein bottle の埋め込みを考える方向が自然になる
- 2020年にJoshua Andrew Lobbは、滑らかな曲線についてこの結果を拡張した
- 滑らかな曲線では、正方形の存在はすでに知られていた
- Lobb の結果は、この特殊な場合にあらゆる可能な縦横比の長方形を見つけられることを示している
- その議論には、特定の4次元空間内での Möbius strip と Klein bottle の埋め込みが登場する
- 滑らかな曲線では、すべての点でよく定義された接線がある
- 点対が互いに近づくとき、中点と距離はきれいな極限挙動を示す
- 角度まで追跡しても、2点が近づくにつれて線分の角度はその点の接線角へ近づく
- フラクタルのような粗い曲線では、角度にそのような極限挙動がないことがある
- 内接正方形問題が難しい理由は、すべての粗い曲線まで含めなければならない点にある
- トポロジーにおいて Möbius strip や Klein bottle のような形は、奇妙な対象それ自体ではなく、連続対応のもとで何が可能で何が不可能かを判断するための論理的道具として働く
1件のコメント
Hacker News のコメント
この動画は本当に良かった。代数的位相幾何学で博士号を取り、位相幾何学もかなり勉強していたので内容はなじみがあったが、こうした概念をここまで明快に説明したり、難解な位相幾何学の世界を「実用的な」問題と結びつけて説明できたかは分からない。
博士号取得後はいくつかの仕事を経て、今はAI分野の研究ソフトウェアエンジニアとして働いている。純粋数学が恋しくなることは多いし、アカデミアを離れたことを少し後悔することもあるが、学術界の数学に戻るのはほぼ不可能に思える。3B1Bの動画は、数学は誰にでも開かれていて、大学で数学者として雇われていなくても数学を楽しみ、学び、新たに発見できるのだと、いつも思い出させてくれる。
特定分野の研究最前線に立つには、おそらく専門の数学者として働く必要があるだろうが、それ以外なら、数学の基礎は変わらないという点で、十分な関心と情熱を持つ誰にでも近づけるものだと思う。
昔の専攻も懐かしいし、若くして大学にいた頃も懐かしい。
3B1Bは数学教育で何が可能かを示している。この分野の未来が楽しみだが、こうした方式が数学教育に取り入れられるまでには時間がかかりそうで残念だ。
それに、私たちは学びたいからこの動画を見て学んでいる。再生ボタンを押した瞬間には、すでにそのテーマに没入している。一方、高校や大学の授業では、大多数は望んでいるからではなく受けなければならないから受けており、初期の没入がない。教授は、後ろから3列目で居眠りを始める学生を動画のように即座に指摘することもできない。
学びたい人には非常にうまく機能するが、その内容を身につけたいと思っていない人を、さらに置いていく可能性もある。
結局、いま軽んじられている従来の教育方式で学ぶ複雑さと表記法なしには、ここまで大きく単純化した説明を作るのは難しい。ただ、才能ある学生はすでに頭の中にこうした図を持っていて直観が明確なことが多く、あまり慣れていない、あるいは才能がそれほどない学生についてこさせるには、こうしたアプローチは非常に妥当だ。
この問題をまた取り上げてくれてうれしい。数年前、このテーマの最初の動画で、私はすぐに3B1Bにはまった。
子どもの頃からメビウスの帯は知っていたし、10代前半には連続関数がどこかを必ず通る、というような存在証明のアイデアも知っていた。
けれど、メビウスの帯が役に立たない不思議な物体以上のものになり得るとは一度も考えたことがなく、今ではあまりに軽く見ていたことをその対象に謝らなければならないような気分だ。この証明での役割は驚くべきもので、頭を心地よくくすぐられる。
https://www.youtube.com/watch?v=SXHHvoaSctc&list=PLTBqohhFNB...
ごく基礎的なこと以上は数学をまったく知らないが、こういう内容は魅惑的で、理解するには図が必要だ。本当に素晴らしい動画だ。
動画の中で2次元を3次元へ写像する方法が紹介されたとき、最初に思ったのは「これは3次元を4次元へ写像する方法なのか？」だった。あとで4次元に言及していた。これは可視化も、きちんと理解するのも難しい。
3次元でも「2つの物体は同じ場所・同じ時刻に存在できない」「平行線は無限遠で交わる」「平行線は決して交わらない」といった形で考えられる。ただ、3次元では可視化と直観があるので、毎回すべてを形式的に分解しないだけだ。
Lobbが言及されていてうれしい。数年前、いやかなり前に、線形代数1をLobbから学んだ。素晴らしい教授で、私たちが何かを理解できないときに見せていた絶望的な表情を、今でも笑いながら思い出す。
動画の 4:15 あたりから問題があると感じた。すべての中点ごとに距離が1つだけだと、結論へ飛躍しているように見えた。だがその中点は境界上の2点を選んだ結果であり、同じ中点を持つが距離が異なる別の2点も簡単に選べる。
その点がすぐには扱われず、その後2分間ずっとその考えが頭の中でぐるぐるしていた。その方向で進め続けているのに説明がないので、自分が何かを見落としているのか、もっと賢い数学視聴者ならその未解決の疑問を数秒で解消していて、自分は対象視聴者ではないほど数学的素養が足りないのかと思って動画を止めた。
良い教育動画とは、試聴者がこうした点を指摘し、動画が継続的に磨き込まれ、あらゆる点を疑う人にとっても良い最終版になる、そういうプロセスの結果だと思う。
ここに一意性は必要ない。むしろ内接長方形を見つける問題を、同じ中点と同じ距離を持つ2点の組を見つける問題に言い換えるのが核心で、あなたが指摘した時点の1分15秒後に、まさにそう述べている。
ただ、視覚的に定義すると、あなたがしたように誤解するのはごく自然だ。図が、中点を入力として受け取り、その中点に対応する距離を返す関数のグラフのように見えるからで、あなたの指摘どおり、それはうまく定義されない。そう理解すると、その後の動画は完全に迷子になる。残りの動画は、この関数の定義域を順序なしの点の組 {A, B} と見たときにメビウスの帯になる、という説明に費やされているからだ。
結局、ある命題の100%形式的なバージョンがなければ、一部の人は意図と異なる解釈をする。聴衆がどれほど賢いかとは関係ない。3Blue1Brown もそれを理解して代替形式を試しているようで、この動画は、関数が “f(A, B) = (x, y, z)” と明記され、変数も説明されているインタラクティブなブログ記事としても提供されている: https://www.3blue1brown.com/lessons/inscribed-rect-v2
「十分に大きな聴衆では、非常に賢い人だけを集めても、非形式的な説明ごとに異なる解釈が生まれる」という点が、数学教育の核心的な難しさだ。相互作用できる場なら講義を止めて質問できるが、そうすると形式主義により集中するインセンティブが生まれ、可視化と直観を説明する時間は減りかねない。
具体的な質問に答えると、彼は各中点に距離が1つだけだとはまったく仮定していない。そう言ってもいないし、可視化もそのようには見せていない。
位相幾何学を見るもう一つの視点は、John L. Kelley の General Topology, D. Van Nostrand, Princeton, 1955 にある。
実数集合 R で x, y ∈ R かつ x < y なら (x,y) = { z | x < z < y } は開集合であり、x <= y なら [x,y] = { z | x <= z <= y } は閉集合である。R の部分集合が閉かつ有界ならコンパクトであり、これはリーマン積分などで強力な性質となる。
こうした概念が、実数直線や開区間・閉区間よりはるかに一般的な位相空間へ拡張される。だから本の題名に “General” が付いているのだと思う。大学の数学科4年のとき Kelley を読み、教授に講義もしたが、今では位相幾何学について別の定義もある。
この動画のおかげで 位相幾何学とは何か が分かった。
これを見て不安になる人はほかにもいる？ 失敗への恐れや 過剰達成者 の残り火のような不安が残っている気がする。
数学の博士号を持っていて、学問的な追求からはおおむね身を引いた。学位を乗り切らせてくれたのは、成功や学問的達成への欲望ではなく、旅路そのものへの愛だった。就職してからしばらく、数学は暗く怖いものになっていたが、この動画は新鮮な空気のようだった。
自分を注ぎ込める喜びの源を見つけられることを願う。そういう根からこそ繁栄できる。必ずしも仕事でなくてもいい。実際、不安の底には危険な雇用市場があると私は信じている。私の根はキャリアではなく、自分で選んだ家族だ。そうした安心感があれば、心はより自由にさまよいやすくなり、こういう未解決問題のようなパズルにも手を伸ばせる。始まりは好奇心だ。
以前、学会で John H. Conway が、キャリア初期にあなたとまったく同じ感情を抱いたことがあると私に認めてくれたことがある。
失敗の話をすると、この未解決問題に取り組むアイデアが浮かび、Koch 雪片に適用するコードを急いで書いた。書き下しているうちにアプローチの明らかな問題が見え、文脈のない結論だけを言えば、その行のコードを書く前にゼロ除算を見つけた。成功しなければならない理由は何もなかったので失敗は楽しかったし、バグを書く前に見つけるのはいつだって満足感がある。