日がどれほど速く長くなっているのか
(joe-antognini.github.io)- 北半球では 春分直後 に昼の長さが最も速く伸び、同じ1日の差でも緯度によって体感される日照の増加量が大きく異なる
- 昼の長さは観測者の 緯度 と太陽の 赤緯 から、日の出時点の時角(hour angle)を求めて計算できる
- 赤道では1年中昼が12時間で、春分・秋分には緯度に関係なく12時間だが、北極圏 66.55° 付近からは夏至に太陽が沈まない例外が生じる
- 実際の日の出・日の入りは太陽円盤の大きさと 大気屈折 のため単純モデルより長くなり、赤道の春分でも6分40秒の追加の昼時間が生じる
- 地球軌道の 楕円性 と黄道傾斜をより正確に反映することもできるが、北極圏近くを除けば軌道の楕円性が昼の長さに与える影響は最大でも約10秒程度である
春分後に昼が急速に長くなる理由
- 北半球では 春分 を過ぎると昼が急速に長くなる
- ノルウェーのStavangerに住む友人の背景の窓が半年の間暗かったのに、会議の合間に明るくなったという経験が、日ごとに日照時間がどれだけ増えるのかという疑問につながった
- 緯度ごとの昼の長さと1日単位の変化量は インタラクティブグラフ で比較できる
- グラフの垂直の点線は夏至・冬至・春分・秋分を示す
- 北半球の緯度では夏至に昼が最も長く、冬至に最も短い
- 春分と秋分には緯度に関係なく昼が正確に12時間で、このとき昼の長さの変化も最も速い
- ただし、北極圏 66.55° に非常に近い地域は例外となる
- 北極圏に近づくほど、昼の長さは冬至から夏至までほぼ直線的に増え、その後また減る ジグザグ の形に近づく
昼の長さを計算する基本的な数学
- 特定の日に太陽が出ている時間を求めるには、球面天文学の 時角(hour angle) を使う
- 時角は天体が子午線となす角であり、時間単位に直すと天体が子午線を通過するまでの残り時間が分かる
- 日の出から日の入りまでの時間は、日の出から子午線通過までにかかる時間の2倍として計算する
- 計算に必要な主要な値は2つである
- 観測者の 緯度 (\lambda)
- 太陽の 赤緯 (\delta)、つまり太陽が天球の赤道からどれだけ離れているかを表す角度
- 太陽が昇るときの高度を0と置くと、球面余弦法則から次の 日の出方程式 が得られる
[ H = \arccos (-\tan \lambda \tan \delta) ]
- 太陽は天空上の大円である 黄道 に沿って動き、一次近似ではほぼ一定速度で動くとみなせる
- 太陽の赤緯は単純な正弦波で近似できる
[ \delta \simeq \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) ]
- ここで (\epsilon) は地球の自転軸の傾きである 黄道傾斜 で約 (23.45^\circ)、(T) は春分から経過した日数である
- 緯度と日付が与えられれば、昼の長さは次の式で近似計算できる
[ t_{\textrm{daylight}} \approx \frac{2}{15^{\circ}} \arccos \left(-\tan \lambda \tan \left(23.45^{\circ} \times \sin \frac{2 \pi T}{365 , \textrm{d}} \right) \right) , \textrm{hr} ]
緯度ごとに異なる昼の長さ
- 赤道 では緯度 (\lambda) が0なので式が単純になり、1年中昼の長さが正確に12時間になる
- 春分には (T = 0) となり、昼の長さは12時間になる
- (\cos(x+\pi)=\cos x) なので秋分でも同じ結果になる
- 春分・秋分には緯度に関係なく昼は正確に12時間である
- アークコサイン関数は入力値が (-1) と (1) の間にあるときだけ定義される
- 夏至には (\sin T) 項が1になり、(\tan \lambda \tan 23.45^\circ) が1を超えると式は定義されなくなる
- この条件は緯度 (90^\circ - 23.45^\circ = 66.55^\circ) 以上で生じ、この緯度が 北極圏 を定義する
- 北極圏とそれより高緯度では、夏至に太陽が沈まないため昼の長さの式はもはや適用できない
- 北極点では太陽は春分に年1回昇り、秋分まで出たままである
1日のあいだの昼の長さの変化量
- 昼の長さの式が得られれば、毎日どれだけ昼の長さが変わるかは 微分 で計算できる
- 分/日単位に直すと次の形になる
[ \frac{dt_{\textrm{daylight}}}{dT} = \frac{576 \epsilon \cos 2\pi \widetilde{T} \tan \lambda \sec^2 (\epsilon \sin 2\pi \widetilde{T})}{73\sqrt{1 - \tan^2 \lambda \tan^2 (\epsilon \sin 2\pi \widetilde{T})}} , \frac{\textrm{min}}{\textrm{day}} ]
- (\widetilde{T}) は春分後に経過した1年の 比率 を表す
実際の日の出・日の入りを複雑にする要因
-
太陽円盤と大気屈折
- 単純計算では太陽の中心が地平線に触れる瞬間を日の出とみなすが、実際の日の出はこれより早く見える
- 太陽は約 0.5度 の大きさを持つため、中心が地平線にあるときにはすでに太陽円盤の半分は地平線の上にある
- 実際には太陽の 上端 が地平線に触れる時点を考慮する必要がある
- 観測者が太陽が昇ったと見るとき、太陽の実際の位置はまだ地平線の下にあることがある
- 大気屈折 によって太陽光が上向きに曲がり、太陽は実際より高く見える
- 大気屈折を反映するには、太陽高度を0ではなくわずかに負の値に置く必要がある
- 太陽円盤の幅と大気屈折を合わせて考えると、日の出・日の入り時の太陽高度は平均して約 (-50') となる
- 地平線近くの気象条件によって大気屈折はかなり変わりうる
- この場合、日の出方程式は次のようにさらに複雑になる
[ H = \arccos \left(-\tan \lambda \tan \delta - \frac{\sin a}{\cos \lambda \cos \delta} \right) ]
- (-50') の差は小さく見えても、昼の長さには無視しにくい差を生む
- Los Angelesの緯度 (34^\circ) では約 8分 の追加の昼時間が生じる
- 大気のため、厳密にはequinoxという名称は不正確である
- 赤道でも春分には追加の昼時間が6分40秒生じ、昼は夜より13分以上長くなる
- 高緯度では大気屈折の影響がさらに大きくなる
- 黄道が地平線とほぼ平行に通るため、太陽が鉛直方向に少し動くには水平方向にずっと大きく動かなければならない
- Stavangerではこの効果が至点付近で昼をほぼ 20分 も延ばす
- 北極圏のごく近くに達するまでは、この効果が1日単位の昼の長さの変化量に与える影響は比較的小さい
-
黄道傾斜と地球軌道の楕円性
- 単純モデルは太陽の赤緯を正弦波で近似している
[ \delta \simeq \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) ]
- この近似は妥当だが、2つの限界がある
- 第1に、球面幾何 を正確には反映していない
- 黄道が (90^\circ) 傾いた極端な場合には、太陽の赤緯は (0^\circ) から (90^\circ) まで線形に増加してから減少する
- より正確な式は次のとおりである
[ \delta = \arcsin \left(-\sin \epsilon \sin \left( \frac{T}{365 , \textrm{d}} \right) \right) ]
- 単純近似は (\sin x \simeq x) と (\arcsin x \simeq x) という 小角近似 を使っていることに相当する
- 黄道傾斜 (\epsilon) がある程度小さいため、実際の値との差は最大でも (1.5^\circ) で、1日単位の昼の長さの変化量への影響は比較的小さい
- 第2に、単純モデルは太陽が1年のあいだ一定の角速度で動くと仮定している
- 地球軌道は 楕円 なので、近日点にあたる1月初めには太陽は平均より速く動き、遠日点にあたる7月初めには遅く動く
- 地球軌道の離心率を反映するには Kepler方程式 を使う必要がある
- 方程式を解いて eccentric anomaly を求め、これを true anomaly に変換すれば、平均太陽ではなく実際の太陽の黄経が得られる
- 地球軌道の楕円性が昼の長さに与える全体的な影響は非常に小さい
- 太陽は背景の恒星に対して西から東へ少しずつ移動するため、太陽日 は地球の完全な (360^\circ) 自転に対応する 恒星日 より約4分長い
- 近日点付近では太陽が平均より速く動くため昼はわずかに長くなり、遠日点付近ではわずかに短くなる
- この効果が最大のときでも昼の長さの変化は約 10秒 程度である
- ただし、北極圏またはそのすぐ近くの地域は例外である
計算コード
- 図の生成に使ったコードは Jupyter notebook にある
1件のコメント
Hacker Newsのコメント
筆者はノルウェー人の同僚とスタンドアップをして初めてこれに気づいて記事を書いたが、ムスリムである私は毎年ラマダンのたびにこの事実を実感している
今年のラマダン初日は3月1日で、ロサンゼルス近郊にいる私の場所では、夜明け前の最初の光から日没まで12時間45分の断食だった。今日は13時間15分、3月末のラマダン最終日ごろには13時間37分になる
ラマダンは太陽暦より約10日短い太陰暦に基づくため、北半球では冬のラマダンは短くて楽で、2031年に最も短い日々が来て、2047年には真夏なので最も厳しくなる
太陽が沈まない場所でスフールとイフタールをいつ行うかについては解釈が分かれるが、通常はより現実的な基準となる地域の日の出・日没時刻に従う。数年前にスウェーデンにいた義兄はメッカ時間を基準にしていた
一年中売ってほしい、でなければせめてレシピだけでもくれと何度もお願いした
ストックホルムに住むようになって、昼と夜を厳密に分けるよりも、黄昏と暗闇のさまざまな段階を味わうようになった
地平線近くに低く出た太陽が空全体に光をまき散らす様子もとても美しく、私が育ったオーストラリアでの日の出・日没よりはるかに長く続く
夏なら夜11時でも外で本を読める環境に慣れているので、熱帯の暑さの中にいるのに午後6時には完全に暗くなるのが本当に奇妙に感じられた
もともとブラジルのサンパウロ出身で、南回帰線がほぼ街を横切っている。日の出と日没はとても素早い出来事で、座って見ていても30分ほどで終わり、すぐ暗くなる
スウェーデンに10年以上住んでいても、こちらの長い日の出と日没にはいまだに見とれてしまう。色、影、形が何時間も変わっていくのを見ることができ、夏に友人たちと湖畔で飲み食いしながら終わりのない黄昏を見るのが、何より好きなことの一つだ
そのため季節によって「8 de la tarde」（午後8時）、「6 de la noche」（夜6時）のような表現が生まれる
私がいるオーストラリアの地域は、夏至のころは夜10時まで明るく、冬至のころは話題にするほどの日差しがほとんどない
赤道では一年中「午前6時に日の出、午後6時に日の入り」に近いというのは、かなり衝撃的です。
もう一つ直感に反するかもしれない事実として、適度な近似で見れば、地球上のどこでも1年全体では同じ時間数の日中を受け取っている、という点があります。
夜8時なのに、まだ太陽が空にあるということですか？
本質的に、こうした地域には多くの人が思い浮かべる意味でのはっきりした季節がほとんどありません。変化はありますが、冬が夏と大きく違うわけではありません。
逆にLondon[5]、Osaka[6]、Auckland[7]、Los Angeles[8]、Seattle[9]、Oslo[10]を見ると、まったく違う状況です。こうした違いは、人々が天気や時間、その他のことを考える方法にも大きな影響を与えます。
ある人にとってはあまりにも当然で普通のことが、別の人にとってはまったく違うという点が面白いです。時には互いに別世界に住んでいるように見えますし、ある意味では実際にそうなのだ、ということを私たちはよく忘れているようです。
[0] https://www.timeanddate.com/weather/kenya/nairobi/climate
[1] https://www.timeanddate.com/weather/gabon/libreville/climate
[2] https://www.timeanddate.com/weather/brazil/macapa/climate
[3] https://www.timeanddate.com/weather/ecuador/quito/climate
[4] https://www.timeanddate.com/weather/malaysia/kuching/climate
[5] https://www.timeanddate.com/weather/uk/london/climate
[6] https://www.timeanddate.com/weather/japan/osaka/climate
[7] https://www.timeanddate.com/weather/new-zealand/auckland/climate
[8] https://www.timeanddate.com/weather/usa/los-angeles/climate
[9] https://www.timeanddate.com/weather/usa/seattle/climate
[10] https://www.timeanddate.com/weather/norway/oslo/climate
赤道の太陽でもう一つ驚くのは、太陽が頭上にあるのを見ることです。私が育った場所では、太陽が30度より高く上がったことはありませんでした。
毎日日の出がほぼ同じ時刻なら、かなり理にかなった仕組みです。
航海、海洋航法、潮汐計算で使われる12分の法則という便利な経験則があります。太陽、季節など、サイン波のように循環するあらゆるものに使えるメンタルモデルとして適用できると思います。
周期の半分、つまり最高点から最低点までを6時間や6か月のような適切な単位に分けると、最高点から下がるとき、または最低点から上がるときの各単位におけるy軸方向の変化量は、全体の最高・最低差に対して1/12、2/12、3/12、3/12、2/12、1/12になります。
私たちにとって最高点と最低点は6月21日と12月21日で、x軸の単位は1か月です。昼の長さの最高・最低差が2時間だと仮定すると、1/12は10分です。
そのため、3月末の今は最も速く短くなったり長くなったりする区間の真ん中なので、毎月昼が30分ずつ長くなり、毎日日没が約1分ずつ後ろにずれます。
参考: https://en.wikipedia.org/wiki/Rule_of_twelfths、図のほうがずっとよく説明してくれます。
北極圏に近づくと、昼の長さが冬至から夏至までまっすぐ上がって、また下がるジグザグのように見える、という部分は私も気づいていて、線が本当に直線なのか気になっていました。
三角関数の恒等式で簡単に証明できるかもしれないと思っていましたが、実際にはそうではありません。大気の屈折を無視しても線は正確な直線ではなく、ただ非常によい近似です。
計算上の昼の長さは、高緯度や低緯度では実際の明るさをかなり過小評価する。たとえば緯度60度では真夏の夜は名目上およそ4時間だが、太陽の円盤が見えなくても光が強く、実際には暗くならない
50分角を6度に変えると「市民薄明」、つまりおおよそ屋外で照明が不要な時間になる。北緯60度の真夏には太陽の最低高度が約-6.5度なので、名目上の夜のほぼ全体が市民薄明になる
12度は「航海薄明」で、地平線がはっきり見える時間、18度は「天文薄明」で、あらゆる天文観測に十分な暗さの空を指す
これらの値は、6度+50分角のように定義される可能性もある
私の場合、Xは冬には日没0度と市民薄明-6度の間の1/3地点、夏には2/3地点まで上がる「移動する」値だ。ブラインドが下りる瞬間として計算している
この計算には https://astral.readthedocs.io を使っている
市民薄明がほぼ5時間あり、私の基準では市民薄明はまだ昼だ
アイスランド出身なので、緯度は約64.15度だ。グラフの極端な形は、人々の気分が1年を通じて上下する様子をかなりよく説明している
真夏の夏至のころには、終わりのない昼を楽しみ、一日を最大限に使おうとして、人々はほとんど躁状態に近くなる。冬至が近づくとすべてがより沈み込み、少し憂うつにもなる
特に冬の最も短い日々はかなり暮らしにくいが、夏があまりにも素晴らしいので、結局それだけの価値があると感じる
フィンランド北部では、季節ごとの昼の長さの極端さがあまりに大きく、夜と昼の周期が24時間周期というより365日周期に近く感じられる
その結果、5歳の子どもは伝統的な夏至の集まりで遅くまで起きていない限り、夏の間ずっと暗い空を見ないこともあり得る
スウェーデン中部出身だが、南部のLundで初めて夏至の夜を過ごしたとき、夜が本当に暗いことに驚いたのを覚えている
私の故郷は北極圏よりかなり南にあるのに、6月はいまだに絶え間ない昼に近い
夜はiPhoneをスタンバイモードにして、昼の領域が正弦波のように表示される世界地図をつけっぱなしにしている
昼の領域の形が地図の上端にどんどん近づいていくのを見るのが面白く、春分を過ぎると地図の上端を突き抜け、その後6か月間は反転した形になる
1年を通して地図上で太陽光が当たる領域の形の変化を見ていると、春分とは何か、昼の長さがなぜ変わるのか、そして太陽系の中で自分たちがどこにいるのかを、ずっとよく理解できるようになった