ホ・ジュンイ教授のフィールズ賞受賞講演

フィールズ賞受賞者であるホ・ジュンイ教授の一般向け講演の抜粋。

関係と境界

• 子どものころ、辞書引きの遊びをよくしていた。適当な単語の定義を調べ、定義の中に出てくる気に入った単語の定義をまた調べ、それをずっと続けていくというもの。

• こうして単語の定義をたどっていくと、いつかは元の単語に戻ってくる。私たちが持っている単語は有限だから、必ず元に戻る輪を作ることができる。

• 一見すると、定義しようとする単語を通じて自分自身を定義するのはでたらめな論理のように思えるが、私たちは日常生活の中で、自分たちの持つ言語が本当に見事に機能し、言語を通じて素晴らしいことを成し遂げていると経験的に知っている。

• では数学はどうだろうか？

• 数学はいくつかの公理を根に持つ木のように見えるが、数学全体を見渡すと、互いが互いを支え合う言語により近い。

• 数学の証明を図で表すと、命題という点どうしが矢印でつながっている姿になる。

• 私たちがすでに真だと知っている命題があり、知りたい命題がある。命題を証明するとは、知っている点から有限回の推論を通じて矢印を伸ばしていくことだ。

• ある命題どうしは非常に近く、簡単に推論できるが、ある点どうしは非常に遠く、推論するのが難しい。まるで命題の空間に距離という幾何学的構造があるかのようだ。

• もしすべての数学的命題から成る空間があるとしたら、それはどのような姿をしているだろうか。途方もない比喩だが、まるで宇宙の大規模構造のようなものだろう。銀河が均質に広がっているのではなく、ある場所は広大に空いており、ある場所は密に結びついているように。

• この命題の空間の中で、とりわけ有名なものを二つ挙げるなら、四色定理とフェルマーの最終定理がある。

• 無数の命題の中で、なぜ数学者たちは四色定理とフェルマーの最終定理を大切にし、とりわけ有名なものとして扱うのだろうか？

• こうした命題が他の命題より特別に興味深いことには、明確な理由がある。

• これらの命題で使われている単語や表現はとてもなじみ深く、易しい言葉ばかりだ。だがそれを証明するには、きわめて困難な迂回路を通らなければならない。

• 私たちが立っている命題から数歩歩けば届きそうなのに、実際にはどんな手を使っても簡単にはたどり着けない。

• それは、ここからそこまでの間に、私たちを阻む巨大な構造が存在するということだ（まるで宇宙の大規模構造にある巨大な暗黒の空間のように）。

• この構造は私たちの目には見えないが、この命題が証明しにくいという事実だけでも、その構造を推測することができる。

• こうしたことが興味深いのは、人間がどのような仕方で思考するのかを強く示唆しているからだ。

• 私たちがどのような種類の直観を持ち、どのような形の偏見を持っているのか、こうした経験を繰り返すことで、自分自身について知ることができる。

• 数学者たちが究極的に目指しているのは、命題空間における無数の関係をできるだけ精密に描き出すことで、私たちがどのように思考するのかを理解することだ。

• 数学とは、個人的には自分の偏見と限界を理解していく過程であり、より一般的には、人間という種がどのように考え、またどれほど深く考えることができるのかを考える営みである。

• 数学の本質的な問題を解決し、新しい予想を発見することがなぜ重要なのかといえば、それが絶えず境界を越えることを私たちに求めるからだ。

• これが純粋数学が私たちに教えてくれる重要な価値の一つだ。私たち自身が生まれつき持っている偏見を乗り越える機会を与えてくれるということ。

[gmlwo530]

ありがとうございます :)

[ohyecloudy]

こういうふうに考えられるのですね。ご紹介ありがとうございます。

[nicewook]

ありがとうございます。 :-)

[budlebee]

講演の原本はこちらで見ることができます。

ホ・ジュニ教授の講演は23分から始まります。非常に素晴らしい講演なので、動画で見ることを強くおすすめします。